W pełni brzegowe sformułowanie MEB dla nieustalonej dyfuzji ciepła

Please cite this article as:
Ewa Majchrzak, Maria Lupa, Ewa Ładyga, W pełni brzegowe sformułowanie MEB dla nieustalonej dyfuzji ciepła,
Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science, 2002, Volume 1, Issue 1, pages 133-142.
The website: http://www.amcm.pcz.pl/
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
W PEŁNI BRZEGOWE SFORMUŁOWANIE MEB
DLA NIEUSTALONEJ DYFUZJI CIEPŁA
Ewa Majchrzak1, 2, Maria Lupa2, Ewa Ładyga2
1
Politechnika Śląska, Gliwice
Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Częstochowska
2
Streszczenie. Zastosowanie metody elementów brzegowych do modelowania nieustalonej
dyfuzji ciepła wiąże się z koniecznością dyskretyzacji zarówno brzegu, jak i wnętrza obszaru.
W pracy przedstawiono taki wariant tej metody, w którym występują tylko całki związane
z brzegiem obszaru. Wykorzystano przy tym rozwiązanie fundamentalne niezależne od czasu.
Pokazano przykład obliczeń rozkładu temperatury w obszarze płaskim zorientowanym
w prostokątnym układzie współrzędnych.
Wstęp
Rozpatrywać będziemy równanie nieustalonej dyfuzji ciepła
x∈Ω : c
∂ T ( x, t )
= λ ∇ 2 T ( x, t )
∂t
(1)
gdzie λ jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, c - ciepłem właściwym odniesionym do jednostki objętości, T, x = (x1, x2), t oznaczają temperaturę, współrzędne
geometryczne i czas. Równanie (1) uzupełniają odpowiednie warunki brzegowo-początkowe.
W literaturze, np. [1-3], omówione są różne algorytmy metody elementów brzegowych, pozwalające rozwiązać tak sformułowane zadanie. Najpopularniejsze z nich
to pierwszy i drugi schemat MEB, metoda kombinowana, w której najpierw aproksymuje się pochodną względem czasu odpowiednim ilorazem różnicowym,
a następnie stosuje się rozwiązanie fundamentalne zależne jedynie od współrzędnych geometrycznych. Brzegowe równania całkowe odpowiadające tym wariantom
MEB zawierają jednak całki po wnętrzu obszaru, co powoduje, że na etapie realizacji numerycznej należy dyskretyzować zarówno brzeg, jak i jego wnętrze.
Jedną z prób ominięcia tych niedogodności jest rozwijanie algorytmów MEB,
które pozwalają sprowadzić całkę po wnętrzu obszaru do szeregu całek brzegowych, np. [4]. Otrzymuje się wówczas w pełni brzegowe sformułowanie. W niniejszym artykule omówiono taki właśnie wariant MEB.
133
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
1. W pełni brzegowe sformułowanie MEB
Ustalone pole temperatury w obszarze Ω, w którym działają wewnętrzne źródła
ciepła Q(x), opisuje następujące równanie:
x ∈ Ω : λ ∇ 2 T ( x ) + Q (x ) = 0
(2)
uzupełnione odpowiednimi warunkami brzegowymi.
Brzegowe równanie całkowe dla tak sformułowanego zadania ma postać
∫
B(ξ )T (ξ ) + U 0∗ (ξ , x ) q(x ) dΓ =
=
∫
Γ
W0∗
(ξ , x )T (x ) dΓ + ∫ Q(x )U 0∗ (ξ , x ) dΩ
Γ
(3)
Ω
gdzie Γ jest brzegiem obszaru Ω, ξ - punktem obserwacji, B (ξ ) ∈ (0,1] , U 0 ∗ (ξ , x) rozwiązaniem fundamentalnym postaci
U 0∗ (ξ , x) =
1
1
ln
2πλ r
(4)
gdzie r jest odległością między punktami ξ i x
r=
( x1 − ξ 1 ) 2 + ( x 2 − ξ 2 ) 2
W0∗ (ξ , x ) = −λ
∂U 0∗ (ξ , x )
d
=
∂n
2πr 2
(5)
(6)
przy czym
d = (x1 − ξ 1 ) cos α 1 + ( x 2 − ξ 2 ) cos α 2
(7)
gdzie cosα1, cosα2 są cosinusami kierunkowymi wektora normalnego n.
W równaniu (3) q(x) jest strumieniem ciepła
q ( x ) = −λ
∂ T (x )
∂n
(8)
Brzegowe równanie całkowe (3) można zastosować do równania (1), podstawiając
Q( x ) = −c
134
∂T (x, t )
∂t
(9)
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
i wówczas
∫
B(ξ )T (ξ , t ) + U 0∗ (ξ , x ) q( x, t ) d Γ =
Γ
=
∫
W 0∗
Γ
(ξ , x )T (x, t ) d Γ − c ∂T (x, t ) U 0∗ (ξ , x ) d Ω
∂t
Ω
(10)
∫
Zajmiemy się przekształceniem ostatniej całki w tym równaniu, czyli
I = −c
∂T ( x, t ) ∗
U 0 (ξ , x ) d Ω
∂t
Ω
∫
(11)
Zakładamy, że znamy funkcję U 1∗ (ξ , x ) , która jest rozwiązaniem równania
∇ 2U (ξ , x ) = U 0∗ (ξ , x )
(12)
Wykorzystujemy drugą formułę Greena [3]
I = −c
 ∂T (x, t )  ∗
∂T (x, t ) 2 ∗
∇ U 1 (ξ , x ) d Ω = −c ∇ 2 
 U 1 (ξ , x ) d Ω +
∂
t
∂
t


Ω
Ω
∫
∫
 ∂T (x, t ) ∂U 1∗ (ξ , x )
∂  ∂T ( x, t )  
−c 
− U 1∗ (ξ , x ) 
 d Γ
∂n
∂ n  ∂t  
 ∂t

Γ
(13)
∫
Na podstawie równania (1) mamy
∇ 2 T (x, t ) =
1 ∂T (x, t )
a
∂t
(14)
gdzie a = λ/c jest współczynnikiem dyfuzji. Stosując następujące zależności:
 ∂T ( x, t )  ∂ 2
∂  1 ∂T ( x, t )  1 ∂ 2 T (x, t )
(
)
∇2 
=
∇
=
T
x
,
t


=
∂ t  a ∂ t  a ∂t 2
 ∂t  ∂t
(15)
∂  ∂ T ( x, t )  ∂  ∂T ( x, t ) 
1 ∂ q ( x, t )

= 
=−
λ ∂t
∂ n  ∂t  ∂ t  ∂ n 
(16)
[
]
mamy
I =−
c ∂ 2 T ( x, t ) ∗
U 1 (ξ , x ) d Ω +
a Ω ∂t 2
∫
∂ q ( x, t ) 
1  ∂T (x, t ) ∗
+
W1 (ξ , x ) − U 1∗ (ξ , x )

dΓ
∂t 
a Γ  ∂t
(17)
∫
135
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
gdzie
W1∗ (ξ , x ) = −λ
∂ U 1∗ (ξ , x )
∂n
(18)
Następnie zakładamy, że znamy postać funkcji U 2∗ (ξ , x ) takiej, że
∇ 2U 2∗ (ξ , x ) = U 1∗ (ξ , x )
(19)
i obliczamy całkę
I1 = −
c
a
∫
Ω
∂ 2 T ( x, t )
∂t2
U 1∗ (ξ , x ) d Ω
(20)
stosując ponownie drugą formułę Greena
2
c
c ∂ 2 T ( x, t ) 2 ∗
2  ∂ T ( x, t ) 
∗
(
)
∇
Ω
=
−
∇
U
x
d
ξ
,

 U 2 (ξ , x ) d Ω +
2
2
2
a Ω  ∂t
a Ω ∂t

∫
I1 = −
∫
∂  ∂ 2T ( x, t )  
c  ∂ 2 T (x, t ) ∂U 2∗ (ξ , x )
∗
(
)
−
−
U
x
ξ
,


 d Γ
2
2
∂n
∂ n  ∂ t 2 
a Γ
 ∂t

(21)
∫
Ponieważ
 ∂ 2T ( x, t )  ∂ 2
∂2
2
(
)
∇
=
=
T
x
t
,
∇2 

2
2
∂t2
 ∂t
 ∂t
[
]
 1 ∂T (x, t )  1 ∂ 3T ( x, t )

=
3
a ∂t  a ∂t
1 ∂ 2 q ( x, t )
∂  ∂ 2 T (x, t )  ∂ 2  ∂T ( x, t ) 
=
=
−




∂ n  ∂t2  ∂t2  ∂ n 
λ ∂t2
(22)
(23)
mamy więc
I1 = −
1
+ 2
a
∫
Γ
c
a2
∂ 3T ( x, t ) ∗
U 2 (ξ , x ) d Ω +
∂t3
Ω
∫
 ∂ 2 T ( x, t ) ∗
∂ 2 q ( x, t ) 
∗
ξ
ξ
(
,
)
−
(
,
)
W
x
U
x

dΓ
2
2
2
∂t2 
 ∂t
(24)
gdzie
W 2∗ (ξ , x ) = −λ
136
∂ U 2∗ (ξ , x )
∂n
(25)
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
Całka I jest równa
I =−
c
a2
∫
Ω
∂ 3T ( x, t ) ∗
U 2 (ξ , x ) d Ω +
∂t3
+
∂ q ( x, t ) 
1  ∂T (x, t ) ∗
W1 (ξ , x ) − U 1∗ (ξ , x )

dΓ+
∂t 
a Γ  ∂t
+
1
a2
∫
∫
Γ
(26)
 ∂ 2 T ( x, t ) ∗
∂ 2 q ( x, t ) 
∗
(
)
(
)
ξ
ξ
,
,
−
W
x
U
x

dΓ
2
2
2
∂t2 
 ∂t
Postępując w podobny sposób nieskończenie wiele razy, otrzymujemy
I=
∞
∑ ∫
l =1
1
al
Γ
 ∂ l T ( x, t ) ∗
∂ l q ( x, t ) 
∗
(
)
(
)
W
ξ
x
U
ξ
x
−
,
,

dΓ
l
l
l
∂tl 
 ∂t
(27)
gdzie
∇ 2U l∗ (ξ , x ) = U l∗−1 (ξ , x ) ,
∂ U l∗ (ξ , x )
∗
(
)
Wl ξ , x = −λ
∂n
l = 1,2,3,...
(28)
Wzór (27) wprowadzamy do brzegowego równania całkowego (10) i otrzymujemy
B (ξ ) T (ξ , t ) +
∞
∑ ∫
l =0
∞
=
∂ l q ( x, t )
1
∗
(
)
U
ξ
x
,
dΓ=
l
∂tl
al Γ
1
al
∂ l T ( x, t )
dΓ
Wl∗ (ξ , x )
∂tl
Γ
(29)
∑ ∫
l =0
i uzyskujemy równanie całkowo-różniczkowe, w którym pochodne rzędu zerowego oznaczają te same funkcje.
2. Dyskretyzacja względem czasu
W pierwszej kolejności dokonujemy dyskretyzacji rozpatrywanego przedziału
czasu [t0, tF], wprowadzając siatkę ze stałym krokiem ∆t = t f − t f −1
0 < t 0 < t 1 < . . . < t f −1 < t f < . . . < t F < ∞
(30)
Na odcinku czasu [t f −1 , t f ] zakładamy liniową aproksymację funkcji temperatury
i strumienia ciepła, czyli
137
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
T ( x, t ) =
t f −t
t − t f −1
t f −t
T x, t f −1 +
T x, t f =
T
∆t
∆t
∆t
(
)
(
)
f −1
+
t − t f −1
T
∆t
f
f
f
q ( x, t ) =
f −1
t −t
t −t
q x, t f −1 +
∆t
∆t
(
)
(
)
f
q x, t f =
(31)
f −1
t − t f −1 t − t
q
+
∆t
∆t
q
Obliczamy pochodne pierwszego rzędu względem czasu
∂ T ( x, t ) 1
=
T
∂t
∆t
(
f
−T
f −1
∂ q ( x, t ) 1
=
q f − q f −1
∂t
∆t
(
)
(32)
)
i są one niezależne od czasu, czyli pochodne wyższych rzędów są równe zero.
Dla t ∈ [t f −1 , t f ] otrzymujemy następującą dyskretyzację równania (29)
t f −t
T
B(ξ ) 
 ∆t
f −1
+
t − t f −1
T
∆t
f

+


 t f − t f −1 t − t f −1 f 
1
+
+ U 0∗ (ξ , x ) 
q
q  d Γ +
U 1∗ (ξ , x ) q f − q f −1 d Γ =
t
t
a
t
∆
∆
∆


Γ
Γ
∫
(
∫
t f −t
= W0∗ (ξ , x ) 
T
 ∆t
Γ
∫
f −1
+
t − t f −1
T
∆t
f
)

1
d Γ +
W1∗ (ξ , x ) T f − T

a
t
∆

Γ
(
∫
f −1
(33)
)d Γ
lub po dokonaniu pewnych przekształceń
1
t − t f −1
U 0∗ (ξ , x ) q f d Γ +
U 1∗ (ξ , x ) q f d Γ =
∆t Γ
a ∆t Γ
f −1 

1
t −t
f
f
∗
=
W1∗ (ξ , x )T f d Γ +
 W 0 (ξ , x )T d Γ − B (ξ ) T  +
∆
∆ t  Γ
a
t
Γ

f

1
t −t 
f −1
f −1
∗
+
W1∗ (ξ , x )T f −1 d Γ +
 W 0 (ξ , x )T d Γ − B (ξ ) T  −
∆
∆ t  Γ
a
t
Γ

f
−
1
t
t
−
U 0∗ (ξ , x ) q f −1 d Γ +
U 1∗ (ξ , x ) q f −1 d Γ
∆t Γ
a ∆t Γ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(34)
∫
∫
Oczywiście, zastosowanie algorytmu wymaga znajomości funkcji U 1∗ (ξ , x ) ,
W1∗ (ξ , x ) . Są to funkcje postaci [4]:
138
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
U 1∗ (ξ , x ) =
r2  1 
 ln + 1
8π λ  r

W1∗ (ξ , x ) = −
(35)
d 
1 
 2 ln + 1
r
8π 

(36)
3. Dyskretyzacja względem współrzędnych geometrycznych
Brzeg obszaru dzielimy na N stałych elementów brzegowych Γj, j = 1,2,...,N.
Całki występujące w równaniu (34) zastępujemy sumę całek po tych elementach,
a wartości temperatury i strumieni ciepła aproksymujemy ich wartościami
w środkach tych elementów, czyli
(
) = T (x , t
( ) = T (x , t
( ) = q (x , t
( ) = q (x , t
 T x, t f

f −1
T x, t
x ∈Γj : 
f
 q x, t
 q x, t f −1

j
j
f
)= T
)= T
)= q
)= q
f
j
f −1
j
j
f
f −1
j
(37)
f
j
f −1
f −1
j
Otrzymujemy następującą aproksymację równania (34)
t − t f −1
∆t
+
1
a ∆t
N
∑
Gi j q jf +
j =1
N
∑H
N
1
a ∆t
∑
f
1
ij
T jf +
j =1
t f −t
−
∆t
t −t
∆t
Gi1 j q jf =
j =1
N
∑H
ij
∑H
1
a ∆t
∑H
T j f −1 −
j =1
N
∑G
ij
q jf −1
j =1
1
+
a ∆t
N
t − t f −1
∆t
ij
T jf +
j =1
N
1
ij
T j f −1 +
(38)
j =1
N
∑G
1
ij
q jf −1
j =1
gdzie
∫ ( )
Gi j = T * ξ i , x d Γ j
(39)
Γj
Hi j
 q* ξi,x d Γ , i ≠ j
j

= Γ j

− 0.5,
i= j

∫ ( )
1
∫ ( )
Gi j = U 1∗ ξ i , x d Γ j
(40)
(41)
Γj
139
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
1
∫ ( )
H i j = W1∗ ξ i , x d Γ j
(42)
Γj
Jeśli założymy, że na rozpatrywanym odcinku czasu [t f −1 , t f ] nie zmieniają się
warunki brzegowe i przyjmiemy t = t f, wówczas równanie (38) upraszcza się do
postaci
N
∑
j =1
N


1
1


 Gi j +
Gi1 j  q jf =
H i1 j  T j f +
 Hi j +
a ∆t
a∆t



j =1 
N
N
1
1
−
H i1 j T j f −1 +
Gi1 j q jf −1
a ∆t j =1
a ∆t j =1
∑
∑
(43)
∑
Równania rozpisujemy dla wszystkich węzłów brzegowych ξi, i = 1,2,...,N.
W ten sposób otrzymujemy układ równań algebraicznych, do którego wprowadzamy odpowiednie warunki brzegowe. Po jego rozwiązaniu znane są wartości temperatury T j f oraz strumieni ciepła q jf we wszystkich węzłach brzegowych. Temperaturę w dowolnych punktach wewnętrznych wyznaczamy z zależności
N
Ti =
f
∑
j =1
N

1
f
1 
 H i j +

Hi j Tj −
a ∆t


j =1
N
1
1
H i1 j T j f −1 +
−
a ∆t j =1
a ∆t

∑  G
∑
ij
+

1
Gi1 j  q jf +
a ∆t

N
∑
Gi1 j
(44)
q jf −1
j =1
Otrzymane rozwiązanie stanowi warunek pseudopoczątkowy dla następnego kroku
obliczeń, czyli przejścia t f → t f +1.
4. Przykład obliczeń
Analizowano proces nieustalonego przepływu ciepła w nieskończonym pręcie
o przekroju kwadratowym (długość boku 0.5). Brzeg obszaru podzielono na 40
stałych elementów brzegowych.
Na rysunku 1 pokazano przyjętą dyskretyzację oraz zaznaczono położenie węzłów wewnętrznych, w których obliczano wartości temperatury. Zagadnienie sformułowano w postaci bezwymiarowej. Na dolnym i lewym boku kwadratu założono
warunek izolacji cieplnej, a na pozostałych bokach konwekcyjną wymianę ciepła
z otoczeniem o temperaturze równej zero i liczbie Biota 0.5. Jako warunek początkowy przyjęto temperaturę równą jeden. Obliczenia przeprowadzono z bezwymiarowym krokiem czasu równym 0.2. Na rysunkach 2 i 3 pokazano rozkłady temperatury dla bezwymiarowych czasów 0.2 i 0.4.
140
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
Rys. 1. Dyskretyzacja brzegu i punkty wewnętrzne
Rys. 2. Rozkład temperatury dla czasu 0.2
Rys. 3. Rozkład temperatury dla czasu 0.4
Wyniki obliczeń porównano z rozwiązaniem uzyskanym za pomocą metody
elementów brzegowych z dyskretyzacją czasu [5]. Stosując ten wariant MEB konieczna jest dyskretyzacja zarówno brzegu, jak i wnętrza obszaru. W tym celu
wnętrze podzielono na 100 stałych elementów wewnętrznych (kwadratów). Wyniki
otrzymane za pomocą obydwu wariantów niewiele się różniły.
Literatura
[1] Banerjee P.K., Boundary element methods in engineering, McGraw-Hill Book Company, London
1994.
[2] Brebbia C.A., Domingues J., Boundary elements, an introductory course, Computational Mechanics
Publications, McGraw-Hill Book Company, London 1992.
141
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
[3] Majchrzak E, Metoda elementów brzegowych w przepływie ciepła, Wyd. Pol. Częstochowskiej,
Częstochowa 2001.
[4] Nowak A.J., Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności,
Wyd. Pol. Śląskiej, Energetyka 116, Gliwice 1993.
[5] Ładyga E., Zastosowanie metody elementów brzegowych do modelowania nieustalonej dyfuzji,
Praca doktorska, Politechnika Częstochowska, Częstochowa 1997.
142