Całkowanie przez podstawienie. Ułamki proste. Izolda Gorgol

Całkowanie przez podstawienie. Ułamki proste.
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Twiedzenie o całkowaniu przez podstawienie
TWIERDZENIE Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi,
na
2. funkcja g : hα, βi → ha, bi ma ciągłą pochodną na przedziale hα, βi,
3. g(α) = a oraz g(β) = b,
to
Z
Z
f (x)dx = f (g(t))g 0 (t)dt = F (g(t)) + C
Zβ
Zb
f (x)dx =
f (g(t))g 0 (t)dt.
α
a
Ułamki proste pierwszego rodzaju
l(x)
DEFINICJA Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci w(x) = m(x)
, gdzie l i m są wielomianami.
A
DEFINICJA Funkcję wymierną postaci
, gdzie n ∈ N oraz a, A ∈ R, nazywamy ułamkiem prostym
(x + a)n
pierwszego rodzaju.
Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie x + a = t i otrzymujemy:
Z
A
dx = A ln |x + a| + C,
x+a
Z
A
A
dx = −
+ C, gdzie n > 2.
n
(x + a)
(n − 1)(x + a)n−1
Ułamki proste drugiego rodzaju
Bx + C
, gdzie n ∈ N oraz b, c, B, C ∈ R, przy czym ∆ < 0, gdzie
+ bx + c)n
∆ jest wyróżnikiem trójmianu x2 + bx + c nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Całki z ułamków prostych drugiego
rodzaju obliczamy w następujący sposób:
Z
dx
Gdy B = 0 – obliczamy całkę
:
(x2 + bx + c)n
√
2
2
Sprowadzamy trójmian x + bx +
Z c do postaci kanonicznej (x − p) + q i stosujemy podstawienie x − p = q · t.
dt
Dla n = 1 korzystamy ze wzoru
= arctgt + C.
2
t +1
Dla n > 2 stosujemy wzór rekurencyjny:
Z
Z
dt
dt
t
2n − 3
=
+
.
2
n
2
n−1
2
(t + 1)
(2n − 2)(t + 1)
2n − 2
(t + 1)n−1
DEFINICJA Funkcję wymierną postaci
(x2
Ułamki proste drugiego rodzaju - cd.
Gdy B 6= 0 – licznik zapisujemy w postaci Bx + C = P (2x + b) + Q,
gdzie P i Q są odpowiednio dobranymi stałymi,
po
następująco:
Z czym całkę zapisujemy
Z
Z
Bx + C
dx = P
n
(x2 + bx +
Z c)
(2x + b)
dx + Q
(x2 + bx + c)n
dx
.
(x2 + bx + c)n
(2x + b)
dx
(x2 + bx + c)n
stosujemy podstawienie t = x2 + bx + c.
i do całki
1