Zapisz jako PDF

Zasada indukcji matematycznej
Zbiór liczb naturalnych posiada bardzo ważną własność, której często się używa w dowodach. Mówi
ona że:
Niech będzie dana jakaś własność liczb naturalnych (nazwijmy ją tezą indukcyjną)
następujące warunki:
Liczba 1 posiada tę własność (tzn. teza
jest prawdziwa),
Jeśli liczba posiada tę własność, to posiada ją również liczba
)
,która spełnia
(tzn. prawdziwa jest implikacja:
Zasada indukcji oznacza, że przy powyższych założeniach, każda liczba naturalna posiada tę
własność (tzn. teza
jest prawdziwa dla każdej
). Zasada indukcji odpowiada następującej
intuicji: Jeśli prawdziwa jest teza , to — na mocy (2) — prawdziwa jest również teza . Skoro tak,
to z (2) prawdziwa jest również teza , i znów używając (2) prawdziwa jest teza
itd.
Przykład — Nierówność Bernoulliego
Dla każdej liczby naturalnej
i każdej liczby rzeczywistej
zachodzi wzór
1. Sprawdzamy prawdziwość tezy , tzn. czy nierówność jest prawdziwa dla
czyli ok.
2. Sprawdzamy prawdziwość implikacji
.
Zapiszmy prawą stronę
. Mamy:
:
(korzystamy z założenia o prawdziwości T_n oraz że
)
czyli, zakładając prawdziwósć tezy
, otrzymaliśmy prawdziwość; tezy
. Z zasady indukcji
wynika więc, że teza
jest prawdziwa dla każej
— tzn. że nierówność (3) jest prawdziwa
Przykład — Dwumian Newtona
Najsampierw jednak zdefiniujemy (a dla tych, co znają, przypomnimy) symbol silnia:
, (przyjmujemy też, że
zakładamy, że
i
są to liczby naturalne, oraz
), a następnie współczynniki Newtona
. Mamy:
Pokażemy teraz, że
,
zachodzi
Liczymy bezpośrednio:
Teraz przystępujemy do udowodnienia wzoru dwumiennego Newtona:
Twierdzenie
,
zachodzi
Uwaga
Dla
wzór (5) jest oczywisty. Dla
i
wzór wzór (5) powinien być znany ze szkoły
średniej (a jeśli nie jest, niech Czytelnik sprawdzi, że
;
).
Dowód
Tak więc, zgodnie ze schematem dowodu indukcyjnego:
1. Teza
jest prawdziwa.
2. Aby pokazać wynikanie
, weźmy prawą stronę równości (5) dla
. Mamy
i korzystając teraz z założenia o
prawdziwości
, mamy
[Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 920x80]
a jest to właśnie lewa strona równości (5) dla
że
3. Równość (5) jest prawdziwa dla każdego
. Zatem, możemy zakończyć dowód mówiąc,
.
Uwaga
Wzór na dwumian Newtona daje się zapisać o wiele krócej używając symbolu sumy:
Tu symbol:
oznacza, że należy utworzyć sumę
przez podstawianie na miejsce kolejno liczb
składników, które powstają z wyrażenia
.
Przykład
(startuje się od
) Pokazać, że
zachodzi
.
Przykład
(używa się tezy nie tylko
, ale też
Określony jest on rekurencyjnie:
zachodzi
aby pokazać prawdziwość
) Ciąg Fibonacciego.
. Pokazać, że dla dowolnego