Pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła

Pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
1. Trochę teorii:





przyspieszenie ziemskie - wielkość opisująca z jakim przyspieszeniem będzie spadało ciało przy
powierzchni ziemi, jeśli pominiemy opory ruchu. Na marsie będzie spadać z innym przyspieszeniem
(przyspieszeniem marsjańskim). Przyspieszenie ziemskie nie jest wielkością stałą, zależy od szerokości
geograficznej miejsca pomiaru i wysokości nad poziomem morza. Jednak na całej kuli ziemskiej przy
powierzchni przyjmuje zbliżoną wartość i oznacza się je najczęściej za pomocą g [m/s2]. W gimnazjum
było używane już to pojęcie szczególnie do obliczania ciężaru ciała (F=m∙g).
wahadło matematyczne - teoretyczne wahadło składające się punktowego ciężarka (punktowego, czyli
tak małego, że niema ono objętości) zawieszonego na nieważkiej i nierozciągliwej nici (nieważka, czyli
nie ma masy - nic nie waży, nierozciągliwa, czyli nie ma takiej siły czy innego czynnika, który mógłby
spowodować zmianę jej długości). Oczywiście takie wahadło nie istnieje, jest to tylko matematyczny
model, ale jeśli weźmiemy mały ciężarek zawiesimy na nitce (nie gumce, lub sprężynce) i wychylimy o
mały kąt (do 7º) to takie wahadło będzie bardzo dobrze przypominało wahadło matematyczne.
W fizyce takie wahadło można dość łatwo opisać za pomocą wzorów, bo nie trzeba uwzględniać wielu
czynników dodatkowych, dlatego pomiar g realizujemy za pomocą tak prostego wahadła.
wielkości opisujące ruch wahadła:
o położenie równowagi - pkt. w którym znajduje się ciężarek, gdy wahadło nie drga.
o wychylenie x [m] - odległość ciężarku od położenia równowagi.
o amplituda A [m]- maksymalne wychylenie w danym ruchu drgającym.
o okres T [s] - czas trwania pełnego cyklu drgania wahadła.
o częstotliwość f [Hz] - ilość drgań wahadła wykonanych w czasie 1 sekundy.
inne wielkości związane z wahadłem:
o masa ciężarka m [kg] - jak sama nazwa wskazuje masa (nie ciężar) ciężarka.
o długość linki l [m] - długość linki wahadła mierzona od ciężarka do punktu zaczepieni linki.
oczywiście mogą jeszcze występować inne wielkości opisujące wahadło (kształt ciężarka, kolor
ciężarka, kolor nici, grubość nici i inne), ale intuicyjnie każdy się domyśla, że nie są one istotne.
położenie
równowagi
l
x
Wzór:
T=2π
gdzie:
T - okres drgań wahadła
l - długość linki wahadła
g - przyspieszenie ziemskie
l
g
2. Teoria do doświadczenia:
Wahadło matematyczne jest modelem wahadła, więc jak w każdym modelu można wprowadzić wiele
uproszczeń i ułatwień. Do takich należy między innymi założenie, że w wahadle matematycznym pomijamy
opory ruchu (tłumienie), a to oznacza, że raz wprawione wahadło w ruch nigdy się nie zatrzyma.
W rzeczywistości przecież tłumienie zawsze występuje, ale można tak wykonać wahadło, aby ono było bardzo
małe. Inne założenia to nierozciągliwa i nieważka nić, przecież czegoś takiego nie ma. Jednak jeśli ciężarek ma
dużo większą masę od nici, to masa nici wprowadza niewielkie zaburzenia do wahadła. Jeśli do tego użyjemy
nici lub linki, a nie gumki, lub sprężynki to możemy przyjąć, że ciężarek bardzo mało rozciąga nić. Ostatnim
ważnym warunkiem potrzebnym, aby wahadło traktować jak wahadło matematyczne, to ciężarek, który
powinien być jak najmniejszy. Najlepiej, aby wielkość ciężarka była dużo mniejsza od długości linki wahadła.
Takie wahadło przy niewielkich wychyleniach można z dobry przybliżeniem traktować jak wahadło
matematyczne.
Dlaczego tak ważne, aby nasze wahadło przypominało wahadło matematyczne? Odpowiedź jest prosta.
Matematyka i wzory potrzebne, aby móc opisać co się dzieje z wahadłem są dużo prostsze niż w przypadku,
gdy nasze wahadło nie przypomina wahadła matematycznego.
Wzory na okres drgań:
wahadło matematyczne
l
g
T=2π
wahadło fizyczne
(ciężarek ma kształt, która może się obracać) dla
małych kątów wychylenia
wahadło matematyczne
przy dużych kątach wychylenia
T=2π
T=2π
l
1
1+
g
16
+
I
mgl
11
3072
+
173
737280
+⋯
Jak widać, faktycznie wzór na okres drgań wahadła matematycznego jest najprostszy. To jest powód dla
którego to właśnie takim wahadłem się zajmiemy do wykorzystania wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego.
Teraz chcąc wyznaczyć przyspieszenie ziemskie należy wzór na okres drgań tak przekształcić, aby wyznaczyć
z niego przyspieszenie ziemskie (g).
T=2π
l
T
2π
T
4
wzór dzielimy przez 2π, aby po prawej stronie był tylko pierwiastek
g
=
l
=g
l
g
podnosimy do kwadratu, aby pozbyć się pierwiastka
teraz odpowiednio mnożymy i dzielimy, aby wyznaczyć g
g=
4
T2
wynik końcowy
Godne uwagi jest to, że wartość przyspieszenia ziemskiego nie zależy od masy ciężarka, a jedynie od długości
wahadła (l) i okresu drgań wahadła (T).
3. Jak zebrać pomiary i opracować wyniki:
Na początek wzór:
g=
4 l
T2
Do opracowania wyników będziemy potrzebowali wykresu, na osi OX będziemy umieszczać wartości T2,
natomiast na osi OY będziemy umieszczać wartości 4π2 l.
Najlepiej przygotować sobie tabelkę do zbierania wyników
1
2
3
4
Dane pomiar
pomiar
pomiar
pomiar
l1[m]=..... .....∙T[s]
l2[m]=..... .....∙T[s]
W opracowaniu można się posłużyć tabelką
5
pomiar
6
pomiar
7
pomiar
8
pomiar
9
pomiar
Wartość
największa
Wartość
najmniejsza
średnia
T
błąd
T
Oś X (T2)
(średnia z T dla długości l1)2 (średnia z T dla długości l2)2
2
Oś Y (4π l)
4∙π2∙l1
4∙π2∙l2
błąd dla T2 czyli osi X liczymy ze wzoru 2∙T∙ΔT
4π2l
T2
Oczywiście im więcej pomiarów tym dokładniejszy uzyskujemy wynik. Przy pomiarze okresu najlepiej nie
mierzyć czasu jednego okresu, a kilku(N). Potem wynik wystarczy podzielić przez ilość okresów, aby uzyskać
czas jednego okresu. Wszelkie obliczenia można robić z pomocą kalkulatora, lub komputera.
Następnie należy sporządzić wykres (osie powinny być tak wyskalowane, aby zmieściły się na nich również
największe wyniki). Na wykresie umieszczamy punkty z tabeli (kolor żółty) i nanosimy błędy. Teraz rysujemy
dwie proste przechodzące przez zaznaczone punkty z błędami i zaczynające się w początku układu
współrzędnych.
Teraz tylko odczyt z wykresu. Zaznaczmy sobie dowolny punkt z "górnej" prostej i odczytujemy jego
współrzędne (xmax, ymax), to samo robimy z "dolną" prostą (xmin, ymin).
Dzięki temu możemy obliczyć dwie wartości:
g max =
ymax
xmax
g min =
ymin
xmin
To wartości ograniczające rzeczywistą wartość przyspieszenia ziemskiego. Dzięki temu można obliczyć
wartość przyspieszenia ziemskiego i wartość o jaką mogliśmy się pomylić.
g max + g min
2
g max − g min
∆g=
2
g=
Po obliczeniu otrzymujemy wynik:
g=g±Δg
Oczywiście nie zapominamy o jednostkach.
POWODZENIA ☺