15.11.

Przegląd metod dowodzenia twierdzeń.
Tabela zawiera zestawienie podstawowych technik dowodowych.
Założenie twierdzenia jest oznaczone przez A, teza przez B. Tabela została zaczerpnięta z rozprawy Clausa Zinna pt. „Understanding informal mathematical discourse”, Erlangen 2004, str.
40, oryginalnie pochodzi z książki Daniela Solowa „How to read
and do proofs”, Wiley 1982.
1
Technika
dowodu
Kiedy używamy?
dedukcyjno
– redukcyjna
Jako pierwsza próba
oraz gdy B nie ma
rozpoznawalnej postaci.
Gdy w B jest słowo
„nie”.
nie wprost
przez
sprzeczność
konstrukcja
Gdy w B jest słowo „nie” oraz gdy
pierwsze dwie metody zawodzą.
Gdy w B jest zwrot
„istnieje”,
„ jest”,
„dla pewnego” lub
podobny.
Co
zakładamy?
A
Co mamy uzyskać?
B
nie B
nie A
A i „nie
B”
Jakąś
sprzeczność
A
Istnieje
szukany
obiekt.
Jak to wykonujemy?
Wyciągamy
kolejne
wnioski z A, budujemy
przesłanki, z których
wynika B.
Wyciągamy
kolejne
wnioski z „nie B”,
budujemy przesłanki, z
których wynika „nie A”.
Wyciągamy wnioski z A
i „nie B”, aż uzyskamy
sprzeczność.
Odgadujemy lub konstruujemy
szukany
obiekt.
Następnie
pokazujemy,
że
ten
obiekt ma wymaganą
własność.
2
Technika Kiedy używamy?
dowodu
wybór
Gdy w B jest
zwrot „dla dowolnego”,
„dla
każdego”
lub
podobny.
Co zakładamy?
A, i wybieramy
obiekt mający daną
własność.
indukcja
Twierdzenie Twierdzenie
zachodzi
zachodzi
dla n.
dla n + 1.
Trzeba też
sprawdzić,
że twierdzenie zachodzi
dla n0 .
Gdy B ma zachodzić dla każdej liczby naturalnej, począwszy od pewnej
liczby, np. n0 .
Co
mamy
uzyskać?
Zachodzi
pewien
warunek.
Jak to wykonujemy?
Wyciągamy wnioski z
A i z tego, że ten
obiekt ma daną własność. Również budujemy przesłanki, z których wynika, że zachodzi rozważany warunek.
Najpierw podstawiamy
n0 za n i pokazujemy, że twierdzenie
jest prawdziwe. Następnie przyjmujemy założenie, że twierdzenie
zachodzi dla n i dowodzimy go dla n + 1.
3
Technika
dowodu
Kiedy używamy?
przypadek
szczególny
Gdy w B jest
zwrot
„istnieje”,
„dla wszystkich”,
„dla każdego” lub
podobny.
bezpośrednia Gdy w B jest
jednozwrot
„dokładznaczność
nie
jeden”
lub
„ jednoznacznie
określony”.
pośrednia
jednoznaczność
przez eliminację
Gdy w B jest
zwrot
„dokładnie
jeden”
lub
„ jednoznacznie
określony”.
Gdy B ma postać
„C lub D”
Co zakładamy?
Jak to wykonujemy?
A
Co
mamy
uzyskać?
B
Są
dwa
(niekoniecznie
różne) takie obiekty
i zachodzi
A.
Są
dwa
różne takie
obiekty
i
zachodzi
A.
A i „nie C”
D
Wyciągamy wnioski z A
i „nie C”, a także budu4
jemy przesłanki, z których wynika D.
Wyciągamy
wnioski
przez zastosowanie A
do jednego konkretnego obiektu mającego
daną własność.
Te dwa Wyciągamy wnioski wyobiekty korzystując A oraz własą
sności danych obiekrówne.
tów. Również budujemy
przesłanki, z których
wynika, że te obiekty są
równe.
Jakąś
Wyciągamy wnioski z
sprzecz- A wykorzystując właność.
sności danych obiektów
oraz fakt, że są różne.
Technika
dowodu
przez przypadki
Kiedy używamy?
Gdy A ma postać „C lub D”
max/min 1
Gdy B ma postać „ max S 6 x”
lub „ min S > x”
max/min 2
Gdy B ma postać „ max S > x”
lub „ min S 6 x”
Co zakładamy?
Przypadek
1: C
Co
mamy
uzyskać?
B
Przypadek
2: D
Wybieramy
element s
w zbiorze
S i zakładamy A.
B
A
Konstrukcję
elementu s
zbioru
S,
takiego
że
s > x lub
s6x
s 6 x lub s >
x
Jak to wykonujemy?
Najpierw dowodzimy, że z C wynika
B,
następnie dowodzimy, że z D wynika B.
Wyciągamy wnioski
z A oraz z faktu, że
s należy do S. Również budujemy przesłanki, z których wynika B.
Wykorzystujemy A
oraz sposób konstrukcji do stworzenia szukanego elementu s zbioru S.
5
Uwagi dotyczące pisania rozumowań matematycznych.
Richard Hammack, Book of proof, Virginia Commonwealth University, str. 107–109.
http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/BookOfProof.pdf
6
Zbiory
7
Sposoby określania zbiorów
1) Zbiór wszystkich elementów postaci f (t), gdzie t przebiega
zbiór T :
{f (t); t ∈ T }.
2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X spełniających warunek
ϕ(x):
{x ∈ X : ϕ(x)}.
3) Zbiór skończony możemy określić przez wypisanie jego elementów, np.
{n ∈ N1 : n | 6} = {1, 2, 3, 6}.
8
• Zbiór liczb parzystych możemy określić na dwa sposoby:
{2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}.
• Prostą o równaniu y = ax + b możemy określić jako zbiór
punktów o współrzędnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R:
{(x, ax + b); x ∈ R}
lub jako zbiór tych punktów o współrzędnych (x, y), które
spełniają warunek y = ax + b:
{(x, y) ∈ R2 : y = ax + b}.
9
Ważny przykład zbiorów stanowią przedziały osi liczbowej.
(a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
[a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
10
Inkluzja zbiorów
Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy
A ⊂ B, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B,
czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie
(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).
Jeśli A ⊂ B, to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B.
11
Przykłady:
{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1],
N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Dwie podstawowe własności inkluzji:
1) jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B,
2) jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.
12
Zbiór pusty
Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go
symbolem ∅.
Zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze:
∅ ⊂ A.
13
Działania na zbiorach
Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B.
Suma A ∪ B składa się z wszystkich elementów, które należą do
zbioru A lub do zbioru B:
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).
Część wspólna (przekrój) A ∩ B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).
14
Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą
do zbioru A, ale nie należą do zbioru B:
(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).
Uwaga: (x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A).
Różnica symetryczna A ÷ B składa się z wszystkich elementów,
które należą do zbioru A, a nie należą do B, oraz tych, które
należą do B, a nie należą do A:
(x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).
Uwaga: A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
15