Zadania dla olimpijczyków 2.

1. Oblicz średnią arytmetyczną liczb 1, 2, 3, 4, 5, … , 4999, 5000.
2. Ile rozwiązań całkowitych ma równanie: x2 – y2 = 24?
3. Sprawdź, że 240 – 1 = (220 – 1)(220 + 1). Następnie to samo zrób z 220 – 1, itd.
4. Oblicz miarę kąta ostrego gwiazdy:
5. Oblicz jedną piątą liczby 2525.
6. W trójkąt równoboczny o boku 1 wpisano koło, a w to koło wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz
pole mniejszego trójkąta.
7. Na boku AC trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt D, taki, że |AD| > |CD|. Oblicz pole
trójkąta BDC, jeśli |AB| = 6.
8. W koszu była pewna liczba jabłek. Piotr zjadł
1
1
wszystkich jabłek i jeszcze 2 jabłka. Paweł zjadł
3
4
wszystkich jabłek i jeszcze jedno jabłko. Lech zjadł połowę z pozostałych jabłek. Okazało się wtedy, że
w koszu pozostała
1
początkowej liczby jabłek. Ile jabłek było początkowo w koszu?
6
9. Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin, a gdyby Janek
robił to sam, musiałby to plewić aż przez 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?
10. Tomek miał pomalować płot razem z trzema kolegami, jednak jeden z kolegów zrezygnował,
przez co praca trwała o pół godziny dłużej. Jak długo chłopcy malowali płot?
11. Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła
herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka herbaty ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.
12. Dany jest układ równań:
2x + 3y = k
x-y=k+5
Wyznacz wartość parametru k, aby rozwiązaniem układu była para liczb równych.
13. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 47. Jeżeli większą z nich podzielimy przez mniejszą, to
otrzymamy 2 i resztę 5. Znajdź te liczby.