51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń
do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
I.
Przypomnij sobie:
1. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy
prawdopodobieństwo zdarzenia?
Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego
zdarzenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są
wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom - prawdopodobieństwa
uzyskania tych wyników. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych
krawędziom wychodzącym z tego samego wierzchołka jest równa 1.
Najprostszy przykład grafu dwuetapowego doświadczenia:
B, B'- dwa możliwe wyniki w pierwszym etapie
mam doświadczenia,
A, A'- dwa możliwe wyniki w drugim etapie
mam doświadczenia,
p1 – prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B
mam w pierwszym etapie,
p2 – prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B’
mam w pierwszym etapie,
q1, q3 - prawdopodobieństwo warunkowe
mam otrzymania wyniku A w drugim etapie,
q2, q4 - prawdopodobieństwo warunkowe mam
mam otrzymania wyniku A’ w drugim etapie,
p1  p2  1
q1  q3  1
q2  q4  1
Gałąź drzewa stochastycznego - ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do
jednego z ostatnich jego wierzchołków.
Reguła iloczynów — Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez jedną
gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych
krawędziom, z których składa się rozważana gałąź. Reguła wynika ze wzoru na
prawdopodobieństwo iloczynu.
Reguła sum — Prawdopodobieństwo danego zdarzenia opisanego przez kilka gałęzi
jest równe sumie prawdopodobieństw otrzymanych regułą iloczynów dla tych gałęzi.
Reguła wynika z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 1.
Spośród jedenastu kobiet i dziewięciu mężczyzn losowo wybrano trzyosobową delegację.
Sporządź drzewo tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo:
a. zdarzenia A, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jeden mężczyzna,
b. zdarzenia B, że w skład delegacji wejdzie co najmniej dwóch mężczyzn.
Rozwiązanie:
Niech będzie: K- kobieta, M- mężczyzna.
a. Zdarzeniu A nie sprzyja tylko wybranie wszystkich trzech kobiet (na naszym grafie gałąź
K-K-K), czyli
11 10 9 11
P A' 
  
20 19 18 76
Korzystając z własności prawdopodobieństwa (wzory maturalne) obliczamy:
11 65
P A  1  P A'  1 

76 76
b. Zdarzenie B ilustrują następujące gałęzie grafu: K-M-M, M-K-M, M-M-K, M-M-M.
Zgodnie z regułą iloczynów i regułą sum wyliczamy
11 9 8 9 11 8 9 8 11 9 8 7 11 11 11 7 40 8
P B  
           
  


20 19 18 20 19 18 20 19 18 20 19 18 85 85 85 85 85 19
 
 
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia A, że w skład delegacji wejdzie co najmniej
65
jeden mężczyzna wynosi
, zaś prawdopodobieństwo zdarzenia B, że w skład
76
8
delegacji wejdzie co najmniej dwóch mężczyzn wynosi
.
19
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 2.
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Sporządź drzewo tego doświadczenia losowego i
oblicz prawdopodobieństwo:
a. zdarzenia A polegającego na otrzymaniu dwa razy orła,
b. zdarzenia B polegającego na otrzymaniu trzy razy orła lub trzy razy reszki,
c. zdarzenia C polegającego na otrzymaniu co najmniej dwa razy reszki,
d. zdarzenia D polegającego na otrzymaniu co najmniej raz reszki.
Rozwiązanie:
Niech będzie:
O – orzeł
R - reszka
a. Zdarzenie A ilustrują na grafie ramiona: O-O-R, O-R-O, R-O-O. Zatem:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
P A          
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
b. Zdarzenie B ilustrują na grafie ramiona: O-O-O i R-R-R. Zatem:
1 1 1 1 1 1 2 1
PB         
2 2 2 2 2 2 8 4
c. Zdarzenie C ilustrują na grafie ramiona: O-R-R, R-O-R, R-R-O, R-R-R. Zatem:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1
PC               
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2
d. Zdarzenie D ilustrują na grafie wszystkie ramiona oprócz O-O-O. Prościej jest
obliczyć prawdopodobieństwo dopełnienia zdarzenia A (właśnie tej pokazanej gałęzią
O-O-O). Zatem:
1 1 1 1
a więc
P D'     ,
2 2 2 8
1 7
P D   1  P D '  1  
8 8
 
 
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia A - polegającego na otrzymaniu dwa razy orła 3
wynosi , zdarzenia B - polegającego na otrzymaniu trzy razy orła lub trzy razy
8
1
reszki - wynosi , zdarzenia C - polegającego na otrzymaniu co najmniej dwa
4
1
razy reszki - wynosi , zaś zdarzenia D - polegającego na otrzymaniu co
2
7
najmniej raz reszki - wynosi .
8
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 3.
Na rysunku przedstawiono plan sieci dróg. Rowerzysta z miejsca A do
miejsca B dojedzie, gdy na każdym rozwidleniu dróg wybierze jedną z nich z
tym samym prawdopodobieństwem. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia,
że do miejsca B dojedzie nie błądząc, jest równe:
A.
1
,
2
B.
1
,
4
1
C. ,
5
D.
1
.
6
Rozwiązanie:
Narysowany plan dróg łatwo przekształcić na drzewo
stochastyczne z wierzchołkiem A, gdzie nieoznaczone
dotychczas punkty oznaczymy przez X lub Y. Na pierwszym
rozwidleniu są dwie drogi, więc prawdopodobieństwa ich
1
wyboru wynoszą po . Na drugim rozwidleniu są trzy drogi,
2
1
więc prawdopodobieństwa ich wyboru wynoszą po .
3
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że rowerzysta do miejsca B
1 1 1
dojedzie nie błądząc wynosi PB     .
2 3 6
Czyli prawidłowa odpowiedź to D.
Przykład 4.
Rzucamy dwa razy czterościenną kostką do gry, która ma na każdej ściance cyfrę
odpowiednio 1, 2, 3, 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia, że liczba 8
jest sumą oczek na obu kostkach, jest równe:
A.
1
,
16
1
B. ,
8
C.
1
,
2
D.
15
.
16
Rozwiązanie:
Przy dwukrotnym rzucie czterościenną kostką do gry można otrzymać 4  4  16 różnych
wyników (par cyfr , w których pierwsza cyfra jest liczbą wyrzuconych oczek na pierwszej
kostce, a druga – na drugiej). Jest tylko jedna para liczb: 4,4 , która spełnia warunek „liczba
8 jest sumą oczek na obu kostkach”. Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia A wynosi
1
(zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa) P A  . Natomiast prawdopodo16
bieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia, że liczba 8 jest sumą oczek na obu kostkach to
1 15
P A'  1  P A  1  
16 16
Czyli prawidłowa odpowiedź to D.
 
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Prawdopodobieństwo, że w trzykrotnym rzucie symetryczną monetą otrzymamy jednego orła
i dwie reszki, jest równe:
A.
3
,
4
B. 0,5,
C. 0,375,
D.
2
.
3
Zadanie 2. (1 pkt)
Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo, że za każdym razem
wypadła liczba oczek podzielna przez 3, wynosi:
A.
1
,
2
B.
1
,
3
C.
1
,
4
D.
1
.
6
Zadanie 3. (3 pkt)
W pudełku znajduje się 12 kul białych i 8 kul czerwonych. Losujemy trzy kule. Sporządź
drzewo tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo:
a. zdarzenia A, że wylosowano dwie kule czerwone,
b. zdarzenia B, że wylosowano co najmniej dwie kule czerwone,
c. zdarzenia C, że wylosowano co najmniej jedną kulę czerwoną.