lista_zad_6_IS 14

Lista nr 6 do kursu Fizyka; rok. ak. 2013/14 sem. letni W. Inż. Środ.; kierunek Inż. Środowiska
Na stronach http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/mat-wzory.pdf/; http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf1.pdf;
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf2.pdf dostępne są tabele wzorów matematycznych/fizycznych. Student jest
zobowiązany do wydrukowania ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 6 ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy
matematyczno-fizycznej, umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących dynamiki bryły sztywnej i zasady zachowania
momentu pędu z wykorzystaniem dotychczas nabytych kompetencji. Zadania nierozwiązane na zajęciach, poprzedzone
symbolem (S) lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.
88. (S) Słońce porusza się z prędkością liniową 250 km/s wokół środka Drogi Mlecznej (DM), od którego dzieli je
odległość 2,2·1020 m. Jaka jest prędkość kątowa Słońca? Ile lat trwa obrót Słońca wokół środka DM? Ile takich obrotów
wykonało Słońce, które istnieje około 4,5 mld lat?
1
89. Jedziesz rowerem bez trzymanki (patrz „popisy” kierowców w nagraniach wideo pt. Bez trzymanki dostępne na
stronie http://www.gazeta.tv/Wideo/0,130121.html). Aby skręcić w prawo/lewo nieco przechylasz rower w prawo/lewo.
Wyjaśnij dlaczego tak postępujesz?
90. Jednorodny walec o promieniu r i masie m stacza się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia β. Oblicz
przyspieszenie a środka masy walca oraz jego prędkość V po przebyciu drogi s wzdłuż równi.
91. W chwili t = 0 wektor położenia cząstki o masie 0,01 kg wynosi r = 4i − 2j, względem początku układu współrzędnych, a jej prędkość zależna od czasu t wynosi −6t2i. Wyznaczyć, względem początku układu współrzędnych, dla
t>0: a) moment pędu cząstki w funkcji czasu; b) działający na nią moment siły.
92. (S) Pod sufitem wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się z sufitem: kula,
sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M. Promienie: kuli, sfery, walca, cienkiej
obręczy i tarczy są równe R, a pręt ma długość R. Które z tych ciał ma względem osi obrotu największy/najmniejszy
moment bezwładności?
92. (S) Układ mechaniczny tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy
o długości L połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok). Wyznaczyć
moment bezwładności tej bryły względem wskazanej na rysunku osi obrotu.
93. Cienki drewniany pręt o długości 1,5 m i masie 10 kg podwieszono pionowo za jego górny koniec. W środek pręta uderza
kula o masie 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością 500 m/s i grzęźnie w pręcie. Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się
koniec pręta po uderzeniu kuli. Dane jest przyspieszenie ziemskie 10 m/s2. Ws-ka: Zastosować zasadę zachowania momentu
pędu (ale nie pędu) do zderzenia kuli z prętem.
94. Dziecko o masie 25 kg stojące obok kołowej karuzeli o masie 80 kg i promieniu 2 m obracającej się z prędkością kątową 2
rad/s wchodzi na karuzelę. (a) Jak zmieni się jej prędkość kątowa? (b) Jeśli dziecko zacznie wędrówkę do środka karuzeli, to
ile wyniesie prędkość kątowa i energia kinetyczna karuzeli w chwili, gdy znajdzie się na środku?
95. Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec odwijającej się nici. Z jakim
przyspieszeniem a opada szpulka? Ws-ka: Należy napisać równania ruchu postępowego środka masy walca oraz ruchu
obrotowego walca.
96. Student siedzi (rys. a) na osi nieruchomego obrotowego stolika trzymając obracające się
wokół pionowej osi (za którą trzyma oburącz) z prędkością kątową ω1 koło rowerowe
o momencie bezwładności I0. Moment bezwładności studenta i stolika wynosi I. Wyznaczyć
prędkość kątową ω2 ruchu obrotowego układu po: a) obróceniu przez studenta koła o kąt 180o
(rys. b) wokół poziomej osi, b) zahamowaniu koła przez studenta.
97. Na poziomym stole leży szpulka nici. Z jakim przyspieszeniem a będzie się poruszać oś
szpulki, jeśli ciągnąć ją siłą F? Pod jakim kątem ϕ należy ciągnąć nić, by szpulka poruszała się w
prawo? Szpulka toczy się bez poślizgu. Moment bezwładności szpulki o masie m względem jej
środka wynosi I. Ws-ka: Należy napisać równania ruchów: Postępowego środka masy oraz
obrotowego szpulki i stąd wyprowadzić wzór na przyspieszenie a = F·(cosϕ − r/R)/(m + I/R2).
98. Jeśli moment pędu ciała jest stały w czasie, to co można powiedzieć o torze ruchu tego ciała?
1
Stabilność poruszającego się roweru jest problemem otwartym, tj. wciąż dyskutowanym; patrz między innymi: prezentacja pt. Fizyka jazdy na rowerze
(http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/fjnr.ppt); inna prezentacja dostępna w Internecie pt. Fizyka roweru (http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/fiz-row.ppt);
http://bicycle.tudelft.nl/stablebicycle/StableBicyclev34Revised.pdf, http://bicycle.tudelft.nl/schwab/Publications/schwab2013review.pdf;
http://en.wikipedia.org/wiki/Bicycle_and_motorcycle_dynamics; https://sites.google.com/site/bikephysics/english-version;
http://bicycle.tudelft.nl/schwab/; http://slideplayer.pl/user/84096/; http://socrates.berkeley.edu/~fajans/Teaching/MoreBikeFiles/JonesBikeBW.pdf.
1
Poniższe zadania studenci rozwiązują samodzielnie.
99. Do końców stalowego pręta o długości 1,2m i masie 6,4 kg przymocowano małe kulki o masach 1,06 kg. Pręt
obraca się z prędkością kątową ! = 39 obrotów/s w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez
jego środek. Pod wpływem tarcia zwalnia, aż do zatrzymania w czasie 32 s. Zakładając, że moment siły hamującej
był stały wyznaczyć: a) opóźnienie kątowe pręta; b) moment siły tarcia; c) energię mechaniczną straconą na tarcie;
d) liczbę obrotów pręta do zatrzymania się. Gdybyśmy nie przyjęli założenia o stałości momentu siły hamującej, to
którą z poprzednich wielkości można byłoby policzyć?
100. Dwa klocki o masach m1 = 400 g i m2 = 600 g połączone linką o znikomo małej masie i przewieszona na
jednorodnym krążku o masie M = 500 g i promieniu R = 12 cm. Krążek może obracać się bez tarcia wokół
poziomej osi przechodzącej przez jego środek, a linka po nim się nie ślizga. Obliczyć: a) przyspieszenia klocków;
b) naciągi linki.
100. Jednorodny walec o masie 20 kg i promieniu 20 cm owinięto żyłką, do końca której przyłożono siłę F = 20N.
Walec toczy się (rys. obok po lewej stronie) po poziomej płaszczyźnie bez poślizgu. Ile
wynosi: a) przyspieszenie liniowe i kątowe walca względem jego środka masy; b)
kierunek i wartość siły tarcia działającej na walec; c) energia kinetyczna ruchu
obrotowego walca oraz jego całkowita energia kinetyczna po czasie 5 s (założyć, że
początkowo walec spoczywał).
101. Krążek o promieniu 20 cm może się obracać się bez tarcia wokół poziomej osi przechodzącej przez jego
środek. Moment bezwładności krążka wg. tej osi wynosi 0,4 kg·m2. Na obwodzie krążka jest nawinięta nitka o
znikomo małej masie, na końcu której podwieszono ciało o masie 6 kg. Początkowo układ utrzymywano w
spoczynku, a potem pozwolono mu na ruch. W pewnej chwili energia kinetyczna ciała wyniosła 6 J. Ile wynosi w
tej chwili energia kinetyczna ruchu obrotowego krążka? Jaką drogę przebyło ciało?
102. Cztery masy są połączone ze sobą sztywnymi prętami o pomijalnej masie (patrz rysunek poniżej). Obliczyć
moment bezwładności układu względem osi z (prostopadłej do płaszczyzny xy i
przechodzącej przez punkt O). Wyznaczyć energię kinetyczną ruchu obrotowego, jeśli
układ obraca się wokół osi z ze stałą prędkością kątową 6 rad/s.
103. Dwie masy: M i m są połączone prętem o długości l i znikomo małej masie.
Pokazać, że moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręta jest najmniejszy dla osi przechodzącej przez środek masy układu.
104. Wyznaczyć
moment bezwładności następujących brył
jednorodnych: (a) pręta o długości l i masie m względem
symetralnej; (b) tarczy o promieniu R i masie m względem osi
symetrii prostopadłej do płaszczyzny tarczy; (c) kuli o promieniu R i
masie m względem jej osi symetrii; (d) sfery o promieniu R i masie
m względem jej osi symetrii. Ws-ka: Patrz rys. obok po lewej
stronie.
105. Wyznaczyć wartość wypadkowego momentu sił działającego na podwójną szpulkę
względem jej osi (rys. po prawej stronie), jeśli r = 10 cm, R = 25 cm, nitki są ciągnięte z
siłami F1 = 12N, F2 = 9N, F3 = 10N, a kąt α = 45o.
106. W układzie z rys. po lewej stronie m1 = 2 kg, m2
= 6 kg, promień krążka R = 0,25m, jego masa
mk=10kg, kąt ϑ=30o, współczynnik tarcia kinetycznego dla masy m2 na równi µ =0,30. Zaniedbując
masę sznurka, wyznaczyć przyspieszenie mas m1 i m2 oraz
naciągi nici. Czy naciągi są takie same?
107. W układzie przedstawionym na rys. po prawej stronie m1 = 15kg, m2 = 19kg, promień
krążka R = 0,1m, jego masa mk = 3 kg, a h = 3m. Zaniedbując masę sznurka i tarcie, wyznaczyć
przyspieszenie i prędkość mas m1 i m2 oraz naciągi nici (czy są takie same?) w momencie, gdy
obie masy mijają się. Wskazówka: Skorzystać z zasad zachowania energii.
2
108. Jednorodna tarcza o promieniu R i masie M może się obracać wokół punktu P (patrz
rysunek po lewej stronie). Obliczyć prędkość środka masy tarczy w najniższym punkcie toru.
Wyznaczyć prędkość punktu A w najniższym punkcie toru ruchu. Ws-ka: Wykorzystać zasadę
zachowania energii. Powtórzyć obliczenia dla obręczy.
109. Jak pokazano na rys. po prawej stronie, do koła o masie 10 kg i promieniu 0,3m
przyłożono poziomo stałą siłę o wartości 10N. Pod jej wpływem koło toczy się bez
poślizgu po poziomym podłożu, przy czym przyspieszenie jego środka masy wynosi
0,6m/s2. Jaka jest wartość, kierunek i zwrot działającej na koło siły tarcia?
110. Wyobraźmy sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce zacznie kurczyć się
stając się kulistym białym karłem o średnicy kuli Ziemi. Przyjmując niezmienność masy Słońca obliczyć jego okres
obrotu wokół własnej osi. Obecnie okres obrotu Słońca to 25 dób.
111. Osoba o masie 94 kg znajduje się na równiku. Ile wynosi jej moment pędu wg. środka Ziemi.
112. Biała myszka o masie m siedzi na skraju jednorodnego krążka o masie 10m, który może obracać się
swobodnie wokół swojej osi, jak karuzela. Początkowo mysz i krążek obracają się łącznie z prędkością kątową ω.
W pewnej chwili mysz zaczyna iść ku środkowi krążka i zatrzymuje się w połowie drogi. (a) Ile wynosi przy tym
zmiana prędkości kątowej układu mysz–krążek? (b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej układu po
przemieszczeniu się myszy do początkowej energii kinetycznej tego układu? (c) Dzięki czemu zmieniła się energia
kinetyczna układu?
113. Dziewczynka o masie m1 stoi na brzegu karuzeli o promieniu R i momencie bezwładności I, która może
obracać się bez tarcia. Karuzela się nie obraca. W pewnej chwili dziewczynka rzuca poziomo z prędkością v
kamień o masie m2 pod kątem α względem promienia karuzeli. Ile wynosi po rzuceniu kamienia prędkość kątowa
karuzeli z dziewczynką?
114. Dziecko o masie m = 40 kg stoi na zewnątrz kołowej karuzeli o masie M = 80 kg i promieniu R = 2m
obracającej się z prędkością kątową 2 rad/s. Dziecko wchodzi na karuzelę. (a) Jak zmieni się jej prędkość kątowa?
(b) Dziecko rozpoczyna wędrówkę do środka karuzeli. Ile wynosi jej prędkość kątowa w chwili, gdy dziecko
znajduje się na środku? (c) Jak zmieni się energia kinetyczna układu, gdy dziecko przejdzie od brzegu do środka
karuzeli?
115. Gdyby lody pokrywające okolice biegunów Ziemi stopiły się całkowicie, a powstała z nich woda zasiliła
oceany, to ich głębokość zwiększyłaby się o 30m. Jaki miałoby to wpływ na ruch obrotowy Ziemi? Oszacuj
związaną z tym zmianę długości doby.
116. Jednorodny pręt o długości l i masie M może się obracać wokół osi P. Jego
położenie początkowe jest pionowe. Obliczyć: (a) jego prędkość kątową i przyspieszenie
kątowe; (b) składowe: poziomą i pionową przyspieszenia całkowitego środka masy pręta;
(c) składowe siły, z jaką pręt działa na punkt P w chwili, gdy znajdzie się w położeniu
poziomym. Ws-ka: Wykorzystać zasadę zachowania energii mechanicznej. Rozwiązanie
poniżej:
W. Salejda
Wrocław, 31 III 2014
3