Podsumowanie wiadomo±ci z kursu Matematyka cz. 2

Podsumowanie wiadomo±ci z kursu Matematyka cz. 2
1 Operatory ograniczone
Niech E1 , E2 b¦d¡ przestrzeniami Hilberta, rozwa»my liniowe przeksztaªcenie A : E1 → E2 .
||A|| = sup||x||=1 ||Ax|| = supx
||Ax||
||x||
Operator A ograniczony ⇐⇒ A ci¡gªy.
(w sko«czonej liczbie wymiarów ka»dy operator liniowy jest ograniczony)
Przykªad 1.
Operator (Df )(x) =
n.p. fn = sin(nx), x ∈ [−π, π],
df
= f 0 (x) jest nieograniczony
dx
Z π
||fn || = (
√
||Dfn || = n π = n||fn ||
(sin(nx))2 dx =
√
π
−π
2 Funkcjonaªy liniowe + Twierdzenia Riesza o reprezentacji
Niech f b¦dzie ograniczonym funkcjonaªem liniowym. ∃!x0 ∈ H , taki »e f (x) = (x, x0 ). ||f || = ||x0 ||.
||f || = sup||x||=1 |f (x)| = sup|(x, x0 )| ¬ sup||x||||x0 || = ||x0 ||
Przykªad
2.
p
Operator ograniczony ||f (x)|| ¬ k||x||
(x, x0 ) ¬ (||x||||x0 ||)
L2 ([a, b])
R
f (x) = ab x(t)dt,
x0 = 1
f (x) = (x, x0 ).
H1 jest izomorczne do H2 je±li istnieje T :
T
H1 → H2 ,
(T x, T y) = (x, y)
1. H niesko«czenie wymiarowe ∼
= `2
2. dim(H) = N < ∞ (H sko«czenie wymiarowe) ∼
= Cn
je±li H jest przestrzeni¡ o±rodkow¡.
3 Sprz¦»enie + samosprz¦»enie
Rozwa»my ograniczony operator A i ustalmy x0 .
f (x) = (Ax, x0 )
ograniczony funkcjonaª liniowy.
Istnieje y0 takie, »e f (x) = (x, y0 ), zdeniujmy A ∗ x0 = y0 ⇐⇒ (Ax, y) = (x, A∗ y).
(A = A∗ oznacza samosprz¦»enie lub sprz¦»enie hermitowskie operatora).
Wªasno±ci:
• (A + B)∗ = A∗ + B∗
• (z denicji) (αA)∗ = ᾱA∗
• (z denicji) (A∗ )∗ = A
• (z denicji) (AB)∗ = B ∗ A∗
Twierdzenie 3.
Je±li A jest ograniczony, to A∗ te» jest ograniczony. ||A|| = ||A∗ || oraz ||A∗ A|| = ||A||2
Dowód. |(A∗ x, y)| = |(x, Ay)| ¬ ||x|| · ||Ay|| ¬ ||A||||x|| · ||y||
⇒ Dla y = A∗ x
||A∗ x||2 ¬ ||A||||x||||A∗ y|| ⇒ ||A∗ x|| ¬ ||A||||x|| = ||A∗ || ¬ ||A||
⇒ ||A|| = ||(A∗ )∗ || ¬ ||A∗ || ⇒ ||A|| = ||A∗ ||
Uwaga 4.
T samosprz¦»ony:
Denicja 5.
||T || = sup||x||=1 |(T x, x)|
B jest odwrotny do A, je±li ABx = x oraz BAx = x.
Twierdzenie 6.
A jest odwrotny wtedy i tylko wtedy, gdy Ax = 0 ⇒ x = 0
1. Je±li A−1 istnieje ⇒ Ax = 0 ⇒ x = A−1 0 = 0
Dowód.
2. Niech Ax1 = Ax2 ⇒ A(x1 − x2 ) = 0 ⇒ x1 − x2 = 0 ⇒ x1 = x2 ⇒ A−1 istnieje.
Twierdzenie 7.
Reprezentacja operatorów samosprz¦»onych:
T = A + iB gdzie A, B samosprz¦»one
Wtedy T ∗ = A − iB
Dowód. Niech A = 21 (T + T ∗ )
1
2i (T
B=
Dalej
− T ∗ ).
(T x, y) = ((A + iB)x, y) = (Ax, y) + i(Bx, y) = (x, Ay) + i(x, By) = (x, (A − iB)y)
1
1
( (T + T ∗ ))∗ = (T ∗ + T )
2
2
ī
−i
−1
1̄
=
=
=
⇒ B∗ = B
2i
−2
−2
2i
Przykªad 8.
Operator samosprz¦»ony w L2 ([a, b]):
Z b
(T x)(s) =
K(s, t)x(t)dt
a
gdzie
RbRb
a
a
|K(s, t)|2 dsdt < ∞.
Z bZ b
(T x, y) =
Z bZ b
K(s, t)x(t)y(s)dsdt =
a
a
Z b
Z b
x(t)
=
a
K(s, t)x(t)y(s)dsdt
a
a
Z b
K(s, t)y(s)dsdt = (x,
a
⇒ (T ∗ x)(s) =
K(s, t)y(s)ds)
a
Z b
K(s, t)y(s)ds
a
⇒ T jest samosprz¦»ony wtedy i tylko wtedy, gdy K(s, t) = K(t, s).
Twierdzenie 9.
Warto±ci wªasne operatorów samosprz¦»onych s¡ rzeczywiste
Dowód.
λ(u, u) = (λu, u) = (Au, u) = (u, Au) = (u, u)λ ⇒ λ = λ ⇒ λ ∈ R
Twierdzenie 10.
Wektory wªasne ró»nych warto±ci wªasnych s¡ ortogonalne
Dowód.
λ1 (u1 , u2 ) = (Au1 , u2 ) = (u1 , Au2 ) = (u1 , λ2 u2 ) = λ2 (u1 , u2 ) ⇒ (λ1 − λ2 )(u1 , u2 ) = 0
λ1 6= λ2 ⇒ ortogonalno±¢
Warto±ci wªasne
Twierdzenie 11.
Je±li Ax = λx, to A−1 ma warto±¢ wªasn¡
Dowód.
A−1 Ax = λA−1 x ⇒
Denicja 12.
1
λ,
dla tej samej funkcji wªasnej.
1
x = A−1 x
λ
Operator T nazywamy izometrycznym, je±li ||T x|| = ||x||
Denicja 13.
Operatory zwarte: Operator A nazywamy zwartym, je±li dla ograniczonego ci¡gu {xn } ci¡g {Axn }
zawiera podci¡g zbie»ny.
Twierdzenie 14.
Zwarto±¢ ⇒ ograniczono±¢.
Dowód. A nieograniczony ⇒ ∃{xn } ||xn || = 1 ||Axn || → ∞
⇒ nie ma zbie»nego podci¡gu
dimH = ∞ wszystkie operatory zwarte
Ograniczono±¢ nie implikuje zwarto±ci!
Przykªad 15.
Operator zdeniowany przez poni»sze równanie jest zwarty:
Z b
K(s, t)x(t)dt
(T x)(s) =
a
Odwrotno±¢ ró»niczkowalnych operatorów, np. operatory caªkowe s¡ ograniczone.
Przykªad 16.
Z b
(T x)(s) =
K(s, t)x(t)dt
a
je±li
RbRb
a
a
|K(s, t)|2 dtds < ∞ ⇒ operator T jest ograniczony na L2 ([a, b]).
Z bZ b
||T || ¬ (
a
Przykªad 17.
1
|K(s, t)|2 dtds) 2
a
t ∈ C([a, b]) Rozwa»my operator A na L2 ([a, b]) taki, »e
(Ax)(t) = z(t)x(t)
(operator multiplikatywny)
• operator A jest oczywi±cie liniowy
• oraz ograniczony:
||Ax||2 =
Z b
a
|x(t)|2 |z(t)|2 dt ¬ max[a,b] {|z(t)|2 }
Z b
a
|x(t)|2 dt ⇒ ograniczono±¢
Zbiór wszystkich operatorów liniowych tworzy przestrze« liniow¡.
Przykªad 18.
H = CN
{e1 , . . . , eN } standardowy ukªad ortonormalny.
Operator A mo»na przedstawi¢ za pomoc¡ macierzy (aij ) = (Aej , ei ).
Transpozycja: bij = aji
Twierdzenie 19.
Twierdzenie Hilberta-Schmidta
Niech H b¦dzie niesko«czenie wymiarow¡ przestrzeni¡ Hilberta. Rozwa»my operator A - samosprz¦»ony,
zwarty i ograniczony. Istnieje ukªad ortonormalny wektorów wªasnych dla warto±ci wªasnych λi 6= 0 takich, »e
∀x ∈ H mamy unikaln¡ reprezentacj¦ postaci
x=
∞
X
αn un + v
n=1
gdzie αn ∈ C oraz v jest rozwi¡zaniem równania Av = 0.