Indukcja matematyczna wraz z przykładami

Indukcja matematyczna
Indukcja jest taką metodą rozumowania, za pomocą której od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej.
Przykład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie)
1. Kawałek żelaza, który zanurzyłem w wodzie, stracił na wadze waży
mniej, niż ważył przed zanurzeniem w wodzie (teza szczegółowa).
2. Każde ciało zanurzone w wodzie waży mniej niż przed zanurzeniem
(teza ogólna).
W pierszym przykładzie teza ogólna wyprowadzona z tezy szczegółowej
jest słuszna, ale nie zawsze tak bywa.
Przykład 2 (szklanka z wodą)
1. Szklanka, którą trzymam w raku, pękła przy szybkim napełnianiu jej
wrzątkiem.
2. Każda szklanka pęka przy szybkim napełnianiu jej wrzątkiem.
W drugim przykładzie teza ogólna nie jest słuszna, bo są szklanki wyprodukowane ze specjalnego szkła, które nie pękają przy najszybszym nawet
napełnianiu ich wrzątkiem.
Indukcja jest najpowszechniejszym, codziennym sposobem rozumowania.
Jak jednak ustrzec się od wyciągnięcia błędnego wniosku na podstawie indukcji? W życiu uczymy się unikać błędnego wnioskowania dzięki wielokrotnemu
powtarzaniu aktu indukcyjnego, dzięki doświadczeniu życiowemu. W nauce,
bardzo szeroko stosującej metodę indukcyjną, unikamy błędnego wnioskowania, uzupełniając indukcję zwykłą, dodatkowym rozumowaniem. Polega ono
na sprawdzeniu, że jeśli pewien wniosek jest słuszny dla l, 2, 3, ... przypadków, zakładamy, iż jest on słuszny dla k przypadków i dowodzimy, że skoro
jest on słuszny dla k przypadków to jest on słuszny i dla przypadku k+1.
Taką metodę rozumowania nazywamy indukcją zupełną albo indukcją matematyczną. Wnioski wysuwane bez stosowania indukcji matematycznej nawet
przez największych matematyków niejednokrotnie okazały się błędne.
1
Oto przykłady
1. Znakomity matematyk Leonard Euler (1707 - 1783) przypuszczał, że
trójmian x2 + x + 41 wyraża liczby pierwsze przy podstawieniu za x
dowolnej liczby naturalnej. Istotnie, gdy x podstawimy 1, 2, 3, ..., 10,
otrzymamy liczby 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, które są liczbami pierwszymi. Ale wniosek ten oparty na 10 przypadkach, okazuje się
błędny, gdy za x podstawimy np. 40; otrzymamy wówczas liczbę 1681,
która nie jest liczbą pierwszą, bo 1681 = 41 − 41.
n
2. Fermat uważał, że liczby postaci 22 + 1, gdzie n jest liczbą naturalną,
są liczbami pierwszymi. Po podstawieniu za n liczb 1, 2, 3, 4 otrzymamy
5, 17, 257, 65537. Wszystkie te liczby są pierwsze, ale po podstawieniu
za n liczby 5 otrzymujemy 4294967297, której podzielnika Fermat nie
znalazł i sądził, że jest ona również pierwszą. Dopiero Euler wykrył że
liczba ta jest podzielna przez 641, a więc nie jest liczbą pierwszą. Stąd
widzimy, jak ważne jest w nauce stosowanie indukcji matematycznej.
Dowód przeprowadzony na podstawie metody indukcji matematycznej
musi koniecznie składać się z dwóch części, z dowodów dwóch niezależnych
twierdzeń:
Twierdzenie I Teza jest prawdziwa dla n = 1.
Twierdzenie II Jeśli teza jest prawdziwa dla n = k, gdzie k jest dowolną
liczbą naturalną, to jest prawdziwa również dla n = k + 1.
Jeżeli oba te twierdzenia są udowodnione, to w myśl zasady indukcji matematycznej teza jest prawdziwa dla każdego n ∈ N
Przykłady zastosowania indukcji matematycznej
Twierdzenie 1 (nierówność Bernoulliego) Dla dowolnego n ∈ N, n ­ 1 i
dowolnego x ∈ R, x ­ −1 zachodzi nierówność:
(1 + x)n ­ 1 + nx
Dowód
• Sprawdzamy warunek początkowy dla n = 1:
(1 + x) ­ (1 + x)
2
• Stąd, że (1 + x)n ­ 1 + nx jest prawdziwe, dla pewnego n ∈ N, n ­ 1
mamy pokazać, że prawdziwe jest (1 + x)n+1 ­ 1 + (n + 1)x. Istotnie,
mnożąc obie strony nierówności (1 + x)n ­ 1 + nx przez nieujemne
wyrażenie (1 + x), dostajemy:
(1 + x)n (1 + x) ­ (1 + nx)(1 + x)
(1 + x)n+1 ­ 1 + x + nx + nx2
(1 + x)n+1 ­ 1 + (1 + n)x + nx2
a stąd, że 1 + (1 + n)x + nx2 ­ 1 + (1 + n)x, więc mamy:
(1 + x)n+1 ­ 1 + (1 + n)x
W myśl indukcji matematycznej twierdzenie I i II zostało spełnione, więc
prawdziwa jest nierówność Bernoulliego.
Twierdzenie 2 (wzór dwumienny Newtona) Dla dowolnych a, b ∈ R oraz
dowolnego n ∈ N prawdziwa jest nierówność:
n
(a + b) =
n
X
k=0
!
n k n−k
a b .
k
Dowód
Możemy bez straty ogólności przyjąć, że b 6= 0. Dzieląc obie strony tego
równania przez bn oraz podstawiając x = ab , otrzymujemy:
n
X
n
(1 + x) =
k=0
!
n k
x
k
i tego wzoru będziemy dowodzić.
• Sprawdzamy warunek początkowy dla n = 1:
L = (1 + x)1 = 1 + x
!
!
1 0
1 1
P =
x +
x =1+x
0
1
L=P
3
• Stąd, że (1 + x)n =
Pn
k=0
n
k
xk jest prawdziwe, dla pewnego n ∈ N,
n ­ 1 mamy pokazać, że prawdziwe jest (1 + x)n+1 =
Istotnie:
n+1
L = (1+x)
n
= (1+x) (1+x) = (1+x)
n
X
k=0
=
n
X
k=0
Pn+1 n+1
k=0
k
xk .
n
n
X
n k X
n k
n k
x =
x +x
x =
k
k=0 k
k=0 k
!
!
!
n
n
n
n k X
n k+1
n 0 X
n k X
n
n n+1
x +
x
=
x+
x +
xk +
x
=
k
0
n
k=0 k
k=1 k
k=1 k − 1
!
!
Natomiast z równości
1+
n
X
k=1
!
n
k
+
n
k−1
!
=
n+1
k
!
!
mamy:
n+1
X n+1
n+1 k
n+1
x +x
=
xk = P
k
k
k=0
!
!
W myśl indukcji matematycznej twierdzenie I i II zostało spełnione, więc
prawdziwy jest wzór dwumienny Newtona.
Twierdzenie 3 (nierówność Schwarza) Dla każdych (x1 , .., xn ) ∈ Rn , (y1 , .., yn ) ∈
Rn oraz dla każdego n ∈ N prawdziwa jest nierówność:
(x1 y1 + ... + xn yn )2 ¬ (x21 + ... + x2n )(y12 + ... + yn2 )
Dowód
• Sprawdzamy warunek początkowy dla n = 1: (x1 y1 )2 ¬ (x21 )(y12 )
• Stąd, że (x1 y1 + ... + xn yn )2 ¬ (x21 + ... + x2n )(y12 + ... + yn2 ) jest prawdziwe dla pewnego n ∈ N, n ­ 1 mamy pokazać, że prawdziwe jest
2
(x1 y1 + ... + xn+1 yn+1 )2 ¬ (x21 + ... + x2n+1 )(y12 + ... + yn+1
). Otóż:
2
2
(x1 y1 +...+xn+1 yn+1 ) = (x1 y1 +...+xn yn ) +2(x1 y1 +...+xn yn )xn+1 yn+1 +
2
x2n+1 yn+1
. Ponieważ: 2ab ¬ a2 + b2 , więc kładąc a = xk yn+1 oraz
2
b = xn+1 yk otrzymujemy 2xk yn+1 xn+1 yk ¬ x2k yn+1
+ x2n+1 yk2 i sumując dla k = 1, 2, ..., n mamy: 2(x1 y1 + ... + xn yn )xn+1 yn+1 ¬ (x21 + ... +
2
x2n )yn+1
+ (y12 + ... + yn2 )x2n+1 . Stąd mamy (x1 y1 + ... + xn+1 yn+1 )2 ¬
2
(x21 + ... + x2n )(y12 + ... + yn2 ) + (x21 + ... + x2n )yn+1
+ (y12 + ... + yn2 )x2n+1 +
2
2
2
x2n+1 yn+1
= (x21 + ... + x2n )(y12 + ... + yn+1
) + (y12 + ... + yn+1
)x2n+1 =
2
2
2
2
(x1 + ... + xn+1 )(y1 + ... + yn+1 ) co należało pokazać.
4
W myśl indukcji matematycznej twierdzenie I i II zostało spełnione, więc
prawdziwa jest nierówność Schwarza.
Jeszcze jeden przykład
”W pewnym państwie jest k miast, z których każde dwa łączy droga jednokierunkowa. Udowodnić, że istnieje miasto, z którego można (zachowując
jednokierunkowość) dojechać do każdego innego, niekoniecznie bezpośrednią
drogą.”
Prowadzimy dowód indukcyjny ze względu na wielkość państwa.
• Jeśli jest w nim tylko jedno miasto, oczywiście można z niego dojechać
wszędzie - innych miejsc po prostu nie ma.
• Zakładamy teraz, że stwierdzenie napisane wyżej jest prawdziwe dla
wszystkich państw, które mają n miast. Będziemy usiłowali pokazać,
że również dla państw trochę większych (z n+1 miastami) jest to prawda.
Jeśli mamy n+1 miast, możemy na chwilę zapomnieć o jednym z nich niech nazywa się Zapomniane Miasto. Pozostanie n, tworząc chwilowo
mniejsze państwo. W tym państwie musi, co założyliśmy, znaleźć się
takie miasto, z którego można dojechać do pozostałych po wybudowanych drogach. Niech to będzie Stolica.
Teraz przypominamy sobie o Zapomnianym Mieście. Stolicę i Zapomniane Miasto łączy droga jednokierunkowa. Jeśli prowadzi ona od
Stolicy do Zapomnianego, to ze Stolicy można dojechać wszędzie (do
Zapomnianego jest bezpośrednia droga, a do innych gwarantuje nam
wcześniejsze założenie). Jeśli ta droga prowadzi w drugą stronę, to z
Zapomnianego można, przez Stolicę, dojechać do wszystkich pozostałych miast.
Dowiedliśmy więc, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla państw z n
miastami, to dla takich z n+1 również, a także, że prawdziwe jest dla
państw z jednym miastem.
Zasada indukcji mówi, że w takim przypadku twierdzenie prawdziwe jest dla
państwa z każdą ilością miast, czyli po prostu dla każdego państwa.
5
Bibliografia
[1] Przez rozrywkę do wiedzy - Stanisław Kowal, Wydawnictwa NaukowoTechniczne, Warszawa 1973
[2] Rachunek różniczkowy i całkowy Kazimierz Kuratowski, BM. Warszawa
1978
[3] Analiza B skrypt, Paweł Głowacki
[4] Opowieści matematyczne - Michał Szurek, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1987
[5] www.matematyka.org
6