Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3
Jacek M. Jędrzejewski
ROZDZIAŁ 6
Różniczkowanie funkcji rzeczywistej
1. Pochodna funkcji
W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
(a, b). Pisząc x, x0 , x + h itp. mamy zawsze na uwadze tylko te wartości tych zmiennych, które
należą do przedziału (a, b).
Definicja 6.1. Niech f : (a, b) −→ R będzie daną funkcją, x0 dowolnym punktem z przedziału (a, b). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 o przyroście h różnym od zera nazywamy
wyrażenie
Df (x0 , h) =
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0 jest więc pewną funkcją określoną w zbiorze
(−δ, +δ) \ {0}, gdzie δ jest pewną liczbą dodatnią.
Zapiszemy teraz ten iloraz w nieco innej postaci. Oznaczmy
x = x0 + h.
Wtedy h = x − x0 i iloraz różnicowy przyjmuje postać
D(f, x0 , x) =
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Tak zapisany iloraz różnicowy jest funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie (x0 − δ, x0 +
δ) \ {x0 } punktu x0 .
Definicja 6.2. Jeśli istnieje granica
lim D(f, x0 , x),
x→x0
czyli
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f 0 (x0 ).
lim
x→x0
Jeśli istnieje granica lewostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x0 , to granicę tę
nazywamy pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x0 ; oznaczamy ją symbolem f−0 (x0 ).
Jeśli istnieje granica prawostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x0 , to granicę tę
nazywamy pochodną prawostronną funkcji f w punkcie x0 oraz oznaczamy ją symbolem f+0 (x0 ).
48
Jacek M. Jędrzejewski
Definicja 6.3. Funkcję f określoną w pewnym otoczeniu (a, b) punktu x nazywamy różniczkowalną w punkcie x, jeśli istnieje skończona pochodna funkcji funkcji f w tym punkcie.
Twierdzenie 6.1. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu (a, b) punktu x.
Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby a i δ > 0 i
funkcja ϕ określona w pewnym sąsiedztwie zera takie, że
f (x + h) = f (x) + a · h + ϕ(h),
gdzie limh→0
ϕ(h)
h
= 0.
0
Wtedy f (x) = a.
Twierdzenie 6.2. Każda funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła.
Twierdzenie 6.3. Niech funkcje f i g będą różniczkowalne w pewnym punkcie x i c będzie
liczbą rzeczywistą. Wtedy funkcje
f + g, f − g, f · g, c · f
są różniczkowalne oraz
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x),
(f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x),
(f · g)0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x),
(c · f )0 (x) = c · f 0 (x).
Twierdzenie 6.4. Niech funkcja g : (a, b) −→ R będzie różniczkowalna w pewnym punkcie
x ∈ (a, b), dla którego g(x) 6= 0. Wtedy funkcja
1
g
1
g
!0
(x) =
jest różniczkowalna oraz
−g 0 (x)
.
g 2 (x)
Z powyższego twierdzenia oraz twierdzenia 7.3. wynika teraz bezpośrednio następujący
wniosek.
Twierdzenie 6.5. Niech funkcje f i g określone w pewnym otoczeniu punktu x będą różniczkowalne w punkcie x i g(x) 6= 0. Wtedy różniczkowalna jest funkcja
f
g
!0
f
g
oraz
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
(x) =
.
g 2 (x)
Definicja 6.4. Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcję przyjmującą w każdym punkcie x ∈ (a, b) wartość pochodnej funkcji f
w tym punkcie (a, b) nazywamy funkcją pochodną (lub krótko pochodną) funkcji f. Funkcję tę
oznaczamy symbolem f 0 .
Notatki z analizy
49
Twierdzenie 6.6. Niech funkcje
f : (a, b) −→ (c, d)
g : (c, d) −→ R
i
będą różniczkowalne; funkcja f w punkcie x0 ∈ (a, b), natomiast funkcja g w punkcie f (x0 ).
Wtedy funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w punkcie x0 i
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ).
Twierdzenie 6.7. Niech funkcja f : (a, b) −→ R będzie ciągła i rosnąca (malejąca) oraz
różniczkowalna w punkcie x ∈ (a, b).
Jeżeli f 0 (x) 6= 0, to funkcja f −1 jest różniczkowalna w punkcie f (x) i
1
0
f −1 (f (x)) =
f 0 (x)
.
Podamy teraz kilka podstawowych wzorów na pochodne najczęściej używanych funkcji.
(xn )0 = n · xn−1 gdy x ∈ R,
√ 0
1
x = √
gdy x ∈ (0, ∞),
2 x
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
gdy
gdy
x ∈ R,
x ∈ R,
(ex )0 = ex gdy x ∈ R,
1
(ln x)0 =
gdy x ∈ (0, ∞).
x
Wzory te wynikają z następujących rachunków.
Dla każdej liczby rzeczywistej x, każdej liczby naturalnej n i każdej liczby h różnej od zera
mamy
n
X
(x + h)n − xn
1
n n−i i
= ·
x h − xn =
h
h
i=0 i
!
n
X
!
!
n n−i i−1
x h .
i=1 i
Wynika stąd, że poniższa granica istnieje i spełnione są równości
n
X
(x + h)n − xn
n n−i i−1
lim
= lim
x h = nxn−1 .
h→0
h→0
h
i
i=1
!
Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x oraz każdej liczby h różnej od zera i
takiej, że x + h > 0 mamy
√
√
x+h− x
h
1
= √
√ ,
√ =√
h
x+h+ x
h x+h+ x
więc poniższa granica istnieje i
√
√
x+h− x
1
1
lim
= lim √
√ = √ .
h→0
h→0
h
2 x
x+h+ x
50
Jacek M. Jędrzejewski
Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby h różnej od zera mamy
2 sin h2 · cos 2x+h
sin(x + h) − sin x
2
=
,
h
h
więc poniższa granica istnieje i
2 sin h2 · cos 2x+h
sin(x + h) − sin x
2
lim
= lim
= cos x.
h→0
h→0
h
h
Podobnie dowodzi się wzoru na pochodną funkcji cosinus.
Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby h różnej od zera mamy
ex+h − ex
eh − 1
= ex ·
,
h
h
więc z własności granic wynika, że poniższe granice istnieją i
ex+h − ex
eh − 1
= ex · lim
= ex .
h→0
h→0
h
h
lim
Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej, więc na mocy twierdzenia poprzedniego i własności tych funkcji wynika, że jeśli przyjmiemy oznaczenia
x = et
gdy
t ∈ R,
to
(ln x)0 =
1
1
1
=
=
.
0
et
x
(et )
Przypomnijmy tu definicję stycznej do wykresu funkcji.
Definicja 6.5. Prosta l nazywa się prostą styczną do wykresu funkcji f : (a, b) −→ R w
punkcie (x0 , y0 ), gdzie x0 ∈ (a, b) i y0 = f (x0 ), jeśli stosunek odległości dowolnego punktu
(x, f (x)) wykresu funkcji f od prostej l do odległości tego punktu od (x0 , f (x0 )) ma granicę przy
x dążącym do x0 i granica ta jest równa zeru. Symbolicznie:
lim
P →P0
%(P, l)
= 0,
%(P, P0 )
gdzie P = (x, f (x)), P0 = (x0 , f (x0 )) i % oznacza odległość euklidesową na płaszczyźnie.
Twierdzenie 6.8. Jeśli funkcja f : (a, b) −→ R jest różniczkowalna w pewnym punkcie
x0 ∈ (a, b), to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) i równanie tej stycznej
ma postać:
y = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 ).
Twierdzenie 6.9. Jeśli prosta L o równaniu y = mx + n jest styczna do wykresu funkcji
f : (a, b) −→ R w punkcie (x0 , f (x0 )) dla pewnego x0 ∈ (a, b), to funkcja f jest różniczkowalna
w punkcie x0 i jej pochodna w tym punkcie jest równa m.
Notatki z analizy
51
2. Twierdzenia o wartości średniej
Punkt x0 ∈ (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja
f : (a, b) −→ R
ma maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x0 − δ, x0 + δ) zawarte w (a, b) takie, że
f (x) ¬ f (x0 ) dla x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
Punkt x0 ∈ (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja
f : (a, b) −→ R
ma minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x0 − δ, x0 + δ) takie, że
f (x) ­ f (x0 ) dla x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
Podamy teraz warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnych.
Twierdzenie 6.10. Jeśli funkcja f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i
ma w pewnym punkcie x0 ∈ (a, b) ekstremum lokalne, to f 0 (x0 ) = 0.
Twierdzenie 6.11. (Rolle) Jeśli funkcja f : [a, b] −→ R jest ciągła w przedziale [a, b] i
różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f (a) = f (b), to istnieje punkt ξ ∈ (a, b) taki, że f 0 (ξ) = 0.
Twierdzenie 6.12. (Lagrange) Niech funkcja f : [a, b] −→ R będzie ciągła w przedziale
[a, b] i różniczkowalna w przedziale (a, b). Wtedy istnieje punkt ξ ∈ (a, b) taki, że
f 0 (ξ) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Wniosek 6.1. Jeśli ciągła funkcja f : [a, b] −→ R ma pochodną równą zero w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest stała.
Wniosek 6.2. Jeśli ciągła funkcja f : [a, b] −→ R ma pochodną nieujemną w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest niemalejąca.
Podobnie dowodzi się, że jeśli funkcja f : [a, b] −→ R ma pochodną niedodatnią w każdym
punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest nierosnąca.
Twierdzenie 6.13. (Cauchy) Niech funkcje
f : [a, b] −→ R
i
g : [a, b] −→ R
będą ciągłe w całej dziedzinie i różniczkowalne w przedziale (a, b).
Jeśli g 0 (x) 6= 0, dla x ∈ (a, b), to istnieje punkt ξ ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a)
f 0 (ξ)
=
.
0
g (ξ)
g(b) − g(a)
52
Jacek M. Jędrzejewski
Twierdzenie 6.14. (Darboux) Jeśli funkcja f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i f 0 (a) < 0 < f 0 (b), to istnieje punkt x0 ∈ (a, b) taki, że f 0 (x0 ) = 0.
Korzystając z powyższego twierdzenia łatwo uzyskujemy następujący wniosek.
Wniosek 6.3. Jeśli funkcja f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna, to jej pochodna ma własność Darboux.
3. Reguły de l’Hospitala
Twierdzenie 6.15. Niech funkcje
f : [a, b] −→ R
i
g : [a, b] −→ R
będą ciągłe w całej dziedzinie i różniczkowalne w przedziale (a, b). Niech ponadto g(x) 6= 0 dla
x ∈ (a, b) i f (a) = g(a) = 0. Jeśli istnieje granica limx→a+
oraz
lim+
x→a
f 0 (x)
,
g 0 (x)
to istnieje granica limx→a+
f (x)
g(x)
f 0 (x)
f (x)
= lim+ 0
.
g(x) x→a g (x)
Twierdzenie 6.16. Niech funkcje
f : (a, b) −→ R
i
g : (a, b) −→ R
będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, b). Niech ponadto
g(x) 6= 0
gdy
x ∈ (a, b).
Jeśli
lim f (x) = lim+ g(x) = ∞
x→a+
i istnieje granica limx→a+
f 0 (x)
g 0 (x)
x→a
= α, to istnieje też granica limx→a+
lim+
x→a
f (x)
g(x)
oraz
f 0 (x)
f (x)
= lim+ 0
.
g(x) x→a g (x)
Twierdzenie 6.17. Niech funkcje
f : (a, ∞) −→ R
i
g : (a, ∞) −→ R
będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, ∞), gdzie a > 0. Niech ponadto g(x) 6= 0 dla
x ∈ (a, ∞) i
lim f (x) = x→∞
lim g(x) = 0.
x→∞
Jeśli istnieje granica
f 0 (x)
,
x→∞ g 0 (x)
lim
to istnieje granica
lim
x→∞
f (x)
g(x)
Notatki z analizy
oraz
lim
x→∞
53
f (x)
f 0 (x)
= x→∞
lim 0
.
g(x)
g (x)
Twierdzenie 6.18. Niech funkcje
f : (a, ∞) −→ R
i
g : (a, ∞) −→ R
będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, ∞). Niech ponadto
g(x) 6= 0
gdy
x ∈ (a, ∞).
Jeśli limx→∞ f (x) = limx→∞ g(x) = ∞ i istnieje granica
lim
x→∞
f 0 (x)
,
g 0 (x)
lim
f (x)
g(x)
to istnieje granica
x→∞
oraz
lim
x→∞
f (x)
f 0 (x)
= x→∞
lim 0
.
g(x)
g (x)
Podobnie, dowodzi się, że powyższe własności są prawdziwe dla granic lewostronnych oraz
granic obustronnych, jak również w minus nieskończoności.
4. Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora
Załóżmy teraz, że funkcja f : (a, b) −→ R jest różniczkowalna w całym przedziale (a, b). Ma
więc funkcję pochodną. Jeśli ta pochodna sama jest różniczkowalna w pewnym punkcie x przedziału (a, b), to nazywamy ją drugą pochodną funkcji f lub pochodną drugiego rzędu funkcji f
w punkcie x i oznaczamy symbolem f 00 (x) lub f (2) (x).
Przyjmujemy oznaczenie
f (0) (x) = f (x).
Zakładając, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w (a, b), możemy zdefiniować pochodną trzeciego rzędu funkcji f jako pochodną drugiej pochodnej. Indukcyjnie, n-ta pochodna
funkcji f w punkcie x jest określana jako pochodna (n − 1)-szej pochodnej funkcji f ; n-tą
pochodną funkcji f w punkcie x oznaczamy symbolem f (n) (x).
Powołując się na rachunkowe wzory na pochodnych, przy odpowiednich założeniach o nkrotnej różniczkowalności funkcji f i g w otoczeniu punktu x, dowodzi się indukcyjnie następujących równości:
(f + g)(n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x),
(f − g)(n) (x) = f (n) (x) − g (n) (x),
(c·f )(n) (x) = c·f (n) (x), gdzie c ∈ R,
54
Jacek M. Jędrzejewski
Twierdzenie 6.19. (Taylor) Niech f będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną w pewnym
otoczeniu przedziału [a, b]. Wtedy istnieje w przedziale (a, b) punkt ξ taki, że
f (b) − f (a) = Rn +
f (1) (a)
f (2) (a)
f (n−1) (a)
(b − a) +
(b − a)2 + · · · +
(b − a)n−1 ,
1!
2!
(n − 1)!
gdzie
Rn =
f (n) (ξ)
· (b − a)n .
n!
Rn z powyższego twierdzenia nazywamy resztą przedstawioną w postaci Lagrange’a.
Twierdzenie 6.20. (Maclaurin) Jeśli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym
otoczeniu przedziału [a, b] zawierającego 0, to dla dowolnego x ∈ (a, b) istnieje liczba θ ∈ (0, 1)
taka, że
f (x) − f (0) =
f (0)
f (0) 2
f (n−1) (0) n−1
·x+
· x + ··· +
·x
+ Rn ,
1!
2!
(n − 1)!
(1)
(2)
gdzie
Rn =
f (n) (θx) n
·x .
n!
Powyższe twierdzenie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Taylora.
Z twierdzenia Maclaurina wynika twierdzenie pozwalające rozwinąć w szereg potęgowy funkcję nieskończenie wiele razy różniczkowalną.
Twierdzenie 6.21. Niech funkcja f ma pochodne wszystkich rzędów w pewnym otoczeniu
przedziału [a, b] zawierającego 0. Jeśli ciąg reszt (Rn )∞
n=1 ze wzoru Maclaurina dąży do zera przy
n dążącym do nieskończoności, to
f (x) =
∞
X
f (n) (0) n
·x .
n!
n=0
Twierdzenie 6.22. Jeśli funkcja f ma pochodne wszystkich rzędów w pewnym otoczeniu
przedziału [a, b] zawierającego 0 i istnieje dodatnia stała K taka, że |f (n) (t)| ¬ K dla t ∈ [a, b],
to
f (x) =
∞
X
f (n) (0) n
·x .
n!
n=0
5. Zastosowania pochodnych
W tym paragrafie zakładać będziemy o funkcji tyle własności ile potrzeba. Najczęściej będzie
ona różniczkowalna tyle razy ile tego będzie wymagało odpowiednie twierdzenie.
Najpierw zajmiemy się zbadaniem warunków istnienia punktów ekstremalnych funkcji różniczkowalnej.
Twierdzenie 7.10. podaje warunek konieczny istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej. Podamy teraz warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej.
Notatki z analizy
55
Twierdzenie 6.23. (Warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeśli f : (a, b) −→ R jest
funkcją różniczkowalną i f 0 (x0 ) = 0 dla pewnego punktu x0 ∈ (a, b) oraz istnieje liczba δ > 0
taka, że
f 0 (x) ¬ 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 )
oraz
f 0 (x) ­ 0 dla x ∈ (x0 , x0 + δ),
to funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne.
Jeśli zaś istnieje δ > 0 taka, że
f 0 (x) ­ 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 )
oraz
f 0 (x) ¬ 0 dla x ∈ (x0 , x0 + δ),
to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.
Twierdzenie 6.24. (II warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niech f : (a, b) −→ R
będzie funkcją mającą drugą pochodną ciągłą w przedziale (a, b). Jeśli dla pewnego punktu x0 ∈
(a, b)
f 0 (x0 ) = 0
i
f 00 (x0 ) 6= 0,
to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne i to maksimum, gdy f 00 (x0 ) < 0, zaś gdy
f 00 (x0 ) > 0, to – minimum lokalne.
Powyższe twierdzenie można uogólnić w sposób następujący.
Twierdzenie 6.25. Niech f : (a, b) −→ R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w punkcie x0 ∈ (a, b). Jeśli
f 0 (x0 ) = 0
i
f 00 (x0 ) 6= 0,
to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne i to maksimum, gdy f 00 (x0 ) < 0, zaś gdy
f 00 (x0 ) > 0, to f ma minimum lokalne.
Podamy teraz jeszcze warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n-krotnie różniczkowalnej.
Twierdzenie 6.26. Niech f : (a, b) −→ R będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną, gdzie
n > 1. Jeśli x0 ∈ (a, b) i
f (k) (x0 ) = 0,
gdy
k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}
oraz f (n) (x0 ) 6= 0, to:
(1) jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne i to maksimum lokalne, gdy f (n) (x0 ) < 0,
zaś gdy f (n) (x0 ) > 0, to minimum lokalne.
56
Jacek M. Jędrzejewski
(2) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x0 .
Definicja 6.6. Niech f : (a, b) −→ R będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli dla pewnego
punktu x0 ∈ (a, b) istnieje δ > 0 taka, że
f 0 (x0 ) · x + f (x0 ) − f 0 (x0 ) · x0 ­ f (x) dla x ∈ (x0 , x0 + δ)
oraz
f 0 (x0 ) · x + f (x0 ) − f 0 (x0 ) · x0 ¬ f (x) dla x ∈ (x0 − δ, x0 ),
albo
f 0 (x0 ) · x + f (x0 ) − f 0 (x0 ) · x0 ¬ f (x) dla x ∈ (x0 , x0 + δ)
oraz
f 0 (x0 ) · x + f (x0 ) − f 0 (x0 ) · x0 ­ f (x) dla x ∈ (x0 − δ, x0 ),
albo
|f 0 (x0 | = ∞,
to x0 nazywamy punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 6.27. Jeśli funkcja f : (a, b) −→ R ma skończoną drugą pochodną w punkcie
x0 oraz x0 jest punktem przegięcia funkcji f, to
f (2) (x0 ) = 0.
Twierdzenie 6.28. Jeśli funkcja f : (a, b) −→ R ma skończoną drugą pochodną w sąsiedztwie punktu x0 i istnieje δ > 0 takie, że
f 00 (x) ­ 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 ] i f 00 (x) ¬ 0 dla x ∈ [x0 , x0 + δ)
albo
f 00 (x) ¬ 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 ] i f 00 (x) ­ 0 dla x ∈ [x0 , x0 + δ),
to funkcja f ma w punkcie x0 punkt przegięcia.
Twierdzenie 6.29. Niech f : (a, b) −→ R ma n pochodnych ciągłych, gdzie n > 2. Załóżmy
ponadto, że
f (k) (x0 ) = 0,
gdy
k ∈ {2, . . . , n − 1},
i
f (n) (x0 ) 6= 0,
dla pewnego punktu x0 ∈ (a, b). Wtedy
1) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f ma w x0 punkt przegięcia,
2) jeśli n jest liczbą parzystą, to x0 nie jest punktem przegięcia funkcji f.
Notatki z analizy
57
Definicja 6.7. Funkcję f : (a, b) −→ R nazywamy wypukłą w przedziale (a, b), jeśli dla
dowolnych punktów x1 , x2 ∈ (a, b) i dowolnych liczb α, β ­ 0 takich, że α + β = 1 spełniona jest
nierówność
f (αx1 + βx2 ) ¬ α·f (x1 ) + β ·f (x2 ).
Funkcję f : (a, b) −→ R nazywamy wklęsłą w przedziale (a, b), jeśli dla dowolnych punktów
x1 , x2 ∈ (a, b) i dowolnych liczb nieujemnych α, β takich, że α+β = 1 spełniona jest nierówność
f (αx1 + βx2 ) ­ α·f (x1 ) + β ·f (x2 ).
Warunki te można zapisać jako:
V
x1 ,x2 ∈(a,b)
V
t∈(0,1)
(f (tx1 + (1 − t)x2 )) ¬ t·f (x1 ) + (1 − t)·f (x2 )
t∈(0,1)
(f (tx1 + (1 − t)x2 )) ­ t·f (x1 ) + (1 − t)·f (x2 )
dla funkcji wypukłej i
V
x1 ,x2 ∈(a,b)
V
dla funkcji wklęsłej.
Łatwo zauważamy, że jeśli funkcja f jest wypukła w przedziale (a, b), to funkcja −f jest
wklęsła w tym przedziale i odwrotnie, jeśli f jest wklęsła w przedziale (a, b), to funkcja −f jest
wypukła w tym przedziale.
Twierdzenie 6.30. Każda funkcja f : (a, b) −→ R wypukła jest ciągła w każdym punkcie
przedziału (a, b).
Twierdzenie 6.31. Funkcja f : (a, b) −→ R różniczkowalna w przedziale (a, b) jest wypukła
wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f 0 jest niemalejąca.
Podobnie można udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 6.32. Każda funkcja f : (a, b) −→ R różniczkowalna w przedziale (a, b) jest
wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f 0 jest nierosnąca.
Twierdzenie 6.33. Jeśli funkcja f : (a, b) −→ R jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b), to:
(1) f jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy f 00 ­ 0;
(2) f jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy f 00 ¬ 0.
Te własności pozwalają na dokładną analizę zachowania się funkcji różniczkowalnej. Przy
ich pomocy możemy wyznaczać punkty ekstremalne, punkty przegięcia, przedziały monotoniczności oraz przedziały wypukłości, a poprzednio poznane własności asymptot umożliwiają
nam na umiejscowienie wykresu funkcji na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Tego typu
analiza funkcji nosi często nazwę badanie funkcji.