595 - Pomiary Automatyka Robotyka

NAUKA
mgr inĪ. Tomasz Nartowicz
Studium Doktoranckie,
Wydziaá Elektryczny PB
OBSZARY STABILNOĝCI UKàADU REGULACJI
Z REGULATOREM UàAMKOWYM DLA NIESTABILNEGO
OBIEKTU PIERWSZEGO RZĉDU Z OPÓħNIENIEM
RozwaĪono problem doboru wartoĞci regulatora uáamkowego rzĊdu
zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci ukáadu regulacji z obiektem
niestabilnym pierwszego rzĊdu z opóĨnieniem. Transmitancja operatorowa
regulatora wynika z zastosowania idealnej transmitancji Bodego jako wzorca dla
ukáadu otwartego z regulatorem. Podano komputerową metodĊ syntezy regulatora
uáamkowego rzĊdu. Ponadto wykorzystując klasyczną metodĊ podziaáu D podano
prostą analityczną metodĊ wyznaczania obszarów stabilnoĞci w przestrzenie
parametrów regulatora, uwzglĊdniając zadane wartoĞci zapasu fazy i moduáu
RozwaĪania zilustrowano przykáadem liczbowym i wynikami badaĔ
symulacyjnych.
DESIGN OF FRACTIONAL ORDER CONTROLLER
FOR A FIRST ORDER UNSTABLE PLANT WITH DELAY
The paper presents the design problem of fractional order controller satisfying
gain and phase margin of the closed-loop system with time-delay first order
unstable plant. The transfer function of the controller follows directly from the
use of Bode's ideal transfer function as a reference transfer function of the open
loop system. Computer method for synthesis of fractional controller is given.
Using the classical D-partition method a simple analytical method for
determining stability regions respecting phase and gain margins in the controller
parameters space is given. The considerations are illustrated by numerical
example and results of computer simulation.
1. WSTĉP
Ostatnie lata przyniosáy intensywny rozwój teorii analizy i syntezy liniowych ukáadów
uáamkowego rzĊdu, patrz np. monografie [1í6] i cytowana tam literaturĊ. Praca [7] jest
przeglądem wybranych zagadnieĔ rachunku uáamkowego rzĊdu oraz teorii ciągáych ukáadów
liniowych uáamkowego rzĊdu.
Problem badania stabilnoĞci oraz odpornej stabilnoĞci liniowych ukáadów uáamkowych byá
rozpatrywany w pracach [8í16]. Do pierwszych prac naukowych, w których zaczĊto
rozpatrywaü regulatory rzĊdu uáamkowego, naleĪą prace Podlubnego, m.in. [15]. Problemowi
doboru wartoĞci nastaw regulatorów PIODP są poĞwiĊcone miĊdzy innymi prace [10í16].
Podano w nich róĪne metody syntezy regulatorów, miĊdzy innymi bazujące na klasycznej
metodzie Zieglera-Nicholsa, np. [17], jak i inne metody, np. optymalizacyjne [10].
Zastosowanie regulatora uáamkowego rzĊdu poprawia wskaĨniki jakoĞci regulacji. W pracach
[8í11] synteza regulatora opiera siĊ na takim dobraniu transmitancji uáamkowego regulatora,
aby transmitancja operatorowa ukáadu otwartego miaáa tzw. idealną postaü Bodego [17].
2/2011 Pomiary Automatyka Robotyka
595
NAUKA
W niniejszej pracy rozpatrzony zostanie problem doboru wartoĞci parametrów regulatora
uáamkowego rzĊdu zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci ukáadu regulacji z obiektem
inercyjnym pierwszego rzĊdu z caákowaniem i opóĨnieniem. Ponadto podane zostaną
analityczne metody wyznaczania obszarów stabilnoĞci w przestrzeni parametrów
rozpatrywanego regulatora, uwzglĊdniające zadane zapasy stabilnoĞci moduáu i fazy.
Proponowane metody oparte są na klasycznej metodzie podziaáu D oraz podejĞciu
zaproponowanym w pracach [18í20].
2. SFORMUàOWANIE PROBLEMU
WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej o schemacie blokowym pokazanym na
rys. 1, skáadający siĊ z obiektu o transmitancji operatorowej
k
G( s)
e sh , k ! 0, W ! 0
(1)
1 sW
i szeregowego regulatora uáamkowego rzĊdu o transmitancji C (s).
r
C(s)
u
G (s)
y
-
Rys. 1. Rozpatrywany ukáad regulacji automatycznej
Postaü transmitancja operatorowa uáamkowego regulatora C(s) wynika z doboru jego postaci
w taki sposób, aby transmitancja operatorowa ukáadu otwartego miaáa tzw. idealną postaü
Bodego [9] opisaną równaniem (2). Szersza analiza ukáadu otwartego o idealnej postaci
Bodego (w tym w dziedzinie czasu) jest podana w pracy [17]. Synteza regulatora
wykorzystująca powyĪsze podejĞcie zostaáa przedstawiona w pracach [8í11].
E
§Z ·
K ( s) ¨ c ¸ ,
(2)
© s ¹
W celu uzyskania transmitancji operatorowej ukáadu otwartego o postaci (2) (bez
uwzglĊdniania czáonu opóĨniającego e sh ) zastosowano uproszczenie:
k
k
e sh | e sh .
G( s)
(3)
1 sW
sW
Dobierając transmitancjĊ regulatora o postaci:
s
(4)
C ( s ) k c D k c s 1D ,
s
gdzie D jest liczbą rzeczywistą, otrzymano transmitancjĊ ukáadu otwartego:
kk c e sh
(5)
K ( s ) C ( s )G ( s )
.
W sD
ZauwaĪmy, Īe uzyskana postaü transmitancji ukáadu otwartego (5) róĪni siĊ od idealnej
transmitancji Bodego (2) czáonem opóĨniającym e sh . Przeanalizujmy teraz proces
projektowania regulatora uáamkowego rzĊdu o transmitancji operatorowej (4). Ze wzglĊdu na
596 Pomiary Automatyka Robotyka 2/2011
NAUKA
zadany zapas moduáu Am i zadany zapas fazy I m , poszukiwane parametry regulatora to
wartoĞü wzmocnienia k c oraz rzeczywista liczba D .
UwzglĊdniając wzór ( jZ ) D | Z |D e jDS / 2 obliczamy moduá i fazĊ transmitancji (5):
kk c 1
S
| K ( jZ ) |
, I (Z ) arg K ( jZ ) hZ D .
D
W Z
2
Dla pulsacji odciĊcia moduáu Z g oraz fazy Z p zachodzą nastĊpujące zaleĪnoĞci:
| K ( jZ g ) | 1, I (Z p ) arg K ( jZ p )
UwzglĊdniając wzory (6) moĪemy napisaü:
kk c
S
h
Z
D
1
,
p
2
WZ gD
Po przeksztaáceniu wzorów (8) otrzymujemy:
kk c
Z gD
W
(2 D )
, Zp
h
S .
(6)
(7)
S .
(8)
S
2.
(9)
Z drugiego wzoru (9) wynika, Īe aby pulsacja Z p byáa liczbą dodatnią musi byü speániony
warunek D 2. Przy zadanym zapasie stabilnoĞci, tj. zapasie moduáu Am i zapasie fazy Im
zachodzą poniĪsze zaleĪnoĞci:
kk c
1
S
, Im S hZ g D .
(10)
D
2
WZ p Am
Po przeksztaáceniu wzorów (10) mamy:
1/ D
§ Am kk c ·
¨
¸ ,Zg
© W ¹
UwzglĊdniając pierwsze wzory (9) i (10) otrzymamy:
Zp
(2 D )
S
2
h
Im
.
(11)
Z Dp
(12)
.
Z gD
Podstawiając drugie ze wzorów (9) i (11) do (12) otrzymamy:
D
S ·
§
¨ (2 D )
¸
2 ¸ .
Am ¨
(13)
S
¨
¸
¨ (2 D ) I m ¸
2
©
¹
Nieliniowe równanie (13) wiąĪe ze sobą zapasy moduáu i fazy ( Am i Im ) z uáamkowym
rzĊdem D regulatora (4).
WartoĞü parametru D moĪemy obliczyü rozwiązując nieliniowe równanie (13). WartoĞü
wzmocnienia k c regulatora wyznaczamy z pierwszych wzorów (8) lub (10):
Am
WZ gD
WZ Dp
(14)
,
k
kAm
na podstawie znajomoĞci wzmocnienia k obiektu i obliczonej pulsacji odciĊcia moduáu
z drugiego ze wzorów (11) lub pulsacji odciĊcia fazy z drugiego ze wzorów (9).
kc
2/2011 Pomiary Automatyka Robotyka
597
NAUKA
Wyznaczenia wartoĞci parametru D wymaga znajomoĞci tylko zadanego zapasu stabilnoĞci
(zapasu moduáu Am i zapasu fazy I m ). WartoĞü wzmocnienia k c regulatora wymaga
natomiast znajomoĞci dodatkowo pulsacji odciĊcia moduáu Z g (lub pulsacji odciĊcia fazy
Z p ) i wzmocnienia k oraz staáej czasowej W obiektu.
RozwaĪmy ukáad regulacji automatycznej pokazany na rysunku 2, skáadający siĊ z obiektu
regulacji opisano transmitancją operatorową (1),oraz regulatora uáamkowego (4). Na rys. 2
w tor gáówny sterowania zawiera tzw. tester zapasu moduáu i fazy Aexp(jI), gdzie A í zapas
moduáu i I í zapas fazy. Tester ten wykorzystuje siĊ tylko przy syntezie parametrycznej
regulatora, nie wystĊpuje on w rzeczywistym ukáadzie regulacji. WartoĞci parametrów
regulatora dobiera siĊ tak, aby ukáad regulacji charakteryzowaá siĊ okreĞlonymi zapasami
stabilnoĞci moduáu i fazy. Zapasy te związane są ze wskaĨnikami jakoĞci.
r
-
Ae jI
C(s)
u
G (s)
y
Rys. 2. Rozpatrywana struktura ukáadu regulacji automatycznej
z testerem zapasu fazy i moduáu
Zapiszmy quasi-wielomian charakterystyczny rozpatrywanego ukáadu regulacji:
w( s) sT Akk c s 1D e jI e sh
(15)
Rozpatrywany ukáad regulacji automatycznej jest stabilny, wtedy i tylko wtedy gdy jego
quasi-wielomian charakterystyczny uáamkowego stopnia (15) jest stabilny, tzn. wszystkie
jego zera mają ujemne czĊĞci rzeczywiste [21].
Celem pracy jest podanie prostej metody syntezy regulatora uáamkowego rzĊdu
zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci (tj. zapas moduáu Am i zapas fazy I m ) ukáadu
zamkniĊtego z regulatorem uáamkowym i obiektem niestabilnym uáamkowego rzĊdu.
Dodatkowo wykorzystując metodĊ podziaáu D zostanie podana metoda wyznaczenia wartoĞci
wzmocnienia kc regulatora oraz parametru D, dla których rozpatrywany ukáad regulacji
automatycznej ma zadane zapasy stabilnoĞci, tj. zapas moduáu A i zapas fazy I.
3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU
Wykorzystując klasyczną metodĊ podziaáu D [22] moĪemy wyznaczyü obszary stabilnoĞci
w przestrzeni parametrów regulatora (2). Wyznaczone obszary definiują zbiór wartoĞci
parametrów regulatora zapewniających stabilnoĞü rozpatrywanego ukáadu regulacji
automatycznej. Granice stabilnoĞci dla metody podziaáu D odpowiadają wartoĞciom
parametrów regulatora, dla których quasi-wielomian charakterystyczny (15) rozpatrywanego
ukáadu ma przynajmniej jedno zero poáoĪone na osi urojonej. MoĪe to byü zero rzeczywiste
lub para zer urojonych sprzĊĪonych. Zatem granice podziaáu D rozdzielamy na granice zer
zespolonych i rzeczywistych, dzieląc przestrzeĔ parametrów regulatora na obszary D(k)
o skoĔczonej liczbie zer quasi-wielomianu (15) o dodatniej czĊĞci rzeczywistej. Dowolnie
wybrany punkt w D(k) odpowiada takim wartoĞciom parametrów regulatora, dla których
598 Pomiary Automatyka Robotyka 2/2011
NAUKA
quasi-wielomian (15) ma dokáadnie k zer o dodatniej czĊĞci rzeczywistej. StabilnoĞü quasiwielomianu (15) dla jednego punktu z tego obszaru moĪna zbadaü stosując np. kryterium
Michajáowa [21].
Dowolnemu punktowi na granicy zer rzeczywistych odpowiada quasi-wielomian (15), który
ma zero s 0. Na páaszczyĨnie (D, kc) granicą zer rzeczywistych quasi-wielomianu (15) jest
linia prosta kc 0.
GranicĊ zer zespolonych wyznacza siĊ rozwiązując wzglĊdem D i kc równanie
w( jZ )
jZT Akk c jZ 1D
e jI e jZh
0
(16)
Przyrównujemy do zera quasi-wielomian (15) przy s jZ. Równanie zespolone (16) jest
speánione, gdy odpowiednio jego czĊĞci rzeczywiste Re[w(jZ)] i urojone Im[w(jZ)] są równe
zero:
Re[ w( jZ )]
0,
(17)
Im[ w( jZ )]
0.
(18)
Rozwiązując ukáad równaĔ (17), 186) wzglĊdem D i kc otrzymujemy:
D
kc
gdzie p
2(Zh I ) / S .
2 p,
TZ 2 p
,
Ak
(19)
(20)
WykreĞlając funkcji Z liniĊ o opisie parametrycznym (19), (20), otrzymamy przestrzeni
(D, kc) granicĊ zer zespolonych rozpatrywanego quasi-wielomianu (15).
Otrzymane opisy granic stabilnoĞci (podziaáu D) umoĪliwiają wyznaczenie obszarów
stabilnoĞci uwzglĊdniając zadane zapasy moduáu i fazy. Wyznaczając obszary stabilnoĞci, dla
zadanego zapasu moduáu A naleĪy przyjąü I 0, zaĞ dla zadanego zapasu fazy I naleĪy
przyjąü A 1.
Przykáad 1. WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej o schemacie pokazanym na
rys. 1, przy czym obiekt regulacji jest opisany transmitancją operatorową
0.55 10s
G ( s)
e .
(21)
1 62 s
NaleĪy wyznaczyü parametry transmitancji regulatora (4) tak, aby ukáad zamkniĊty miaá
zapas moduáu Am 4 (ok. 12 dB) i zapas fazy I m 55 D (ok. 0,96 rad). W rozpatrywanym
przypadku mamy: k 0,55; W 62; h 10.
PostĊpując zgodnie z metodą syntezy regulatora [8í11] í wzory (9í14) í bazującą na
transmitancji operatorowej ukáadu otwartego zbliĪonej do tzw. idealnej postaci Bodego,
otrzymujemy:
2.9358
C ( s) 0.13385
(22)
s
Na rys. 3 pokazano charakterystyki skokowe ukáadu regulacji z obiektem (21)
i wyznaczonym regulatorem C(s) o transmitancji operatorowej (22), wyznaczone dla kilku
2/2011 Pomiary Automatyka Robotyka
599
NAUKA
wartoĞci wzmocnienia obiektu k . Dla k 0,55 charakterystyka skokowa ma przeregulowanie
okoáo 100 %, zaĞ czas regulacji wynosi okoáo 300 s. Mniejsze wartoĞci wzmocnienia ukáadu
otwartego powodują wzrost przeregulowania, dla k=0,4 nawet do ok. 130 %, wydáuĪa siĊ teĪ
czas regulacji. Nie obserwujemy natomiast wzrostu przeregulowania dla wartoĞci
wspóáczynnika wzmocnienia obiektu wiĊkszych od 0,55 (badano zmianĊ wartoĞci
wzmocnienia do k 1 ), w tym teĪ przypadku czas regulacji zmniejsza siĊ. Uzyskano stabilną
odpowiedĨ skokową ukáadu zamkniĊtego.
Wyznaczony regulator C(s) opisany transmitancją (22), ma ujemną wartoĞü
wzmocnienia. Powoduje to zmianĊ sprzĊĪenia zamkniĊtego ukáadu automatycznej regulacji
na dodatnie.
Odpowiedz skokowa
2.5
k=0.55
k=0.4
k=1
2
1.5
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
czas [s]
Rys. 3. Charakterystyki skokowe ukáadu zamkniĊtego z obiektem (21) i regulatorem (22)
wyznaczone dla kilku wartoĞci wzmocnienia k obiektu
Zaprojektowany ukáad regulacji sprawdzono w dziedzinie czĊstotliwoĞci otrzymując zapas
stabilnoĞci:
Am
3,5956,Im
32,9208q.
Obliczone wartoĞci zapasu moduáu i fazy są mniejsze od zakáadanych podczas syntezy
regulatora dla uproszczonej transmitancji (3) ( Am 4 , I m 55 D ).
Przykáad 2. WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej taki jak w przykáadzie 1.
NaleĪy dokonaü syntezy regulatora (2), tak aby rozpatrywany ukáad regulacji miaá zapas
moduáu A 4 (okoáo 12 dB) i zapas fazy I m 60 D
Wykorzystując obszary stabilnoĞci wyznaczamy wartoĞci parametrów regulatora
jednoczeĞnie dla zadanego zapasu moduáu A i zapasu fazy I. Aby to uzyskaü na jednym
rysunku, wykreĞlamy granicĊ zer zespolonych dla okreĞlonego zapasu fazy I, przy A 1 oraz
granicĊ zer zespolonych dla okreĞlonego zapasu moduáu A, przy I 0. Punkt przeciĊcia
wyznaczonych granic jest poszukiwanym rozwiązaniem.
Na rys. 4 pokazano obszary stabilnoĞci wyznaczone dla A
ma wspóárzĊdne D 1,08, kc –3,5.
600 Pomiary Automatyka Robotyka 2/2011
4 oraz I = 60q. Punkt przeciĊcia
NAUKA
0
-2
kc
-4
-6
phi=60
A=4
-8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
D
Rys. 4. Obszary stabilnoĞci quasi-wielomianu (15) dla wartoĞci I = 60° oraz A = 4
W tab. 1 podano wyznaczone wartoĞci parametrów transmitancji regulatora oraz
odpowiadające im zapasy stabilnoĞci dla kilku zapasów stabilnoĞci.
Tab. 1. Zapasy moduáu i fazy i odpowiadające im nastawy regulatora
1
2
3
Zapas moduáu
Zapas fazy [o]
3
3.5
4
40
50
60
Nastawy regulatora
D 1.245 , k c 2.68
D 1.16 , k c
3.07
D 1.08 , k c
3.5
Na rys. 5 pokazano charakterystyki skokowe ukáadu regulacji wyznaczone dla otrzymanych
wartoĞci nastaw regulatora zgodnie z tab. 1. Z rysunku wynika, Īe dla wiĊkszego zapasu
stabilnoĞci mammy mniejsze przeregulowanie, oraz krótszy czas regulacji.
2.5
A=4, phi=60
A=3.5, phi=50
A=3, phi=40
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
czas [s]
250
300
350
400
Rys. 5. Odpowiedzi skokowe ukáadu regulacji
BIBLIOGRAFIA
1. S. Das: Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer,
Berlin 2008.
2. P. Ostalczyk: Zarys rachunku róĪniczkowo-caákowego uáamkowych rzĊdów. Teoria
i zastosowania w automatyce. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ 2008.
3. I. Podlubny: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.
4. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo: Theory and Applications of Fractional
Differential Equations. Elsevier, Amsterdam 2006.
2/2011 Pomiary Automatyka Robotyka
601
NAUKA
5. J. Sabatier, O. P. Agrawal, J. A. T. Machado (Eds): Advances in Fractional Calculus,
Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer,
London 2007.
6. T. Kaczorek.: Wybrane zagadnienia teorii ukáadów niecaákowitego rzĊdu. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Biaáostockiej, Biaáystok 2009.
7. M. Busáowicz: Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych ciągáych ukáadów
niecaákowitego rzĊdu, Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2010.
8. B. Boudjehem, D. Boudjehem, H. Tebbikh: Simple analytical design method for
fractional-order controller. Proc. 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its
Applications, Ankara, Turkey, 2008 (CD-ROM).
9. M. Busáowicz, T. Nartowicz: Projektowanie regulatora uáamkowego rzĊdu dla okreĞlonej
klasy obiektów z opóĨnieniem. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2009, 398–405.
10. Nartowicz T.: Synteza regulatora uáamkowego rzĊdu zapewniającego zadany zapas
stabilnoĞci ukáadu zamkniĊtego z obiektem inercyjnym pierwszego rzĊdu z caákowaniem
i opóĨnieniem. Pomiary Automatyka Robotyka, 2010, str. 443–452.
11. Nartowicz T.: Synteza regulatora uáamkowego rzĊdu zapewniającego zadany zapas
stabilnoĞci dla okreĞlonej klasy obiektów inercyjnych z opóĨnieniem. Pomiary
Automatyka Kontrola, 5/2010, vol. 56, str. 409–413.
12. Y.Q. Chen, H. Dou, B. M. Vinagre and C.A. Monje: A Robust Tuning Method for
Fractional Order PI Controllers, The Second IFAC Symposium on Fractional Derivatives
and Applications, Porto, Portugal (2006).
13. S. E. Hamamci: An Algorithm for Stabilization of Fractional-Order Time Delay Systems
Using Fractional-Order PID Controllers, IEEE Trans. on Automatic Control, 52, 1964–
1969 (2007).
14. C. A. Monje, B. M. Vinagre, V. Feliu, Y. Chen: Tuning and auto-tuning of fractional
order controllers for industry applications. Control Engineering Practice, 16, 798–812
(2008)
15. I. Podlubny: Fractional-order systems and PIODP -controllers, IEEE Trans. on Automatic
Control, 44, 208–214 (1999).
16. D. Valerio, J. S. da Costa: Tuning of fractional PID controllers with Ziegler-Nichols type
rules. Signal Processing, 2006, vol. 86, pp. 2771–2784.
17. R. S. Barbosa, J. A. Machado, I. M. Ferreira: Tuning of PID controllers based on Bode's
ideal transfer function. Nonliner Dynamics, 38, 305–321 (2004).
18. A. Ruszewski: Parametric synthesis of controllers for particular plants with uncertain
parameters, PhD Dissertation, Faculty of Electrical Engineering, Biaáystok Technical
University (in Polish), 2008.
19. A. Ruszewski: Stability regions of closed loop system with time delay inertial plant of
fractional order and fractional order PI controller, Bull. Pol. Ac.: Sci. Tech. 56 (4), 329–
332 (2008).
20. A. Ruszewski: Stabilisation of inertial processes with time daly using a fractional order PI
controller, PAK, 56, 2 (2010), 160–162.
21. M. Busáowicz: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-time
fractional systems, [in:] K. Malinowski, L. Rutkowski (Eds.): Recent Advances in
Control and Automation, Academic Publishing House EXIT, Warsaw 2008, 83–92.
22. H. Górecki, S. Fuksa, P. Grabowski and A. Korytowski: Analysis and Synthesis of Time
Delay Systems, PWN-J. Wiley, Warsaw Chichester, 1989.
602 Pomiary Automatyka Robotyka 2/2011