Część V

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria i Gospodarka Wodna
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Wielomiany
5. Wielomiany
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem
W (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + an xn ,
gdzie n ∈ N, ai ∈ R, an ̸= 0.
Równość wielomianów
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki
przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Twierdzenie o rozkładzie wielomianu
Jeżeli W (x) i P (x) ̸≡ 0 są wielomianami, to istnieją takie wielomiany Q(x) i R(x),
że W (x) = P (x) · Q(x) + R(x), przy czym R(x) ≡ 0 lub stopień wielomianu R(x) jest silnie mniejszy
od stopnia wielomianu P (x).
Wielomian R(x) nazywamy resztą dzielenia W (x) przez P (x).
Pierwiastek wielomianu
Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0.
Twierdzenie Bèzout’a
Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x).
Wniosek: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a).
Pierwiastek wielokrotny wielomianu
Liczba a jest k–krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (x) dzieli się przez (x − a)k i nie
dzieli się przez (x − a)k+1 . Wtedy wielomian W (x) możemy zapisać w postaci W (x) = (x − a)k Q(x),
gdzie Q(x) jest wielomianem niepodzielnym przez x − a.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeżeli liczba wymierna pq ̸= 0 (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
o współczynnikach całkowitych, przy czym a0 , an ̸= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0 ,
natomiast q jest podzielnikiem współczynnika an .
Wniosek: Jeśli an = 1, to pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych należy szukać wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a0 .
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
•
•
•
•
rozkładamy wielomian na czynniki;
odczytujemy pierwiastki wielomianu (miejsca zerowe wielomianu);
odczytujemy krotności pierwiastków wielomianu;
zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi liczbowej;
21
Wielomiany
• rysujemy schematyczny wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej strony:
◦ od góry, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest dodatni;
◦ od dołu, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest ujemny;
• wykres
◦ „przecina” oś dla pierwiastków o nieparzystej krotności;
◦ „odbija się” od osi dla pierwiastków o parzystej krotności;
• odczytujemy rozwiązanie.
Przykładowe zadania
1. Wyznaczyć parametry A, B, C tak, aby wielomiany W (x) = (B + C)x2 + (A − B)x − A
oraz Q(x) = 2x2 + x + 1 były równe.
Rozwiązanie:
Wielomiany te mają takie same stopnie. Aby były równe, muszą mieć równe współczynniki przy
odpowiednich potęgach zmiennej, tzn. 2 = B + C, 1 = A − B, 1 = −A.
Odpowiedź: A = −1, B = −2, C = 4.
2. Rozwiązać równanie x4 − 5x2 + 6 = 0.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy podstawienie: x2 = t, t > 0.
Otrzymujemy równanie kwadratowe: t2 − 5t + 6 = 0.
∆ = 1, t1 = 2, t2 = 3
√
√
x2 = 2, stąd x = 2 lub x = − 2
√
√
x2 = 3, stąd x = 3 lub x = − 3
√
√ √
√
Odpowiedź: x ∈ { 2, − 2, 3, − 3}.
3. Rozwiązać równanie x3 − 8 = 0.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
(x − 2)(x2 + 2x + 4) = 0
Zatem x − 2 = 0, stąd x = 2 lub x2 + 2x + 4 = 0, stąd ∆ = −12, czyli nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: x = 2.
4. Rozwiązać równanie x3 + 2x2 − x − 2 = 0.
Rozwiązanie:
Grupujemy (x3 + 2x2 ) − (x + 2) = 0
x2 (x + 2) − (x + 2) = 0
(x + 2)(x2 − 1) = 0
Zatem x + 2 = 0, czyli x = −2 lub x2 − 1 = 0, stąd ze wzoru skróconego mnożenia a2 − b2 =
(a + b)(a − b) otrzymujemy (x + 1)(x − 1) = 0, więc x = −1 lub x = 1.
Odpowiedź: x ∈ {−2, −1, 1}.
22
Wielomiany
5. Rozwiązać równanie x3 − 5x2 + 11x − 10 = 0.
Rozwiązanie:
Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Dzielnikami wyrazu wolnego (czyli liczby
−10) są: 1, −1, 2, −2, 5, −5, 10, −10.
Równanie spełnia liczba 2, bo W (2) = 23 − 5 · 22 + 11 · 2 − 10 = 0. Ponieważ W (2) = 0, to wielomian
x3 − 5x2 + 11x − 10 dzieli się bez reszty przez dwumian x − 2.
x2 − 3x + 5
x3 − 5x2 + 11x − 10 : x − 2
−x3 + 2x2
− 3x2 + 11x
3x2 − 6x
5x − 10
− 5x + 10
Równanie przyjmuje postać:
(x − 2)(x2 − 3x + 5) = 0
Stąd x − 2 = 0, czyli x = 2 lub x2 − 3x + 5 = 0, ∆ = −11 < 0, więc nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: x = 2.
6. Rozwiązać nierówność (x − 1)(x + 1)(x − 2) > 0.
-1
x
2
1
Odpowiedź: x ∈ [−1, 1] ∪ [2, +∞).
7. Rozwiązać nierówność x2 (x + 2)(x − 3) < 0.
-2
x
3
0
Odpowiedź: x ∈ (−2, 3) \ {0}.
8. Rozwiązać nierówność (x − 1)(2 − x)(x + 4)3 6 0.
-4
1
2
x
Odpowiedź: x ∈ [−4, 1] ∪ [2, +∞).
Zadania
Wykonać dzielenie wielomianów:
1. (x4 − 6x3 + 10x2 + 2x − 15) : (x − 3).
4. (x4 − 5x3 + 2x − 1) : (x2 + x − 1).
2. (x12 − x7 − x5 ) : (x7 − 1).
5. (2x6 − 3x4 + 2x2 + 7) : (−x3 + 2x).
3. (x5 + 2x3 − 2x2 + x − 2) : (x2 + x + 2).
6. (15x4 − 7x3 + 5x2 + 17x − 30) : (3x2 − 2x + 5).
23
Wielomiany
Nie wykonując dzielenia obliczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez Q(x):
7. W (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, Q(x) = x − 2.
8. W (x) = x10 − 1, Q(x) = −x2 + x.
9. W (x) = (x − 2)6 , Q(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
10. W (x) = x6 + 2x5 + 3x + 4, Q(x) = x − 1.
Wyznaczyć wartości parametrów a, b i c wiedząc, że:
11. W (x) = −x5 + 3x4 − ax3 + x + b, W (0) = 2, W (1) = −4.
12. W (x) = −6x7 − ax5 + bx4 − 3x + 5, W (−1) = 2, W (1) = −2.
13. W (x) = x5 + ax2 + bx + c, W (−1) = 1, W (0) = 1, W (1) = −1.
14. Wyznaczyć wartości parametrów a, b i c tak, aby wielomiany W (x) = 3x2 + x − 7 oraz
Q(x) = a(x − 1)(x + 1) + b(x − 2)(x + 2) + c(x − 1)(x + 2) były równe.
15. Dla jakich wartości parametru m wielomian W (x) = x4 −(m−1)(m+1)x3 +(m+1)2 x2 −3(m+1)x−7
jest podzielny przez dwumian x − 1?
16. Dla jakich wartości parametru m wielomian W (x) = 2mx3 − 5x2 + mx − 2m jest podzielny przez
dwumian x + 1?
17. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumiany x − 1 i x + 2 jest odpowiednio równa 1 i 3.
Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez (x − 1)(x + 2).
18. Reszta z dzielenia wielomianu x3 + px2 − x + q przez trójmian (x + 2)2 wynosi 1 − x. Wyznaczyć
pierwiastki tego wielomianu.
19. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian W (x) = ax3 −2x2 +bx−6 dzieli się przez wielomian
Q(x) = x2 − x − 6?
20. Dla jakich wartości parametru m równanie x5 + (1 − 2m)x3 + (m2 + 1)x = 0 ma tylko jeden
pierwiastek?
21. Dla jakich wartości parametru m równanie (m − 2)x3 − 2(m + 3)x2 + m + 1 = 0 ma cztery różne
pierwiastki rzeczywiste?
22. Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x3 − 2x2 + ax + b = 0 ma pierwiastek podwójny
x = 1?
23. Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W (x) = x3 + ax2 − bx + 6. Znaleźć współczynniki a, b
tego wielomianu.
Rozwiązać równanie:
24. 2x4 − 5x3 + 5x − 2 = 0.
30. (x − 3)(x + 4)(x + 3) = 3x + 12.
25. 9x4 + 9x3 + 11x2 + 9x + 2 = 0.
31. 2x3 − 11x2 + 12x + 9 = 0.
26. 2x3 + x2 + 3x − 2 = 0.
32. x3 + 4x2 + x − 6 = 0.
27. x4 + 2x3 − 8x2 − 19x − 6 = 0.
33. (x3 − 1)(x2 − 5x) = 0.
28. x4 + x2 − 6x + 4 = 0.
34. 4x4 − 9x2 + 2 = 0.
29. 3x4 + 5x3 − x2 − 5x − 2 = 0.
24
Wielomiany
Rozwiązać nierówność:
35. (x − 1)2 (3 − x)3 6 0.
41. (4x2 − 2x − 1)(2x2 + 2x − 1) > 0.
36. −2(x + 1)2 (x − 1) > 0.
42. −x3 − 2x2 + 6x < 0.
37. (x2 − 16)2 (x + 2)3 (2x + 1)4 > 0.
43. x3 + 6x2 + 11x + 6 > 0.
38. (2x + 3)(x2 − 5x + 6) < 0.
44. x4 + 2x > 3x2 .
39. (6 − 3x2 )3 (x − 4)2 6 0.
45. x3 + 3x2 − 9x + 5 6 0.
40. (x2 + 1)(x2 − 1)(x − 2)2 < 0.
46. x3 − x2 + 2x + 4 > 0.
Rozwiązać równanie:
47. x3 − |x2 − 2x| = 0.
50. |x3 − 9x| − 4x + 12 = 0.
48. 3x2 = |x3 − 4x|.
51. x4 + 5 − |5x3 + x| = 0.
49. |3x3 + x| = x4 + 3.
Rozwiązać nierówność:
52. |x2 + 3x + 2| > x3 + 8.
55. |x3 + 2x2 | > 8x.
53. |x2 − 1|(x3 − 8) < 0.
56. 4|x| − |x|3 > 0.
54. |x2 − |x|| 6 2.
57. (|x| − 2)2 − |3x − 1| < 2.
Narysować wykres funkcji:
58. f (x) = (x − 1)3 + 5.
60. f (x) = −|x3 + 2|.
59. f (x) = −|2 − (x − 1)3 |.
61. f (x) = (x + 1)3 .
25