struktury algebraiczne

STRUKTURY ALGEBRAICZNE
Definicja 1
Z: niech A oznacza zbiór, A ≠ ∅
Działaniem wewnętrznym (działaniem) określonym w zb. A nazywamy
każde odwzorowanie:
h: A × A → A. Wartość tego odwzorowania h(a, b) nazywamy wynikiem
działania
Oznaczenia: (A, h) lub (A, D )
Zamiast h(a, b) piszemy a D b
Uwaga:
Zapis a D b utożsamiamy z wynikiem działania.
Przykład 1
a).
h: Z × Z → Z
h(n, k) = n + k
Piszemy: ( Ζ , +)
(n + k) ∈ Z
b).
n
k
Powyższe działanie nie jest działaniem określonym w Z *.
Z*
h(n, k) =
Definicja 2
Dane są zbiory F, X takie, że: F, X ≠ ∅
Działaniem zewnętrznym w zbiorze X nazywamy każde odwzorowanie g:
F× X → X
Oznaczamy: g(α , a) , gdzie α ∈ F, a ∈ X
g(α , a) = α ∗ a .
Przykład 2
X→
zbiór wektorów zaczepionych na płaszczyźnie
F=R
*
działanie mnożenia wektora przez liczbę (wynikiem wektor).
Własności działania wewnętrznego:
Z: (A, D) , D - jest działaniem wewnętrznym w zbiorze A
1) Działanie D jest łączne jeśli: ∀x, y ∈ A : (x D y) D z = x D (y D z)
2) Działanie D jest przemienne jeśli: ∀x, y ∈ A : x D y = y D x
3) e ∈ A jest elementem neutralnym działania jeśli: ∀x ∈ A : x D e = e D x = x
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne
Twierdzenie 1
Jeżeli w zbiorze A z działaniem wewnętrznym D istnieje element neutralny
to jest on jedyny.
4) Jeśli istnieje element neutralny e ∈ A to elementem przeciwnym
(odwrotnym, symetrycznym) do x ∈ A nazywamy taki element x'∈ A ,
że: x D x' = x'D x = e
Uwaga:
Jeśli działanie jest łączne i istnieje element neutralny tego działania
to jeśli jakiś element posiada element odwrotny to jest on jedyny i
wówczas: (x' )' = x .
Przykład 2
Z: ( Z , +), e = 0
∀x = k ∈ Z ∃x' = -k: x + x' = 0 (każdy
odwrotny –x)
element
x
zb. Z
posiada
element
Definicja. 3
Z: (A, D) , A ≠ ∅
, D - działanie wewnętrzne w zb. A.
Strukturę (A, D) nazywamy GRUPĄ jeżeli spełnione są warunki:
1) ∀x, y, z ∈ A : (x D y) D z = x D (y D z)
2) ∃e ∈ A ∧ ∀x ∈ A : x D e = e D x = x
3) ∀x ∈ A ∃x'∈ A : x D x' = x'D x = e
Jeżeli dodatkowo zachodzi warunek:
4) ∀x, y ∈ A : x D y = y D x
to GRUPĘ nazywamy GRUPĄ PRZEMIENNĄ (ABELOWĄ).
Przykład 3
(Z, +) jest grupą abelową ponieważ:
• + jest działaniem wewnętrznym w Z
• dodawanie jest łączne
• elementem neutralnym tego działanie jest e = 0
• każda liczba całkowita posiada liczbę przeciwną (całkowitą)
Przykład 4
(Q*, ⋅) jest grupą abelową ponieważ:
• mnożenie jest działaniem wewnętrznym w Q*
• elementem neutralnym tego działania jest e = 1
•
•
∀x ∈ Q * ∃x' = 1x : x ⋅ 1x = 1
mnożenie jest przemienne
Przykład 5
Z: A = [-1,1],
(A, +)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne
W tym przypadku + nie jest działaniem wewnętrznym w A ponieważ
∃x, y ∈ A : (x + y) ∉ A
1 3 5
1 3
5
∉A
, ∈A
Np. + =
2 4 4
2 4
4
Definicja 4
Z: (P, D, ∗) , P ≠ ∅, D, * - działania wewnętrzne w zbiorze A.
Strukturę (P, D, ∗) nazywamy PIERŚCIENIEM jeśli spełnione są warunki:
1) struktura (P, D) jest grupą abelową
2)
3)
∀x, y, z ∈ P : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
∀x, y, z ∈ P : (x D y) ∗ z = (x ∗ z) D (y D z) ∧
x ∗ ( y D z) = (x ∗ y) D (x ∗ z)
Definicja 5
Z: (P, D, ∗) - pierścień
Działanie ze względu na które pierścień jest grupą abelową nazywamy
działaniem addytywnym i oznaczamy je +. Element neutralny tego
działania nazywamy zerem, oznaczamy 0.
Drugie działanie nazywamy działaniem multiplikatywne, oznaczamy je „⋅”
Przykład 6
Struktura ( Z , +, ⋅)- jest pierścieniem ponieważ:
• ( Z , +) – jest grupą abelową (sprawdziliśmy wcześniej)
• mnożenie jest łączne
• mnożenie jest rozdzielne względem dodawania
Definicja 6
Z: (P, D, *) - pierścień
a). Jeżeli oprócz warunków z definicji 4 istnieje element neutralny ze
względu na działania multiplikatywne to element ten nazywamy jedynką,
oznaczamy 1 i mówimy, że mamy pierścień z jednością.
b). Jeżeli: ∀x, y ∈ P : x ⋅ y = y ⋅ x to mówimy, że jest to pierścień przemienny.
c). x, y nazywamy dzielnikami 0 :⇔ ∃x, y ∈ P : x ⋅ y = 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 .
d) Jeżeli istnieją dzielniki 0 w pierścieniu mówimy, że jest to pierścień z
dzielnikami zera.
e) Pierścień przemienny, z jednością i bez dzielników zera nazywamy
pierścieniem całkowitym.
Przykład 7
Z: ( Z , +, ⋅) pierścień
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne
k ⋅ n = 0 ⇔ k = 0 v n =0
Czyli w tym pierścieniu nie istnieją dzielniki zera.
Definicja. 7
Z: Działania + i ⋅ to działania wewnętrzne w zbiorze K
Strukturę (K, +, ⋅) nazywamy CIAŁEM jeśli spełnione są warunki:
1) Struktura (K, +) jest grupą abelową
2) Struktura (K-{0}, ⋅) jest grupą
∀x, y ∈ K : (x + y) ⋅ z = (x ⋅ z) + (y ⋅ z) ∧
3)
x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z)
Jeżeli ponadto spełniony jest warunek:
4) ∀x, y ∈ K : x ⋅ y = y ⋅ x
mówimy, że ciało jest ciałem przemiennym.
Uwaga:
Często mając na myśli ciało przemienne mówimy tylko: ciało.
Przykład 8
( R , +, ⋅) – ciało liczb rzeczywistych
( ^ , +, ⋅) – ciało liczb zespolonych
Obydwa w/w ciała są ciałami przemiennymi.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 4
Część 3 - Struktury algebraiczne