Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH model GoGarch

Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH
model GoGarch
MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
1 / 14
Ogólna specykacja modelu MGARCH
Ogólna posta¢ dla
N -wymiarowego procesu MGARCH {yt }:
yt = µt + ϵt , ϵt ∼ N (0, Σt ),
gdzie:
µt :
warto±¢ oczekiwana, która mo»e by¢ staª¡ lub dana np. modelem
VAR
Σt :
warunkowa macierz kowariancji, która zale»y od swoich przeszªych
realizacji
{Σt −p : q = 1, 2, . . . , Q } oraz od przeszªych
{ϵt −p ϵ′t −p : p = 1, 2, . . . , P }
realizacji
skªadnika losowego
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
2 / 14
Klasykacja modeli MGARCH
Modele MGARCH mo»na podzieli¢ na trzy kategori¦, w zale»no±ci od specykacji
równania dla wariancji (za Bauwens, Laurent i Rombouts, 2006 oraz Silvennoinen,
A. and T. Terasvirta, 2009):
1.
Bezpo±rednie uogólnienie jednowymiarowych modeli GARCH
(VEC GARCH oraz BEKK)
2.
Liniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH
(GO-GARCH oraz FactorGARCH)
3.
Nieliniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH
(CCC-GARCH, DCC-GARCH)
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
3 / 14
Model VEC-GARCH
Posta¢ modelu VEC-GARCH(1,1) (Bollerslev, Engle i Wooldridge, 1988):
yt = µt + ϵt , ϵt ∼ N (0, Σt )
ht = ω + Aet − + Bht −
ht = vech(Σt )
et = vech(ϵt ϵ′t )
1
gdzie operator
1
vech(Σ) oznacza wektor zªo»ony z N (N + )
1
2
elementów macierzy
Σ
znajduj¡cych si¦ na gªównej przek¡tnej oraz powy»ej tej przek¡tnej.
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
4 / 14
Model VEC-GARCH
Wady modelu VEC:
1.
2.
A i B s¡ wymiarów N (N + ) × N (N + )
Skomplikowane restrykcje na ω , A i B gwarantuj¡ce, aby Σt speªniaªa
1
Du»a liczba parametrów: macierze
1
2
2
warunki macierzy kowariancji.
W celu zmniejszenia liczby parametrów, Bollerslev, Engle i Wooldridge (1988)
zaproponowali model DVEC-GARCH (diagonal VEC), w którym macierze
AiB
s¡
diagonalne, a tym samym:
hij ,t = ωij + aij ϵi ,t − ϵj ,t −
1
1
+ bij hij ,t −1 .
W modelu DVEC-GARCH pozostaje problem (2). Dodatkowo, brak zale»no±ci
mi¦dzy elementami macierzy
Ht .
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
5 / 14
Model BEKK-GARCH
ω , A i B modelu VEC-GARCH, które
Σt , zostaªa zaproponowana przez Engle'a
Posta¢ restrykcji na parametry macierzy
gwarantuj¡ póª-dodatni¡ okre±lono±¢
i
Kroner (1995) w modelu BEKK-GARCH(1,1) postaci:
yt = µt + ϵt , ϵt ∼ N (0, Σt )
Σt = ΩΩ′ + Aϵt − ϵ′t − A′ + B Σt − B ′ ,
1
gdzie
Ω
jest macierz¡ górno-trójk¡tn¡, za±
wymiarach
N × N.
1
1
AiB
s¡ macierzami kwadratowymi o
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
6 / 14
Model Factor-GARCH
N mo»na stosowa¢ modele, w których zakªada si¦, »e Σt
K ≤ N liczb¦ wspólnych czynników. Tego typu modelem jest
Dla wysokich warto±ci
jest opisywana przez
Factor GARCH(K,1,1) (por. Engle, Ng i Rothschild, 1990):
yt = µt + ϵt , ϵt ∼ N (0, Σt )
ϵt = Λft + ηt , ηt ∼ N (0, Ω)
2
Ω = diag(ω12 , ω22 , . . . , ωN
)
ft ∼ N (0, Ht )
Ht = diag(h t , h t , . . . , hKt )
hkt = γk + αk fk ,t − + βk hk ,t −
Σt = ΛHt Λ′ + Ω
1
2
2
1
Macierz
Λ
o wymiarach
N ×K
1
dla
oraz warto±ci dla
ft
k = 1, 2, . . . , K
warto±ci mo»na wyznaczy¢ np.
metod¡ gªównych skªadowych
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
7 / 14
Model GO-GARCH
Posta¢ model GO-GARCH(1,1) (Generalized Orthogonal GARCH, Van der Weide,
2002):
yt = µt + ϵt , ϵt ∼ N (0, Σt )
ϵt = Zxt , xt ∼ N (0, Ht )
Σt = ZHt Z ′
Ht = diag(h t , h t , . . . , hNt )
hit = γi + αi xi ,t − + βi hit −
1
2
2
1
1
dla
i = 1, 2, . . . , N
Idea modelu: wielowymiarowa macierz kowariancji warunkowej o wymiarze
jest zªo»eniem
N
N (N +1)
2
jednowymiarowych modeli GARCH
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
8 / 14
Model GO-GARCH
Wa»ne pytanie: jak uzyska¢
Z?
Macierz bezwarunkowej wariancji
Σ = Var (yt )
jest zapisywana jako:
Σ = ZZ ′ = (V Λ−1/2 U )(U ′ Λ−1/2 V ′ ),
gdzie:
V:
macierz wektorów wªasnych
Σ
Λ:
diagonalna macierz warto±ci wªasnych
Σ
U:
ortonormalna macierz rotacji (tutaj jest gªówny problem)
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
9 / 14
GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD
> library(gogarch)
> z <- gogarch(y, ~garch(1, 1)); summary(z)
Odwrotnosc macierzy Z (y = Zx):
-0.84 -0.62
-0.55 0.79
Modele GARCH(1,1) dla y1 oraz y2
Est. StDev Prob
omega 0.015 0.010 1.257
alpha1 0.117 0.026 1.248
beta1 0.873 0.026 0.000
|
|
|
|
Est.
0.053
0.103
0.843
StDev
0.028
0.034
0.057
Prob
0.0578
0.0031
0.0000
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
10 / 14
GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD
Conditional variance for EUR_USD
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Conditional variance for EUR_PLN
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2002
2006
2008
2010
2012
Conditional correlation
−3
−2
−0.5
−1
0.0
0
1
0.5
Conditional covariance
2004
2002
2004
MPGzR (dodatek 2)
2006
2008
2010
2012
2002
Model GoGARCH
.
2004
2006
.
2008
.
2010
.
2012
.
.
11 / 14
Zadanie 1
Wgraj dane subindeksów sektorowych dla wska¹nika EURO STOXX za pomoc¡
polece«:
> library(gogarch)
> data(BVDWSTOXX)
Wybierz trzy subindeksy i wykonaj nast¦puj¡ce polecenia:
1.
Policz logarytmiczne stopy zwrotów.
2.
Oszacuj model Go-GARCH za pomoc¡ metody ICA
(z wyrazem wolnym w równaniu poziomu dla nieobserwowalnych czynników).
3.
4.
Stwórz wykres warunkowych wariancji i warunkowych korelacji.
ET [µT +
Oblicz prognoz¦ stóp zwrotu (
1
])
ET [ΣT +
oraz wariancji (
1
])
na
najbli»szy okres.
5.
6.
Oblicz 5% VaR na najbli»szy okres z modelu Go-GARCH dla portfela o
wagach
= [1/3 1/3 1/3]′
w
Porównaj wyniki z poprzedniego punktu z warto±ci¡ VaR uzyskan¡ na
podstawie prognoz dla
µT +1 i ΣT +1
opartych o historyczne ±rednie.
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
12 / 14
Zadanie 2
Wgraj dane subindeksów sektorowych dla wska¹nika EURO STOXX za pomoc¡
polece«:
> library(gogarch)
> data(BVDWSTOXX)
Wybierz trzy subindeksy i wykonaj nast¦puj¡ce polecenia:
1.
Policz logarytmiczne stopy zwrotów.
2.
Oszacuj model Factor-GARCH z 3 czynnikami
K
PC
f
B
<<<<-
3
princomp(x, cor = FALSE, scores = TRUE)
PC$scores[,1:K]
PC$loadings[,1:K]
3.
Oszacuj model GARCH(1,1) dla ka»dego czynnika
4.
Stwórz wykres warunkowych wariancji i warunkowych korelacji.
5.
ET [µT +
Oblicz prognoz¦ stóp zwrotu (
1
])
ET [ΣT +
oraz wariancji (
1
])
na
najbli»szy okres.
6.
7.
Oblicz 5% VaR na najbli»szy okres z modelu Factor-GARCH dla portfela o
wagach
= [1/3 1/3 1/3]′
w
Porównaj wyniki z poprzedniego punktu z warto±ci¡ VaR uzyskan¡ na
podstawie modelu Go-Garch
MPGzR (dodatek 2)
.
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
13 / 14
Literatura:
1.
Bauwens, L., Laurent, S. and Rombouts, J. (2006), Multivariate GARCH
models: A survey, Journal of Applied Econometrics 21(1): 79 - 109
2.
Bollerslev T, Engle R.F., Wooldridge J.M. (1988), A capital asset pricing
model with time varying covariances, Journal of Political Economy 96:
116131.
3.
Engle R., Kroner F.K., (1995), Multivariate simultaneous generalized ARCH,
Econometric Theory 11: 122150.
4.
Engle R., Ng V.K., Rothschild M. (1990). Asset pricing with a factor-ARCH
covariance structure: empirical estimates for treasury bills. Journal of
Econometrics 45: 213238.
5.
Silvennoinen, A. and T. Terasvirta (2009), Multivariate GARCH models,
chapter in Handbook of Financial Time Series: 201-229.
6.
Van der Weide, R. (2002), GO-GARCH: A Multivariate Generalized
Orthogonal GARCH Model, Journal of Applied Econometrics 17(5): 549 564.
.
MPGzR (dodatek 2)
Model GoGARCH
.
.
.
.
.
14 / 14