12.7. Odchylenie standardowe

12. 7. ODCHYLENIE STANDARDOWE
Wariancja i odchylenie standardowe
a)
Wariancją nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej.
Wariancję liczb x1 , x 2 , x3 ,..., x n liczymy ze wzoru
δ
2
(x
=
1
) (
2
) (
)
2
(
2
− x + x 2 − x + x3 − x + ... + x n − x
n
)
2
b) Odchyleniem standardowym nazywamy średnią kwadratową odchyleń od średniej arytmetycznej.
Odchylenie standardowe liczb x1 , x 2 , x3 ,..., x n liczymy ze wzoru
δ=
(x
1
) (
2
) (
2
)
2
(
− x + x2 − x + x3 − x + ... + x n − x
n
)
2
Przykład 12.7.1. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe poniŜszych danych
( odchylenie standardowe podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku) :
a) 1,2,3,4
Rozwiązanie
1 + 2 + 3 + 4 10
=
= 2,5
x=
4
4
δ2 =
=
(1 − 2,5)2 + (2 − 2,5)2 + (3 − 2,5)2 + (4 − 2,5)2
4
Komentarz
Obliczamy średnią arytmetyczną
danych
=
Obliczamy wariancję danych
(− 1,5)2 + (− 0,5)2 + (0,5)2 + (1,5)2
=
4
2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 5
=
= = 1,25
4
4
δ = 1,25 ≈ 1,12
Obliczamy odchylenia standardowe
danych .
b) 2,2,2,3,3,4,5,5,6,6,6
Rozwiązanie
2+ 2+ 2+3+3+ 4+5+5+ 6+ 6+ 6
x=
=
11
3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 44
=
=
=4
11
11
Komentarz
Obliczamy średnią
arytmetyczną danych
3 ⋅ (2 − 4 )2 + 2 ⋅ (3 − 4 )2 + (4 − 4 )2 + 2 ⋅ (5 − 4 )2 + 3 ⋅ (6 − 4 )2
= danych
11
3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 + 0 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4 28
=
=
= 2, (54 )
11
11
Obliczamy
28
odchylenia
δ=
≈ 1,60
11
standardowe danych.
δ2 =
Obliczamy wariancję
Przykład 12.7.2. W tabeli przedstawiono zestawienie ocen semestralnych z matematyki
klasy I a.
a) Oblicz odchylenie standardowe tych ocen.
b) Ilu uczniów otrzymało ocenę róŜniącą się od średniej ocen o mniej niŜ
odchylenie standardowe ?
Ocena
1
2
3
4
5
6
Liczba ocen
2
5
8
8
5
2
Rozwiązanie
2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 + 8 ⋅ 3 + 8 ⋅ 4 + 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 105
x=
=
= 3,5
2+5+8+8+5+2
30
δ=
=
2(1 − 3,5)2 + 5(2 − 3,5)2 + 8(3 − 3,5)2 + 8(4 − 3,5)2 + 5(5 − 3,5)2 + 2(6 − 3,5)2
=
30
Komentarz
Obliczamy średnią
arytmetyczną ocen
Obliczamy odchylenia
standardowe ocen .
2 ⋅ 6,25 + 5 ⋅ 2,25 + 8 ⋅ 0,25 + 8 ⋅ 0,25 + 5 ⋅ 2,25 + 2 ⋅ 6,25
=
30
12,5 + 11,25 + 2 + 2 + 11,25 + 12,5
51,5
=
≈ 1,31
30
30
1 − 3,5 = 2,5 > 1,31
2 − 3,5 = 1,5 > 1,31
3 − 3,5 = 0,5 < 1,31 - ośmiu uczniów
4 − 3,5 = 0,5 < 1,31 - ośmiu uczniów
5 − 3,5 = 1,5 > 1,31
6 − 3,5 = 2,5 > 1,31
Odp.: Ocenę róŜniącą się od średniej arytmetycznej o mniej niŜ odchylenie
standardowe uzyskało 16 uczniów.
Obliczany ilu uczniów
otrzymało ocenę
róŜniącą się od średniej
ocen o mniej niŜ
odchylenie
standardowe
Przykład 12.7.3. Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej
klasie. Oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe uzyskanych ocen.
Rozwiązanie
4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ 3 + 10 ⋅ 4 + 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6
x=
=
4 + 3 + 6 + 10 + 5 + 2
105
=
= 3,5
30
Komentarz
Obliczamy
średnią
arytmetyczną
ocen
Obliczamy
δ=
=
4(1 − 3,5)2 + 3(2 − 3,5)2 + 6(3 − 3,5)2 + 10(4 − 3,5)2 + 5(5 − 3,5)2 + 2(6 − 3,5)2
= odchylenia
standardowe
30
ocen .
4 ⋅ 6,25 + 3 ⋅ 2,25 + 6 ⋅ 0,25 + 10 ⋅ 0,25 + 5 ⋅ 2,25 + 2 ⋅ 6,25
=
30
25 + 6,75 + 1,5 + 2,5 + 11,25 + 12,5
59,5
=
≈ 1,41
30
30
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 12.7.1. (2pkt.) Oblicz odchylenie standardowe danych: 5,4,5,7,4,6,4
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie średniej arytmetycznej danych
1
2
Podanie odchylenia standardowego z przybliŜenie do
trzech miejsc po przecinku.
1
Ćwiczenie 12.7.2. (2pkt.) Wyniki testu podane są w tabeli:
Ocena
Liczba
uczniów
1
2
3
4
5
6
2
4
7
9
5
1
Oblicz średnią ocen z testu i ich odchylenie standardowe.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie średniej arytmetycznej danych
1
2
Podanie odchylenia standardowego danych z dokładnością
do trzech miejsc po przecinku.
1
Liczba pracowników
Ćwiczenie 12.7.3. (3pkt.) W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup
uposaŜeń. Liczbę pracowników i płace ( w euro) w poszczególnych grupach przedstawia
diagram słupkowy:
14
12
10
8
6
4
2
0
400
480
540
Placa miesięczna (w euro)
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
b) Oblicz wariację i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firnie. Odchylenie
standardowe podaj z dokładnością do 0,1.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
1
Podanie średniej arytmetycznej płac w firmie.
2
Podanie wariacji płac w firmie.
3
Podanie odchylenia standardowego płac firmy z
dokładnością do 0,1.
Liczba punktów
1
1