Zapisz jako PDF

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Funkcją pierwotną funkcji
w przedziale
punktu z tego przedziału zachodzi
nazywamy funkcję
taką, że dla każdego
.
Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale
Dla wyrażenia
danej funkcji jest funkcją stałą.
rezerwujemy nazwę całka nieoznaczona i symbol
.
Zadanie 1
Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji
.
Wskazówka
Uwaga, zadanie nie jest sformułowane zbyt precyzyjnie. Dziedzina naturalna funkcji nie jest
przedziałem. Rozważ dwa przedziały
i
.
Rozwiązanie
Funkcją pierwotną w przedziale
gdzie
i
jest
zaś w przedziale
są pewnymi liczbami rzeczywistymi.
Uwagi
Zwyczajowo stosowany zapis
Całkowanie przez części
Uwagi wstępne
może prowadzić do nieporozumień.
to
Wzór na całkowanie przez części:
są ciągłe na przedziale
.
o ile funkcje
Zadanie 1
Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji
.
Wskazówka
Przyjmij
i
.
Rozwiązanie
.
Uwagi
Podobnie obliczamy całki
,
.
Zadanie 2
Znajdź związek rekurencyjny między całkami
gdzie
Wskazówka
Wykonaj całkowanie przez części przyjmując
i
Rozwiązanie
czyli
.
.
.
i
Uwagi
Oblicz
. Metodę tę można zastosować do obliczania całek
wyrażając całki
Zadanie 3
Oblicz całkę
.
Wskazówka
Połóż
i
.
Rozwiązanie
Uwagi
Obliczyć
.
Zadanie 4
Oblicz całkę
.
Wskazówka
Wykonaj dwa razy całkowanie przez części
i
przez całki
,
i
.
Rozwiązanie
Otrzymaliśmy więc równość między całkami nieoznaczonymi
.
Przenosząc całki na jedną stroną otrzymujemy
.
Uwagi
Zadanie 5
Oblicz całkę
.
Wskazówka
Wykonaj całkowanie przez części a następnie skorzystaj z jedynki trygonometrycznej
Rozwiązanie
Czyli ostatecznie postępując jak w poprzednim zadaniu mamy
Uwagi
Metoda działa dla
dla dowolnego
naturalnego.
Zadanie 6
Oblicz całkę
.
Wskazówka
Scałkuj przez części.
Rozwiązanie
.
Postępując jak w dwóch ostatnich zadaniach mamy
.
Uwagi
Dużo bardziej ogólną metodą pozwalającą obliczyć nie tylko tę całkę ale również szereg innych jest
podstawienie
patrz Uwagi końcowe na tej stronie.
Całkowanie przez podstawienie
Uwagi wstępne
Wzór na całkowanie przez podstawienie
gdzie zakładamy ciągłość funkcji
i
na przedziale
.
Zadanie 1
Oblicz całki nieoznaczone
,
,
.
Wskazówka
Podstawienie odpowiednia funkcja liniowa (w trzecim przykładzie sprowadź trójmian kwadratowy do
postaci kanonicznej).
Rozwiązanie
,
,
.
Uwagi
W pierwszym rzędzie student powinien mieć świadomość, że podstawienie liniowe pozwala
sprowadzać całki do pewnych kanonicznych form.
Zadanie 2
Oblicz całki nieoznaczone
,
.
Wskazówka
Rozwiązanie
,
.
Uwagi
Zadanie 3
Oblicz całkę nieoznaczoną
,
.
Wskazówka
Na przedziale
podstaw
, natomiast na przedziale
podstaw
Rozwiązanie
Zgodnie ze wskazówką dla całki nieoznaczonej na przedziale
czyli
,
i wyjściowa całka to
podstawiamy
,
.
Na przedziale
otrzymując
kładziemy
Ostatecznie
, czyli
,
.
Uwagi
Narzucamy sposób rozwiązywania tego zadania by przypomnieć funkcje hiperboliczne i polowe.
Ewentualnie wspominamy o alternatywnych podstawieniach (
,
, podstawienia
Eulera) i przypominamy,że akurat to zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie 6 z ustępu
całkowanie przez części.
Rozkład na ułamki proste
Uwagi wstępne
Funkcję wymierną nazywamy ułamkiem właściwym jeśli stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia
mianownika. Każdą funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy pewnego
wielomianu i pewnego ułamka właściwego. Ułamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywamy
ułamki właściwe postaci
Ułamkami prostymi drugiego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci
Każdy ułamek właściwy można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych.
Zadanie 1
Rozłóż funkcję wymierną
właściwego.
na sumę pewnego wielomianu i pewnego ułamka
Wskazówka
Podziel wielomian
przez wielomian
.
Rozwiązanie
Uwagi
Celem tego zadania nie jest nauka dzielenia wielomianów (bo tę umiejętność studenci nabywają
wcześniej), lecz zaznajomienie słuchaczy po pierwsze z pojęciem ułamka właściwego i po drugie z
pierwszym krokiem algorytmu rozkładania funkcji wymiernych na ułamki proste.
Zadanie 2
W jakiej postaci należy szukać rozkładu na ułamki proste następującej funkcji wymiernej
Wskazówka
Zauważ, że mianownik nie jest rozłożony na czynniki (o współczynnikach rzeczywistych) stopnia
możliwie najniższego.
Rozwiązanie
Ponieważ podana funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym można ją przedstawić w postaci sumy
ułamków prostych. Rozkładamy mianownik na czynniki stopnia co najwyżej drugiego i możliwie
najniższego, w naszym przypadku wystarczy położyć
czyli
Postać rozkładu to
gdzie
to poszukiwane współczynniki rozkładu.
Uwagi
Zwracamy uwagę osobom nieobecnym na wykładzie, że w ogólności w rozkładzie na ułamki proste
występują wszystkie ułamki proste o następującej własności: mianownik rozkładanej funkcji jest
podzielny przez mianownik ułamka prostego. Ponadto przypominamy techniki znajdowania
pierwiastków szczególnych klas wielomianów.
Zadanie 3
Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję wymierną
Wskazówka
Rozkładu szukaj w postaci (dlaczego?)
Rozwiązanie
Stopień licznika podanej funkcji wymiernej jest mniejszy od stopnia jej mianownika, przystępujemy
więc od razu do rozkładu na ułamki proste. Mianownik jest wielomianem dwukwadratowym łatwo
dokonujemy więc jego rozkładu (podstawienie
) na iloczyn wielomianów stopnia drugiego
. Oba wielomiany stopnia drugiego nie dają się rozłożyć na
wielomiany stopnia pierwszego (o współczynnikach rzeczywistych) postać rozkładu na ułamki proste
wygląda więc następująco
Monożąc obie strony ostatniej równości przez mianownik wyjściowej funkcji wymiernej mamy
co po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu daje
Dwa wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki są sobie równe (równanie (1) ma być
spełnione dla dowolnej wartości ), otrzymujemy więc następujący układ równań
którego rozwiązaniem jest
Ostatecznie otrzymujemy
Uwagi
Zadanie 4
Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie
Wskazówka
Rozkładu szukaj w postaci
Rozwiązanie
Mnożąc równość
przez
otrzymujemy (lub innymi słowy sprowadzają prawą stronę do
wspólnego mianownika i porównując liczniki lewej i prawej strony równości)
Wstawiając do powyższej równości kolejno
odpowiednio
,
,
,
,
,
,
otrzymujemy
i ostatecznie
Uwagi
Używając liczb zespolonych zastosuj zaprezentowaną tu metodą do Zadania 3
Zadanie 5
Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie
Wskazówka
Rozkładu szukaj w postaci
Rozwiązanie
Mnożąc równość
przez
otrzymujemy
Wstawiając do powyższej równości kolejno
,
, z kolei wstawiając otrzymane wartości i
czyli
otrzymujemy odpowiednio
do równości (2) otrzymujemy
. Ostatecznie mamy
.
,
Uwagi
Można pokazać trick z obustronnym różniczkowaniem równości (2).
Całkowanie funkcji wymiernych
Uwagi wstępne Każdą funkcję wymierną można zapisać jako sumę pewnego wielomianu i pewnej
liczby ułamków prostych. Dzięki liniowości całki całkowanie dowolnej funkcji wymiernej można
sprowadzić do całkowania wielomianów i ułamków prostych.
Zadanie 1
Scałkuj ułamki proste pierwszego rodzaju
.
Wskazówka
Zrób zadanie 1 z ustępu całkowanie przez podstawienie.
Rozwiązanie
Podstawienie
sprowadza nasz problem do całkowania
. Odpowiedź :
,
.
Uwagi
Przypomnieć uwagę z zadania 1 z ustępu Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości.
Zadanie 2
Znajdź związek rekurencyjny między całkami
.
Wskazówka
Wykonaj całkowanie przez części kładąc
i
.
Rozwiązanie
Całkując przez części otrzymujemy
,
Co daje
,
i ostatecznie
.
Uwagi
Wypisać całki dla
.
Zadanie 3
Oblicz całkę nieoznaczoną
.
Wskazówka
Zacznij od podzielenia wielomianów i rozkładu na ułamki proste.
Rozwiązanie
Funkcję podcałkową można zapisać jako
a stąd
Uwagi
Zadanie 4
Oblicz całkę nieoznaczoną
.
Wskazówka
Jeśli nie straszne Ci liczby zespolone to pewnie potrafisz obliczyć pierwiastki czwartego stopnia z -1,
dzięki temu
.
Ale czy nie można prościej? Tym razem można
Rozwiązanie
Po pracowitym rozłożeniu funkcji podcałkowej na ułamki proste (porównaj zadanie 3 w części
rozkład na ułamki proste)
przystępujemy do całkowania
.
.
Uwagi
Zadanie 5
Oblicz całkę nieoznaczoną
.
Wskazówka
Wynik rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste to
.
Rozwiązanie
.
Uwagi
Zadanie 6
Oblicz całkę nieoznaczoną
Wskazówka
.
Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Użyj wyniku zadania 2.
Rozwiązanie
Zgodnie ze wskazówką
Używając
wyniku zadania 2 mamy dalej
Uwagi
Całki sprowadzalne do całkowania funkcji wymiernych
W tym rozdziale
oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów.
Zadanie 1
Oblicz całkę nieoznaczoną
.
Wskazówka
Stosujemy uniwersalne podstawienie
.
Rozwiązanie
Stosując podstawienie
otrzymujemy
, wtedy
,
oraz
Uwagi
W szczególnych przypadkach gdy
1)
,
2)
,
3)
,
wygodniejsze są następujące podstawienia, odpowiednio
1)
,
2)
,
3)
.
Zadanie 2
Oblicz całkę nieoznaczoną
.
Wskazówka
Patrz uwagi do porzedniego zadania.
Rozwiązanie
Podstawiając
otrzymujemy
[Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 784x50]
Uwagi
Uwagi końcowe
Następujące całki dają się sprowadzić do całkowania funkcji wymiernych
podstawienie
dla przypadku
i
podstawienie
a dla przypadku
i
podstawienie
sprowadzają tego rodzaju całki do przypadku
Natomiast przypadek
i
sprowadzamy do przypadku całkowania funkcji
na przykład przez podstawienie
podstawienie
.
.