plik pdf - Krzysztof Piontek

PRACE
Nr 991
NAUKOWE
AKADEMII
E K O N O M I C ZN E J
WE
WR O C Ł A W I U
2003
Inwestycje finansowe i ubezpieczenia – tendencje wiatowe a polski rynek
Krzysztof Piontek
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
WERYFIKACJA WYBRANYCH TECHNIK PROGNOZOWANIA
ZMIENNO CI – ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH
1. Wst p
Zmienno instrumentów finansowych stała si jednym z wa niejszych poj współczesnych finansów. Ogólnie mo na powiedzie , e zmienno jest miar niepewno ci co
do przyszłych zmian ceny instrumentu finansowego (co do stopy zwrotu z danego instrumentu), por. (Hull 1999; Jajuga 1998; Piontek 2002). Je li wzrasta zmienno ,
ro nie prawdopodobie stwo, e dany instrument finansowy znacznie zmieni swoj cen
w przyszło ci. Mo e by to zarówno korzystna, jak i niekorzystna zmiana z punktu widzenia posiadacza takiego instrumentu.
Niepewno ta mierzona mo e by za pomoc ró nych miar (Jajuga 1999), cho najcz ciej wykorzystuje si podawane w skali rocznej odchylenie standardowe stóp zwrotu.
Znaczenie zmienno ci w teorii finansów jest fundamentalne. Wystarczy wspomnie o
klasycznej teorii portfela zaproponowanej przez Markowitza, modelach wyceny opcji
czy zalecanej ostatnio koncepcji pomiaru ryzyka metod value at risk. Z punktu widzenia podejmowanych decyzji inwestycyjnych najwa niejsz rol odgrywaj prognozy zmienno ci. Inwestor zainteresowany jest oszacowaniem przyszłego poziomu
zmienno ci, gdy prawidłowe okre lenie (przyszłego) parametru zmienno ci
umo liwia zarz dzanie ryzykiem inwestycji lub osi gni cie dochodów (spekulacyjnych b d arbitra owych).
Współczesna nauka i praktyka wypracowały wiele metod prognozowania
zmienno ci instrumentów finansowych. Do najwa niejszych grup zaliczy mo na:
− metody oparte na analizie szeregów czasowych stóp zwrotu dla danych instrumentów finansowych,
− metody oparte na analizie oczekiwa uczestników rynku co do kształtowania
si w przyszło ci zmienno ci – zmienno implikowana (metody te oparte s na
484
zało eniu o efektywno ci rynku oraz na poprawno ci wybranego modelu wyceny
instrumentu pochodnego,
− metody heurystyczne (oparte np. na sieciach neuronowych).
Najpopularniejsze i najcz ciej wykorzystywane pozostaj metody zawieraj ce si w
dwóch pierwszych grupach. Szeroki przegl d tych metod znale mo na w pracach np.
Knighta i Satchella (1998) oraz Piontka (2002). Brak zgodno ci, która z metod pozwala
na najlepsze oszacowanie przyszłego poziomu zmienno ci. Ka dego roku s proponowane nowe koncepcje prognozowania zmienno ci oraz prezentowane wyniki nowych
bada empirycznych (Knight 1998; Balaban 1999; Piontek 2002).
Dalsza cz
pracy po wi cona jest jedynie wybranym technikom prognozowanie
zmienno ci na podstawie analizy szeregów czasowych stóp zwrotu. W cz ci empirycznej dokonano weryfikacji wybranych technik prognozowania zmienno ci stóp zwrotu
indeksu WIG, cen miedzi oraz kursu dolara w kolejnych miesi cach kalendarzowych.
Dobór analizowanych instrumentów finansowych był podyktowany odmiennymi właciwo ciami obserwowanymi w szeregach stóp zwrotu dla tych instrumentów – efekty
autokorelacji, skupiania zmienno ci, d wigni (por. s. 491 oraz szerzej (Piontek 2002)).
Niew tpliwie na wyniki bada i jako technik prognozowania wpływa równie odmienna organizacja oraz odmienne funkcjonowanie rynków dla poszczególnych analizowanych instrumentów. Aspekt ten nie był jednak rozwa any i pozostaje w sferze dalszych, niew tpliwie koniecznych, bada autora.
Celem bada jest odpowied na pytanie, która z prezentowanych technik prognozowania sprawdzała si do tej pory najlepiej i powinna by wykorzystywana w przyszło ci.
2. Prognozowanie zmienno ci – analiza szeregów czasowych
W niniejszej pracy rozpatrywane b d jedynie metody oparte na analizie szeregów
czasowych. Pomini te zostan wi c rozwa ania dotycz ce zmienno ci implikowanej.
W technikach prognoz opartych na modelach szeregów czasowych wyró nia si
dwa podej cia.
1. Zakłada si , e zmienno w kolejnych dniach okresu prognozy jest stała.
W przypadku prognozowania redniej zmienno ci w zadanym okresie (np. dla kolejnego
miesi ca), prowadzi to do przyj cia zało enia, e zmienno w całym okresie (ka dego
dnia) jest taka sama. Jest to podej cie niezgodne z wynikami wielu bada empirycznych
(Knight 1998; Tsay 2002), w których stwierdzono, i w szeregach zmienno ci mo na
wykaza efekt gromadzenia zmienno ci oraz ,,efekt d wigni'', a tak e powrotu do redniej (Piontek 2002). O ile podej cie zakładaj ce stało parametru zmienno ci w całym
okresie, dla którego tworzona jest prognoza, jest ju podej ciem rzadkim w sferze rozwa a naukowych, o tyle w praktyce jest jeszcze nadal bardzo cz sto wykorzystywane
(na przykład w modelach wyceny opcji z klasy Blacka-Scholesa).
2. Zakłada si , e zmienno warunkowa w kolejnych np. dniach okresu jest
zmienna i zale y od przeszłych informacji. W podej ciu tym wykorzystuje si najcz ciej szerok gam modeli klasy GARCH (Bollerslev 1986; Tsay 2002; Piontek
485
2002), które pozwalaj modelowa efekt skupiania danych, d wigni, pami ci w
procesie zmienno ci, a tak e – co jest bardzo wa ne – w odniesieniu do jako ci
prognoz, pozwalaj modelowa efekt powrotu do redniej. Ze wzgl du na wymienione własno ci, modele te staj si coraz bardziej popularne w zakresie konstrukcji prognoz, zarówno jednodniowej, jak i redniej zmienno ci.
W teorii i praktyce wymagane jest dokonanie jeszcze jednego wyboru. Mo na
prognozowa zmienno na podstawie informacji o przeszłych zrealizowanych
odchyleniach standardowych (Balaban 1999; Rae 1997) lub przeszłych zrealizowanych wariancjach stóp zwrotu (Yu 1998; Piontek 2001, 2002).
Nie ma jednoznacznej odpowiedzi, które z tych podej jest lepsze.
W pracy tej zostało przyj te podej cie oparte na prognozowaniu przyszłego odchylenia standardowego stóp zwrotu1.
Najcz ciej analizuje si zmienno logarytmicznych stóp zwrotu. Zrealizowana
zmienno w podokresie m ( sh ,m ) w skali roku2 zdefiniowana została jako:
252 n
(rt r ) 2 ,
(1)
n 1t 1
gdzie: n – liczba dni transakcyjnych w badanym podokresie,
r – rednia stopa zwrotu w podokresie.
Poniewa tematem pracy jest prognozowanie zmienno ci z podokresów miesi cznych (wyra onej w skali roku), to n oznacza liczb dni transakcyjnych w kolejnych miesi cach. Przeskalowanie na okres roczny nie ma oczywi cie wpływu na jako prognozy.
Przyj cie niewielkiej liczby obserwacji – jak to ma miejsce np. przy szacowaniu
zmienno ci zrealizowanej w poszczególnych miesi cach ( rednio 21 obserwacji) – mo e
prowadzi do znacznych bł dów oszacowa . ródłem bł du jest tak e oszacowanie
redniej r . Proponowana modyfikacja procedury (dla krótkich, jednodniowych horyzontów stóp zwrotu) polega najcz ciej na przyj ciu zało enia, e oczekiwana stopa
zwrotu wynosi zero. W dalszej cz ci pracy analizie poddane zostanie zarówno podej cie
wykorzystuj ce wzór (1), jak i modyfikacj przy zało eniu, e r 0 .
Poni ej zostały przedstawione podstawowe techniki (metody) prognozowania zmienno ci na podstawie analizy szeregów czasowych zawieraj cych informacje jedynie o
przeszłych stopach zwrotu, a dokładniej o przeszłych zmienno ciach zrealizowanych w
ubiegłych miesi cach. Modeli takich u ywa si , gdy analizowane zagadnienie jest na tyle
skomplikowane, e pozyskanie pełnej informacji, o tym jakie czynniki wpływaj w sposób istotny na dane zjawisko oraz w jaki sposób, jest niemo liwe lub zbyt kosztowne.
Metod prognozowania nazywa si technik przetwarzania informacji o przeszło ci zjawiska oraz sposób uzyskania prognozy na podstawie przetworzonych
informacji (Cie lak 2000).
sh , m
1
Do tworzenia prognoz (przy zało eniu stało ci zmienno ci w okresie prognozy) wykorzystywana jest
analogicznie informacja o przeszłych zrealizowanych odchyleniach standardowych stóp zwrotu.
2
Przy zało eniu 252 dni sesyjnych w roku kalendarzowym.
486
Przyj to nast puj ce oznaczenia:
s f ,m ( x) – prognoza zmienno ci na miesi c m dokonana metod x,
sh , m
i
– zmienno
historyczna (zrealizowana) w miesi cu o i wcze niejszym
ni miesi c m.
2.1. Metody ze stałym parametrem zmienno ci w okresie
W ród metod ze stałym parametrem zmienno ci analizie poddane zostały (Rae 1997;
Yu 1998; Balaban 1999; Piontek 2001):
• model naiwny w postaci bł dzenia losowego (random walk model)
s f ,m ( RW ) sh ,m 1 .
(2)
Najlepsz prognoz zmienno ci w kolejnym miesi cu jest zmienno
wana w miesi cu poprzedzaj cym;
• model redniej historycznej (long-term mean model)
s f , m ( LTM )
m 1
1
1
m
sh , j .
zrealizo-
(3)
j 1
Najlepszym oszacowaniem zmienno ci jest rednia ze wszelkich dost pnych
zmienno ci zrealizowanych w okresach wcze niejszych;
• model redniej ruchomej (moving average model)
s f , m ( MA )
1
L
L
sh , m
j
.
(4)
j 1
Prognoz uzyskuje si poprzez u rednienie informacji o zrealizowanych zmienno ciach
w L ostatnich okresach (L – stała wygładzania). Modyfikacja tej techniki mo e polega na
przypisaniu wi kszej wagi obserwacjom pó niejszym (bli szym momentowi prognozy),
które powinny zawiera bardziej aktualne informacje – „postarzanie informacji”:
L
s f , m (WMA )
w j sh , m
j
,
j 1
0
wi
1 , i=1,2,...,L,
L
wi
1;
(5)
i 1
• modele wygładzania wykładniczego:
− proste wygładzanie wykładnicze (exponential smoothing model)
s f ,m ( ES )
s f ,m 1 ( ES ) 1
sh , m 1 ,
(6)
− wykładniczo wa ona rednia ruchoma (exponential weighted moving
average model)
s f , m ( EWMA )
s f , m 1 ( EWMA )
(1
)
1
L
L
sh , m
j
,
(7)
j 1
487
Parametr
0,1 nazywa si parametrem wygładzania, a jego warto dobiera
si eksperymentalnie minimalizuj c bł d prognozy wewn trz próby ucz cej (Piontek 2001). W modelach tych wyst puje równie efekt postarzania informacji;
• model autoregresyjny (autoregression model)
s f ,m ( RM )
(8)
0
1 sh , m 1
2 sh , m 2
p sh , m p
m.
W modelu tym nale y zało y rz d modelu autoregresji p lub wyznaczy go
minimalizuj c bł d prognozy wewn trz próby ucz cej (Piontek 2001).
2.2. Metody oparte na modelach GARCH
W podej ciu tym, prognozie podlegaj warunkowe wariancje (Bollerslev 1986;
Tsay 2002; Piontek 2002) dla kolejnych podokresów (najcz ciej dni), niemniej
odpowiednie u rednienie warto ci prognoz uzyskanych dla poszczególnych dni,
umo liwia wyznaczenie redniego poziomu zmienno ci (np. prognozy redniej
zmienno ci w kolejnym miesi cu).
Nale y pami ta , i o jako ci prognoz decyduje zarówno odpowiednio dobrana
posta warunkowej wariancji, jak i posta warunkowej warto ci oczekiwanej
(Piontek 2002).
Spo ród modeli z klasy GARCH jako przykładowe modele mog ce słu y do
prognozowania zmienno ci wybrane zostały modele zagnie d one w modelu
AR(1)-GJR-GARCH(1,1). Modele te umo liwiaj opis grubych ogonów rozkładów
stóp zwrotu, gromadzenia zmienno ci, efektu d wigni, autokorelacji w szeregach
stóp zwrotu. Model AR(1)-GJR-GARCH(1,1) dany jest nast puj cym zestawem
równa (Piontek 2002; Tsay 2002):
rt
rt 1
(9)
t
t
t ,
t
ht
1
I
gdzie:
ht zt ,
p
1
N (0,1) ,
zt
I
t 1
0
2
t 1
(10)
1ht 1 ,
1; gdy p prawda,
0; gdy p = fałsz,
(11)
(12)
– warunkowa warto oczekiwana stopy zwrotu zadana jako proces autoregresji rz du pierwszego, AR(1),
ht – warunkowa wariancja stóp zwrotu zadana modelem GJR-GARCH(1,1),
t
, , 1 , 1 , 1 – parametry modelu.
Wprowadzamy zmienn pomocnicz :
1
1 .
2
Bezwarunkowa, długoterminowa rednia wariancja t dana jest wzorem:
1
488
1
(13)
.
V
1
Oczywi cie spełniony musi by warunek:
1
(14)
1
1.
1
1
Prognoza warunkowej wariancji na kolejne dni dana jest zale no ci :
h f ,t
gdzie: h f ,t
k
k 1
V
k
1
1
h f ,t
1
(15)
V ,
(16)
– prognoza warunkowej wariancji w dniu t na k dni do przodu.
Mo na łatwo wykaza , e gdy k
, to h f ,t
V . W powy szym wzorze nie-
k
trudno zauwa y równie efekt powrotu zmienno ci (wariancji) do poziomu redniego.
Prognoz redniej warunkowej wariancji dla okresu T dni uzyskuje si na podstawie
informacji o prognozach wariancji warunkowych z okresu [t,t+T]. W naszym przypadku
T, to oczywi cie liczba dni transakcyjnych w kolejnym miesi cu, czyli T = n.
T
h f ,t
1
T
T
h f ,t
k
V
h f ,t
1
11
T 1
V
k 1
T
1
1
1
.
(17)
1
Prognoz zmienno ci rt uzyskuje si oczywi cie jako pierwiastek z prognozy wariancji t przy uwzgl dnieniu efektu autoregresji rz du pierwszego.
T
h f ,t
,
(18)
2
1
gdzie t, to dni rozpoczynaj ce kolejne miesi ce sesyjne, a T = n, to liczba dni sesyjnych
w danym miesi cu kalendarzowym.
s f ,m (GARCH )
2.3. Metody oceny prognoz
Trafno prognoz w analizowanych wcze niej przypadkach okre la si za pomoc
bł dów ex post. Miary te mog zosta wykorzystane zarówno podczas analizy bł du
prognozy wewn trz próby (dla próbki ucz cej), który mo e posłu y do kalibracji modelu prognozy, jak i do analizy bł du prognozy poza prób (próbka testowa).
Miary bł dów prognozy ex post dzielimy na:
− miary symetryczne, które w taki sam sposób uwzgl dniaj przeszacowanie i
niedoszacowanie prognozy zmienno ci,
− miary niesymetryczne, które w odmienny sposób uwzgl dniaj przeszacowanie i niedoszacowanie prognozy zmienno ci w poszczególnych miesi cach.
W zale no ci od wykorzystania prognoz do wyboru najlepszej metody stosuje
si ró ne oszacowania bł du ex post.
W poni szych wzorach, w celu poprawienia czytelno ci, pomini te zostan podawane w nawiasach oznaczenia technik prognozy. Prognoza s f ,m mo e wi c by
wyznaczona na podstawie wzorów (2)-(8) oraz (18).
489
Jako przykładowe (Brailsford, Faff 1996) miary symetryczne mo na wymieni :
− pierwiastek redniego kwadratu bł du (root mean squared error)
1
M
RMSE
M
s f ,m
sh , m
2
,
(19)
m 1
− redni bł d bezwzgl dny (mean absolute error)
1 M
MEA
s f , m sh , m .
M m 1
Przykładowe miary niesymetryczne bł du ex post to:
− rednie bł dy mieszane (mean mixed errors)
MMEU
MMEO
Km
1
M
1
M
M
(20)
M
s f ,m
sh , m K m
m 1
s f ,m
sh ,m Lm ,
(21)
s f ,m
sh , m Lm ,
(22)
m 1
M
M
s f ,m
sh ,m K m
m 1
m 1
1 dla s f , m
sh ,m
0 dla s f , m
sh , m
, Lm
1 dla s f , m
sh , m
0 dla s f , m
sh ,m
.
(23)
Miara MMEU uwzgl dnia silniej bł dy niedoszacowania zmienno ci, a miara
MMEO – bł dy przeszacowania zmienno ci.
3. Przykład empiryczny3
Przykład empiryczny po wi cony został zbadaniu mo liwo ci prognozowania
zmienno ci logarytmicznych stóp zwrotu indeksu WIG, dolara oraz miedzi4 w kolejnych okresach (miesi ce kalendarzowe, por. wzór (1)) za pomoc przedstawionych
we wcze niejszej cz ci, technik wykorzystuj cych modele szeregów czasowych.
Celem pracy jest odpowied na pytanie, która z omówionych technik przynosiła
najlepsze wyniki (jest obarczona najmniejszym bł dem rednim ex post).
Badaniem zostały obj te oszacowania zmienno ci z 90 miesi cy z okresu od maja
1995 do pa dziernika 2002 r.. Próba podzielona została na cz ucz c , w obr bie której
dobierane były parametry niektórych technik prognozy, oraz na cz testow , na której
była badana skuteczno poszczególnych technik. Próba ucz ca obejmowała 30 miesi cy
z okresu od maja 1995 do pa dziernika 1997 r., natomiast próba testowa obejmowała
pozostałe 60 miesi cy z okresu od listopada 1997 do pa dziernika 2002 r.
3
Wszelkie prezentowane i przywoływane wyniki bada empirycznych uzyskano na podstawie
autorskich procedur napisanych w rodowisku MATLAB 6.0.
4
Analizie poddane zostały kursy zamkni cia sesji dla indeksu WIG, rednie dzienne kursy NBP
dla dolara oraz ceny natychmiastowe miedzi ogłaszane o godzinie 13:15 na Londy skiej Giełdzie
Metali – LME (ceny te stanowi podstaw do rozlicze instrumentów pochodnych na mied ).
490
Dokonano przeliczenia prognozy zmienno ci na okres roczny, w celu dostosowania wyniku do podej cia znanego z wyceny opcji, gdzie zmienno podaje si w
skali roku. Odpowiednie przeskalowanie nie ma oczywi cie wpływu na ocen ,
która z prezentowanych technik okazała si najlepsza.
W przypadku prognoz opartych na rednich ruchomych analizowano rednie z
3, 5 i 12 ostatnich miesi cy (MA(3), MA(5), MA(12)). Wa ona rednia ruchoma
(WMA) wyznaczana była na podstawie informacji o 3 ostatnich miesi cach, przy
czym w ramach procedury ,,postarzania informacji'' przyj to subiektywnie nast puj cy zestaw wag [0,5; 0,3; 0,2]. W przypadku wygładzania wykładniczego oraz
redniej ruchomej wygładzanej wykładniczo rozpatrywano dwie warto ci parametru wygładzania. Pierwsza, która minimalizowała bł d RMSE wewn trz próby
ucz cej (ES1, EWMA1), oraz druga, zaproponowana przez bank J.P. Morgan na
poziomie 0,94 (ES2, EWMA2). Parametry w technikach opartych na autoregresji
wyznaczane były na podstawie 30 ostatnich miesi cy. Rozwa ano modele autoregresji rz du pierwszego (AR(1)) oraz rz du trzeciego (AR(3)).
W pracy Piontka (2002) przedstawiono wyniki dopasowania ró nych modeli stóp
zwrotu z warunkow warto ci oczekiwan oraz warunkow wariancj do szeregów stóp
zwrotu z indeksu WIG, kursu dolara oraz ceny miedzi. Celem badania było sprawdzenie,
który z modeli najlepiej dopasowuje si do danych empirycznych. We wszystkich przypadkach parametry modeli estymowane były za pomoc metody najwi kszej wiarygodno ci, a kryterium wyboru modelu było kryterium Akaike'a. W szeregu stóp zwrotu z
indeksu WIG potwierdzony został efekt autokorelacji, skupiania zmienno ci oraz d wigni. Efektu d wigni nie stwierdzono w szeregach kursu dolara oraz cen miedzi. Dodatkowo w szeregu stóp zwrotu z kursów dolara nie stwierdzono efektu autokorelacji. W
dalszej cz ci pracy do prognozowania zmienno ci indeksu WIG wykorzystano wi c
model AR(1)-GJR-GARCH(1,1), do prognozowania zmienno ci cen miedzi – model
AR(1)-GARCH(1,1), a do prognozowania zmienno ci kursu dolara – model
GARCH(1,1). Przez VARGJR, VARGARCH oraz VGARCH oznaczono prognozy
wyznaczone na podstawie rednich, długoterminowych (bezwarunkowych) warto ci
zmienno ci wynikaj cych z poszczególnych modeli.
Dla ka dego z instrumentów oraz ka dego analizowanego podej cia wyznaczono bł dy prognoz. Wyniki przedstawione zostały w tab. 1-9.
Na podstawie uzyskanych wyników mo na wyci gn nast puj ce wnioski.
Dla prognoz zmienno ci indeksu WIG w kolejnych miesi cach:
− mniejsze bł dy ex post prognoz otrzymano na podstawie wzorów, w których
pomiar zrealizowanej zmienno ci odbywał si przy zało eniu, e warto oczekiwana jednodniowych stóp zwrotu wynosi zero,
− prognozy uzyskiwane za pomoc modelu AR(1)-GJR-GARCH(1,1) nie okazały si
lepsze (o mniejszym bł dzie ex post) ni niektóre proste techniki prognozowania. Prognoza oparta na długoterminowej redniej wariancji wynikaj cej z modelu AR-GJRGARCH obarczona jest du ym bł dem ex post, co dowodzi, e uwzgl dnienie efektu
powrotu do redniej prowadzi do poprawienia jako ci prognoz,
491
− krótkoterminowe rednie ruchome okazały si lepsze od długoterminowych,
− wa ona rednia ruchoma WMA uwzgl dniaj ca efekt „postarzania informacji” okazała si lepsza ni model zwykłej krótkoterminowej redniej ruchomej,
− zarówno dla wygładzania wykładniczego, jak i dla wa onej wykładniczo redniej
ruchomej, uzyskano lepsze prognozy w przypadku zastosowania parametru wygładzania, który minimalizował bł dy prognoz w obr bie próby ucz cej (prognozy ES1 i
EWMA1), ni w przypadku zastosowania zalecanej w metodologii RiskMetrics warto ci
0,94. Optymalne współczynniki uzyskane na podstawie próby ucz cej były ni sze ni 0,5,
− modele autoregresji rz du pierwszego okazały si lepsze ni modele rz du trzeciego,
− w przypadku techniki opartej na modelu AR-GJR-GARCH nast puje cz ciej niedoszacowanie ni przeszacowanie zmienno ci, o czym wiadcz wi ksze warto ci bł dów MMEU ni MMEO. W przypadku pozostałych technik efekt ten jest słabszy.
Ostatecznie zaleci mo na dokonywanie prognoz zmienno ci dla kolejnych
miesi cy na podstawie technik opartych na zrealizowanym odchyleniu standardowym wyznaczanym na podstawie modyfikacji wzoru (1) bez redniej. Najmniejsze
rednie bł dy prognoz otrzymano dla techniki MA(3) i WMA. Zbli one warto ci
bł dów MMEO oraz MMEU wiadcz o tym, e te dwie proponowane techniki w
przeszło ci nie powodowały systematycznego zawy ania ani zani ania zmienno ci.
Dla prognoz zmienno ci cen miedzi uzyskano zbli one własno ci poszczególnych technik prognozowania jak dla prognoz zmienno ci dla indeksu WIG. Jedyn
znacz c ró nic jest fakt, i brak jest ró nicy, czy wyznaczamy zmienno na
podstawie wzorów ze redni czy bez redniej.
Ostatecznie w przypadku prognozowania zmienno ci stóp zwrotu dla kursów
miedzi w kolejnych miesi cach nale ałoby równie zaproponowa wykorzystywanie techniki MA(3) lub WMA.
Tabela 1. Bł dy prognoz zmienno ci indeksu
WIG dla wzoru (1) ze redni
Tabela 2. Bł dy prognoz zmienno ci indeksu
WIG dla wzoru (1) bez redniej
RMSE MAE
RW
10,089 7,439
MA(3)
8,986 7,032
MA(5)
9,756 7,681
MA(12) 10,082 7,853
WMA
8,840 6,867
ES1
8,850 6,853
ES2
9,680 7,702
EWMA1 9,057 7,083
EWMA2 9,933 7,915
AR(1)
9,288 6,726
AR(3)
9,479 7,110
ródło: obliczenia własne.
RMSE MAE MMEO
RW
9,960
7,129 4,571
MA(3)
8,980
7,050 4,623
MA(5)
9,642
7,636 4,992
MA(12) 10,007 7,666 4,966
WMA
8,804
6,874 4,521
ES1
8,816
6,798 4,485
ES2
9,614
7,533 4,661
EWMA1 9,049
7,113 4,671
EWMA2 9,866
7,762 4,762
AR(1)
9,186
6,550 4,407
AR(3)
9,492
7,022 4,482
ródło: obliczenia własne.
MMEO
4,762
4,582
5,007
5,098
4,491
4,512
4,762
4,625
4,849
4,511
4,555
MMEU
5,158
4,865
5,214
5,317
4,767
4,741
5,495
4,877
5,647
4,505
4,959
MMEU
4,954
4,864
5,196
5,189
4,765
4,693
5,375
4,882
5,543
4,391
4,876
Tabela 3. Bł dy prognoz zmienno ci kursu indeksu WIG na podstawie modelu AR-GJR-GARCH
RMSE
MAE
ARGJR
10,078
7,903
VARGJR 11,251
9,598
ródło: obliczenia własne.
492
MMEO
4,631
5,016
MMEU
5,864
7,529
Tabela 4. Bł dy prognoz zmienno ci cen
miedzi dla wzoru (1) ze redni
RW
MA(3)
MA(5)
MA(12)
WMA
ES1
ES2
EWMA1
EWMA2
AR(1)
AR(3)
RMSE
6,110
5,066
5,609
5,467
5,135
5,638
5,812
6,059
5,961
5,692
6,011
MAE
4,675
3,867
4,415
4,388
3,811
4,572
4,743
4,983
4,881
4,419
4,708
MMEO
3,201
2,846
3,102
2,903
2,777
2,633
2,560
2,547
2,585
2,515
2,788
MMEU
3,436
2,791
3,232
3,424
2,779
3,916
4,193
4,499
4,337
3,805
3,897
ródło: obliczenia własne.
Tabela 5. Bł dy prognoz zmienno ci cen
miedzi dla wzoru (1) bez redniej
RW
MA(3)
MA(5)
MA(12)
WMA
ES1
ES2
EWMA1
EWMA2
AR(1)
AR(3)
RMSE
5,996
5,014
5,579
5,478
5,062
5,706
5,801
6,179
5,957
5,655
6,019
MAE
4,562
3,870
4,415
4,436
3,791
4,722
4,824
5,205
4,969
4,405
4,773
MMEO
3,131
2,862
3,105
2,953
2,775
2,673
2,640
2,591
2,668
2,506
2,842
MMEU
3,344
2,789
3,231
3,444
2,761
4,078
4,237
4,749
4,388
3,804
3,938
ródło: obliczenia własne.
Tabela 6. Bł dy prognoz zmienno ci kursu miedzi na podstawie modelu AR-GARCH
RMSE
ARGARCH 6,210
VARGARCH 7,898
MAE
4,887
6,300
MMEO
2,463
2,662
MMEU
4,431
5,945
ródło: obliczenia własne.
Tabela 7. Bł dy prognoz zmienno ci kursu
dolara dla wzoru (1) ze redni
RW
MA(3)
MA(5)
MA(12)
WMA
ES1
ES2
EWMA1
EWMA2
AR(1)
AR(3)
RMSE
5,066
4,577
4,190
3,975
4,505
4,033
3,976
4,254
4,003
3,944
4,080
MAE
3,667
3,430
3,139
2,946
3,377
2,996
2,768
3,167
2,791
2,728
2,951
MMEO
2,727
2,616
2,523
2,399
2,610
2,438
2,468
2,518
2,492
2,397
2,435
MMEU
2,646
2,479
2,231
2,118
2,418
2,133
1,787
2,252
1,783
1,806
2,074
ródło: obliczenia własne.
Tabela 8. Bł dy prognoz zmienno ci kursu
dolara dla wzoru (1) bez redniej
RW
MA(3)
MA(5)
MA(12)
WMA
ES1
ES2
EWMA1
EWMA2
AR(1)
AR(3)
RMSE
5,002
4,559
4,196
3,980
4,479
4,020
3,966
4,233
3,995
3,942
4,108
MAE
3,597
3,424
3,163
2,931
3,357
2,966
2,788
3,164
2,816
2,763
2,996
MMEO
2,699
2,618
2,525
2,371
2,595
2,400
2,476
2,515
2,503
2,403
2,462
MMEU
2,588
2,473
2,260
2,117
2,410
2,122
1,810
2,260
1,815
1,856
2,104
ródło: obliczenia własne.
Tabela 9. Bł dy prognoz zmienno ci kursu dolara na podstawie modelu GARCH
GARCH
VGARCH
RMSE
3,782
3,941
MAE
2,793
2,939
MMEO
2,268
2,369
MMEU
2,043
2,138
ródło: obliczenia własne.
Do odmiennych wniosków prowadz wyniki bada nad prognozowaniem zmiennoci stóp zwrotu dla kursu dolara. W tym przypadku najlepsz technik prognozowania
okazała si technika oparta na modelu GARCH(1,1). Podej cie to przewy sza znacznie
wszystkie pozostałe analizowane techniki. Zbli ona warto bł dów asymetrycznych
493
MMEO i MMEU, przy najni szym poziomie bł dów asymetrycznych, jest równie
zalet tej techniki wiadcz c , i w okresie ostatnich 60 miesi cy nie nast powało systematyczne przeszacowanie lub niedoszacowanie parametru zmienno ci.
W tabelach 1-9 zaprezentowane zostały wyniki bł dów prognoz zmienno ci w
skali roku (w procentach).
4. Podsumowanie
Na podstawie bada nad mo liwo ci prognozowania zmienno ci instrumentów
stwierdzono, e w przypadku prognoz opartych na szeregach czasowych proste
metody wykorzystuj ce redni ruchom obarczone s mniejszym bł dem ex post
ni prognozy uzyskane za pomoc modeli GARCH dla indeksu WIG oraz miedzi.
Jedynie w przypadku prognoz zmienno ci stóp zwrotu z kursów dolara uzyskano
przewag metod opartych na modelach GARCH.
Literatura
[1] Balaban E. (1999): Forecasting emerging stock market volatility. Middle East
Technical University International Conference in Economics, Ankara, Turcja.
[2] Bollerslev T. (1986): Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. „Journal of Econometrics” nr 31.
[3] Brailsford T., Faff R. (1996): An evaluation of volatility forecasting techiques.
„Journal of Banking and Finance” nr 20.
[4] Cie lak M. (red.) (2000): Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania.
Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
[5] Hull J. (1999): Option, futures & other derivatives. Prentice Hall.
[6] Jajuga K. (1998): Zmienno – prognozowanie i zastosowanie w zarz dzaniu
ryzykiem. Materiały z konferencji Prognozowanie w zarz dzaniu firm . Prace
Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu nr 808.
[7] Jajuga K. (1999): Miary ryzyka rynkowego. Cz.1. „Rynek Terminowy” listopad.
[8] Knight J., Satchell S. (1998): Forecasting volatility in the financial markets.
Butterworth-Heinemann,.
[9] Piontek K. (2001): Prognozowanie zmienno ci instrumentów finansowych.
„Rynek Terminowy” nr 3.
[10] Piontek K. (2002): Modelowanie i prognozowanie zmienno ci instrumentów finansowych. Rozprawa doktorska. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu.
[11] Rae D. (1997): Forecasting volatility. The National Bank of New Zealand,
Economics Division, Financial Research Paper No. 9.
[12] Tsay R. (2002): Analysis of financial time series. Chicago: Wiley & Sons.
[13] Yu J. (1998): Forecasting volatility in the New Zealand stock market. Department of Economics, University of Auckland, New Zealand.
494