ostre mini dv

fizyka statystyczna
stan makroskopowy
układ - skończony obszar przestrzenny
(w szczególności izolowany)
termodynamika fenomenologiczna
teoria kinetyczno-molekularna
termodynamika statystyczna
p, V, T
<v2>
n(v)
stan makroskopowy
wyrównywanie temperatur:
czas rzędu l/vs , gdzie vs = 330 m/s (prędkość dźwięku)
weźmy: l = 1 m , t = 3 · 10–3 s
91
to jest „długi” czas, zachodzi 10
zderzeń
s
stan mikroskopowy
i = 1, 2, 3, ... N – numeruje cząstki
19
N ≈2. 7⋅10
1
3
cm
pełna informacja o układzie:
( x i , yi , z i , v xi , v yi , v zi )
lub
( q xi , q yi , q zi , p xi , p yi , p zi )
przestrzeń fazowa jest 6N wymiarowa
...można przyjąć, że są to wielkości losowe
objętość zajmowana przez cząstkę: 10–30 m3
w przestrzeni fazowej objętość komórki
(co najwyżej z jedną cząstką): dx dy dz dp x dp y dp z =ℏ 3
−34
ℏ=1.05457×10 J⋅s
postulat równego prawdopodobieństwa :
w stanie równowagi wszystkie mikrostany są
równoprawdopodobne
zespół statystyczny
zbiór wielkiej liczby układów identycznych
hipoteza ergodyczna: uśrednianie po czasie jest
równoważne uśrednianiu po zespole statystycznym
stan równowagi
weźmy układ izolowany o określonych parametrach makro:
∈ (E, E + dE)
Q(E) – zespół stanów mikro
Ω(E) – liczba tych stanów
Jeżeli prawdopodobieństwa znalezienia układu izolowanego w
dowolnym mikrostanie spośród Q(E) są jednakowe to układ
znajduje się w równowadze (statystycznej).
Jeżeli nie, to z upływem czasu układ będzie dążył do stanu, w
którym wszystkie dozwolone stany będą równoprawdopodobne.
Czyli układ dąży do stanu równowagi.
zespół mikrokanoniczny
jeżeli wszystkie dozwolone
stany z E = const są
jednakowo prawdopodobne to:
przykład:
zespół mikrokanoniczny
wielkość y przyjmuje wartość yj w j – tym mikrostanie
Ωj
P ( y j )=
Ω
liczba stanów mających y = yj
liczba wszystkich dozwolonych stanów
N
N
1
〈 y 〉=∑ P ( y j ) y j = ∑ Ω j y j
Ω j =1
j =1
oddziaływanie termiczne
'
''
E= E + E =const
̄ '0+ E
̄ '0' = E
̄'+E
̄''
E
̄ '0− E
̄ '= E
̄ ''−E
̄ '0'
E
̄ ' =−Δ E
̄ ' ' …=Q
ΔE
przy oddziaływaniu termicznym nie zmieniają się
wartości poziomów energii tylko prawdopodobieństwa
obsadzeń
ogólne oddziaływanie
̄ =∑ P i E i
E
i
w procesie infinitezymalnym:
̄ =∑ ( P i dE i + E i dP i )
dE
i
=∑ E i dP i +∑ P i dE i
i
czyli:
dU =δQ−δW
i
entropia statystyczna
E´ + E´´ = E
zakładamy, że układy są w równowadze
termodynamicznej
liczba stanów w przedziale (E´, E´ + dE´) jest: Ω´(E´)
liczba stanów w przedziale (E´´, E´´ + dE´´) jest: Ω´´(E´´)
Jakie jest prawdopodobieństwo, że energia układu z lewej
jest w przedziale (E´, E´ + dE´) ?
'
(
)
Ω
E
'
P ( E )=
Ω
Ω(E´) – liczba stanów pełnego układu z warunkiem
Ω – liczba wszystkich stanów pełnego układu
Ω(E´) = Ω´(E´) Ω´´(E´´) = Ω´(E´) Ω´´(E – E´)
'
P ( E )=
1 ' '
''
'
Ω ( E ) Ω ( E− E )
Ω
cd.
'
P ( E )=
1 ' ' ''
'
Ω ( E ) Ω ( E− E )
Ω
Ω
P(E´)
E´
E´
liczba stanów jest szybko rosnącą funkcją energii
→ ostre maksimum
przykład
dla cząstki swobodnej ilość stanów proporcjonalna do
powierzchni sfery o promieniu p, czyli p2
2
p
2
P ( p)≈ p , E= ⇒ P ( E )≈ E
m
dla układu dwóch cząstek o stałej energii E
P ( E 1 , E 2 )= P ( E 1 ) P ( E 2 )=
P ( E 1 ) P ( E− E 1 )≈ E 1 ( E− E 1 )
gdy mamy wiele cząstek, z
których połowa ma energię E1
a druga połowa energię E2
P ( ( N / 2)× E 1 ,( N /2)× E 2 )=
P ( E 1)
N /2
N /2
P ( E− E 1 )
E 1 ( E− E 1 )
N /2
N /2
≈
cd.
dwa podukłady osiągają równowagę właśnie przy energii
odpowiadającej temu maksimum
dP
=0
'
dE
maksimum?
'
''
1
'' ∂Ω
'
' ∂Ω
'
dP= Ω
d
E
−Ω
d
E
=0
'
''
Ω
∂E
∂E
(
stąd:
)
'
''
1 ∂Ω
1 ∂Ω
=
'
'
''
''
Ω ∂E Ω ∂E
'
'
''
''
∂ ln Ω ( E ) ∂ ln Ω ( E )
=
… =const
'
''
∂E
∂E
temperatura statystyczna
wniosek:
istnieje funkcja statystyczna
∂ ln Ω ( E )
∂E
która osiąga jednakową wartość dla układów w równowadze
∂ ln Ω ( E ) 1
=
∂E
kT
oznaczmy:
def
S = k ln Ω
k - stała Boltzmanna
entropia statystyczna
– logarytmiczna miara liczby dozwolonych stanów
– miara nieuporządkowania
∂S
T=
∂E
−1
( )
przykład
dτ =dx dy dz
ilość dozwolonych stanów jednej cząstki:
V1
Ω ≈
dτ
(1)
1
ilość dozwolonych stanów N cząstek:
V1
Ω1=Ω Ω ⋯Ω ≈
dτ
(1)
1
( 2)
1
(N)
1
Ω2 =Ω21 Ω22 ⋯Ω2N
( )
( )
(
)
N
( )
V
≈( )
dτ
N
V1
2
V2
w równowadze mikrostany są
równoprawdopodobne
prawdopodobieństwo, że gaz pozostanie w objętości V1 :
Ω
V
P= 1 = 1
Ω2 V 2
( )
N
N ≈10
24
P << 1
przyrost entropii
Ω2
ΔS =S 2 −S 1 =k ln Ω2 −k ln Ω1 =k ln
Ω1
k=
R
NA
– stała Boltzmanna
Ω2
V2
ΔS =k ln
=νR ln
Ω1
V1
ogólnie:
termodynamika fenomenologiczna…
̄
δQ= Δ E
̄
δQ << E
̄ +δQ ) =ln Ω ( E
̄ ) + ∂ ln Ω δQ+⋯
ln Ω ( E
̄
∂E
̄ +δQ ) −ln Ω ( E
̄ ) = δQ
ln Ω ( E
kT
dS =
δQ
T
paradoks Gibbsa - przypomnienie
identyczny gaz z lewej i z prawej
V 1V 2
V 1 V 2
ΔS =ν1 R ln
ν 2 R ln
V1
V2
ν 1=ν 2 =ν
V 1=V 2 =V
}
ΔS =2νR ln 2 0
izotermicznie
!?
paradoks Gibbsa – entropia statystyczna
mechanika kwantowa: cząstki są nierozróżnialne –
liczbę stanów należy podzielić przez liczbę kombinacji!
V N 1
Ω≈
⋅
τi
N!
( )
dla naczyń rozdzielonych i połączonych:
N
N
ΩR =Ω1⋅Ω2≈ ( V ) ( V ) ⋅
1 1
⋅
N! N!
1
2N
ΩP ≈ ( 2V ) ⋅
(2N)!
a entropia?
S R≈ N ln V + N ln V −2( N ln N − N )
=2 N ln V −2 N ln N +2 N
S P≈2 N ln 2 V −(2 N ln 2 N −2 N )
=2 N ln V +2 N ln 2−(2 N ln N +2 N ln 2−2 N )
=2 N ln V +2 N ln 2−2 N ln N −2 N ln 2+2 N
=2 N ln V −2 N ln N +2 N =S R
zgadza się !
układ ogólniejszy
'
''
'
E + E = E=const
''
V +V =V =const
'
'
'
'
''
''
''
Ω=Ω ( E ,V ) Ω ( E ,V )
''
ln Ω=ln Ω +ln Ω
addytywność
'
S=S +S
''
w stanie równowagi entropia osiąga maksimum
'
S=S ( E , V )
''
dS =d S +d S =0
'
''
'
''
∂S
∂S
∂S
∂S
'
''
'
''
dS =
d
E
+
d
E
+
d
V
+
d
V
=0
'
''
'
''
∂E
∂E
∂V
∂V
ale
'
d E =−d E
''
'
d V =−d V
''
∂ S' ∂ S' '
∂ S ' ∂ S' '
'
'
dS =
−
d
E
+
−
d
V
=0
'
''
'
''
∂E ∂E
∂V ∂V
(
)
(
)
warunki równowagi
'
ale
''
'
''
∂S ∂S
=
'
''
∂E ∂E
∂S ∂S
=
'
''
∂ V ∂V
∂S 1
=
∂E T
T =T
'
statystyczna definicja ciśnienia:
jest ona adekwatna:
dE =TdS − pdV
czyli :
i:
'
p=p
''
''
warunek równowagi termicznej
∂ ln Ω p
=
∂V
kT
∂S
∂S
dE +
dV
∂E
∂V
1
p
dS = dE + dV
T
T
dS =
∂S p
=
∂V T
drugi warunek równowagi (mechanicznej)
rozkład kanoniczny
dwa układy:
'
E= E + E
''
przy
'
E << E
''
jakie jest prawdopodobieństwo, że mały układ ma energię E´i ?
P i ~ Ω' ' ( E− E 'i )
'
''
Ei
∂ ln Ω '
''
ln Ω ( E− E )≈ln Ω ( E ) −
E i =ln Ω ( E ) −
''
kT
∂E
−E i
''
'
''
Ω ( E−E i )=Ω ( E ) exp
kT
−E i
P i =C exp
rozkład kanoniczny
kT
−E i
∑ Pi =C ∑ exp kT =1
i
i
−1
−E i
C = ∑ exp
suma statystyczna
kT
i
''
'
i
(
''
)
cd.
średnia w zespole kanonicznym:
̄y =∑ P i y i =C
i
∑
i
y i exp
−E i
kT
ogólna postać rozkładu kanonicznego;
P ( E )=C Ω ( E ) exp
−E i
kT
w gazie
w gazie doskonałym w stanie równowagi cząstkę gazu można
traktować jako mały układ i zastosować rozkład kanoniczny
Ei= Ei ( x , y , z , px , p y , pz )
P i =C exp
−E ( ⃗r , ⃗p )
kT
dP=C exp
−E
dx dy dz dp x dp y dp z
kT
∫ dP=1
cd.
energia cząstki w gazie doskonałym:
2
2
2
m
v
+v
+v
(
mv
x
y
z)
E ( x , y , z , v x , v y , v z )=
=
2
2
2
2
−mv
dP ( x , y , z , v x , v y , v z ) =C exp
dτ dv x dv y dv z
2 kT
jest to prawdopodobieństwo, że
współrzędne:
∈( ⃗r , ⃗r +d ⃗r )
a prędkości:
∈( ⃗v , ⃗v +d ⃗v )
cząstki poruszają się niezależnie więc zespół statystyczny
rozkład Maxwella prędkości
dP=
dN
N
dN – liczba cząstek w dτ
z prędkościami w
( ⃗v ,⃗v +d ⃗v )
2
−mv
n ( ⃗v ) dv x dv y dv z =C exp
dv x dv y dv z
2 kT
rozkład Maxwella prędkości
pytanie:
vz
n ( v ) =n (∣⃗v∣)=?
⃗v
2
−mv
n ( v ) dv=Cv exp
dv
2 kT
2
vy
vx
objętość: 4πv2dv
rozkład
n(v)
−mv
n ( v ) =Cv exp
2 kT
2
2
m
C =4π
2π kT
(
0
v
prędkość najbardziej prawdopodobna:
3
2
dn ( v )
mv
−mv
=C 2v−
exp
=0
dv
kT
2 kT
(
)
v p=
√
2 kT
m
√ 〈 v 2 〉=
√
3 kT
m
)
3
2
weryfikacja
Hg
Kolumna B
Kolumna C
x
n(v)
F(Vx), F(V)
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0
v
0.0005
0
0
200
400
600
800
prę
ver-01