zastosowanie wielomianów interpolacyjnych lagrange`a do

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 47, ISSN 1896-771X
ZASTOSOWANIE WIELOMIANÓW
INTERPOLACYJNYCH LAGRANGE’A
DO APROKSYMACJI FUNKCJI
BRZEGOWYCH W METODZIE PURC
DLA RÓWNAŃ NAVIERA-LAMÉGO
Eugeniusz Zieniuk1a, Marta Kapturczak1b, Krzysztof Szerszeń1c
1
a
Zakład Metod Numerycznych, Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku
[email protected], [email protected], [email protected]
Streszczenie
Kluczowym problemem decydującym o dokładności rozwiązań w brzegowych równaniach całkowych (BRC)
i parametrycznych układach równań całkowych (PURC) jest obliczanie całek osobliwych. W metodzie elementów
brzegowych stosowanej do rozwiązywania BRC problem ten został efektywnie rozwiązany w wyniku wyeliminowania konieczności bezpośredniego obliczania całek osobliwych. Bezpośrednie zastosowanie tego jednak sposobu
w metodzie PURC okazało się niemożliwe. Celem pracy było przeprowadzenie badań dotyczących wyeliminowania
konieczności obliczania całek osobliwych i użycia sposobu stosowanego w klasycznej MEB. W tym celu
do aproksymacji funkcji brzegowych zaproponowano wielomiany Lagrange’a.
Słowa kluczowe: parametryczny układ równań całkowych, całka osobliwa, wielomian Lagrange’a
THE APPLICATION OF LAGRANGE INTERPOLATION
FOR THE APPROXIMATION OF BOUNDARY FUNCTIONS
IN PIES METHOD FOR NAVIER-LAMÉ EQUATIONS
Summary
One of the most important problem which decided about accuracy of boundary problems solution using boundary integral equations and parametric integral equations systems is solving singular integrals. In boundary element method, which is used for solving boundary integral equations, the problem has been efficiently solved by
eliminating the necessity of direct solving singular integrals. Unfortunately, the direct application of such a way
in the PIES method appeared to be impossible. The aim of this work was to conduct studies about elimination
of solving singular integrals and application of a way used in the classic MEB. For such a purpose, to approximate
boundary function, the Lagrange polynomial was proposed.
Keywords: parametric integral equations system, singular integral, Lagrange polynomial
1.
WSTĘP
Jednym z głównych problemów pojawiających się
w trakcie
rozwiązywania
zagadnień
brzegowych
za pomocą brzegowych równań całkowych i parametrycznych układów równań całkowych jest obliczanie
całek osobliwych. W MEB, stosowanej do rozwiązywania
brzegowych równań całkowych, można uznać, że pro-
blem ten został efektywnie rozwiązany. Do obliczania
całek znajdujących się na przekątnej głównej układu
równań algebraicznych wykorzystano zasadę ruchu bryły
sztywnej (ang. rigid body) [1,2]. Dzięki takiemu podejściu w bardzo łatwy sposób można obliczyć całki osobliwe na przekątnej macierzy. Zauważono, że suma wszyst-
204
Eugeniusz Zieniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń
kich elementów wiersza w macierzy jest równa zeru.
W związku z tym całka osobliwa, czyli wartość
na głównej przekątnej odpowiedniego wiersza, jest równa
przeciwnej wartości sumy wszystkich pozostałych elementów. Zależność taka występuje jednak tylko w MEB,
natomiast w przypadku układów równań algebraicznych
otrzymywanych na bazie algorytmu zastosowanego
do rozwiązywania PURC takiej zależności nie zauważono.
Dotychczas w metodzie PURC do całkowania całek
osobliwych stosowana była najprostsza technika polegająca na wyizolowaniu punktu osobliwego [7]. Ta prosta
strategia była efektywna i skuteczna w przypadku
elementarnych zagadnień brzegowych. Niemniej jednak
zastosowanie jej do bardziej złożonych zagadnień okazuje się mało skuteczne. Wyniki były obarczone dużymi
błędami, a czas obliczeniowy niekonkurencyjny w porównaniu do MEB. Dodatkowym problemem było to,
że nie można było bezpośrednio zastosować strategii
obliczania całek osobliwych używanej w MEB. W związku z tym postanowiono zastosować alternatywną formę
aproksymacji funkcji brzegowych. Dotychczas do aproksymacji funkcji brzegowych używane były szeregi
z funkcjami bazowymi będącymi wielomianami Czebyszewa.
Celem pracy jest zastosowanie takiej aproksymacji
funkcji brzegowych w PURC, która ostatecznie doprowadzi do układu równań algebraicznych o własnościach
podobnych, jak w przypadku MEB. Dopiero wtedy
będzie możliwym obliczanie całek osobliwych w sposób
analogiczny jak w MEB. W tym celu postanowiono
zastosować do aproksymacji funkcji brzegowych wielomiany interpolacyjne Lagrange’a zamiast dotychczas
stosowanych wielomianów Czebyszewa. Podejście takie
przetestowano
na
zagadnieniach
dwui trójwymiarowych modelowanych równaniami NavieraLamégo.
−
∗
∗
( , ) ( )
( , ) ( ) ( )
.
( )
( ),
( )=
( ) ( )
( ).
Do tej pory jako funkcje bazowe w szeregach aproksymujących (2) stosowane były wielomiany Czebyszewa
określone za pomocą wzoru rekurencyjnego:
( ) = 1,
( )= ,
( )=2 ∙
( )−
= 2, 3, … .
(3)
( ),
Po podstawieniu szeregów aproksymujących (2)
do PURC (1) otrzymano następującą postać parametrycznego układu równań całkowych:
0,5 ( ) = ∑
−
( )
∫
∑
∗
( , ) ( )
∫
( )
( ) ( )
∗
( , )
(4)
.
Numeryczne rozwiązanie (4) po zastosowaniu metody
spektralnej i po podstawieniu w punktach kolokacji
można przedstawić w skróconej postaci w sposób następujący:
=
,
(5)
gdzie u i p odpowiadają poszukiwanym współczynnikom
funkcji brzegowych (2), natomiast H i G są to macierze,
których elementy dla każdego punktu kolokacji określone są za pomocą całek występujących w równaniu (4).
W tym momencie na głównej przekątnej macierzy H
w przypadku rozwiązywania równań Naviera-Lamégo
pojawiają się całki silnie osobliwe. Do tej pory efektywnym sposobem obliczania takich całek było izolowanie
punktu osobliwego. Takie podejście było zadowalające
w przypadku elementarnych zagadnień brzegowych.
Do rozwiązywania bardziej złożonych zagadnień zachodziła potrzeba zastosowania w kwadraturach Gaussa [4]
dużej liczby współczynników wagowych, co miało istotny wpływ na wydłużenie czasu obliczeniowego.
3. STRATEGIA EFEKTYWNEGO
OBLICZANIA CAŁEK
OSOBLIWYCH
Metoda PURC, bazująca na parametrycznych układach równań całkowych, jest alternatywą dla klasycznych BRC i służy do rozwiązywania różnego rodzaju
zagadnień brzegowych. Dla zagadnień 2D PURC jest
przedstawiany w postaci wyrażenia matematycznego [5]:
∫
( )
(2)
2. APROKSYMACJA FUNKCJI
BRZEGOWYCH W PURC
0,5 ( ) = ∑
( )=
Problem obliczania całki osobliwej pojawia się również w metodzie elementów brzegowych (MEB). W
przypadku tej metody zastosowano efektywny sposób
obliczania tych całek. Zauważone zostało, że suma
wszystkich elementów poszczególnych wierszy macierzy
H poza przekątna główną jest równa wartości elementu
na przekątnej głównej, ale ze zmienionym znakiem [1],
(1)
Poszukiwane rozwiązanie na brzegu w tym przypadku
jest przedstawiane za pomocą funkcji brzegowych uj(s)
lub pj(s). Do przybliżenia tych funkcji poszukiwanych
oraz zadanych w postaci warunków brzegowych zastosowano szeregi aproksymujące:
= 0.
(6)
W związku z tym na podstawie tego spostrzeżenia
w sposób bardzo łatwy można wyznaczyć wartość całki
205
ZASTOSOWANIE WIELOMIANÓW INTERPOLACYJNYCH LAGRANGE’A…
osobliwej na przekątnej głównej za pomocą całek nieosobliwych. Innymi słowy całkę osobliwą można wyliczyć na podstawie wzoru:
=−
na dziedzinie każdego z trzech segmentów zadano
po dwa punkty kolokacji. Rozwiązanie przykładu uzyskane za pomocą metody PURC wykorzystującej wielomiany Lagrange’a, pokrywa się z wynikami dotychczas
otrzymywanymi przy zastosowaniu wielomianów Czebyszewa. W dalszej kolejności rozważań nie koncentrowano
się na zagadnieniu brzegowym, a jedynie na wygenerowanym układzie równań algebraicznych. Należało
sprawdzić, czy jest możliwe na podstawie wzoru (7)
obliczanie całek osobliwych. W związku z tym zachodziła potrzeba sprawdzenia czy równanie (6) zostało w tym
przypadku spełnione. Dla porównania przedstawiono
w tabeli 1 wartości sumy elementów dla każdego wiersza
macierzy o wymiarze 12x12, otrzymanej w przypadku
zastosowania wielomianów Czebyszewa oraz interpolacyjnych Lagrange’a do rozwiązywanego zagadnienia.
(7)
.
W przypadku numerycznego rozwiązywania PURC
okazuje się, że uzyskiwane wartości elementów macierzy
w poszczególnych wierszach nie spełniają warunku (6).
W związku z tym niemożliwym jest wyliczenie całki
osobliwej na podstawie (7).
W związku z tym zachodziła potrzeba zmodyfikowania numerycznego rozwiązywania PURC tak, aby możliwym było wykorzystania sposobu stosowanego w MEB
do obliczania całek osobliwych. Dlatego też zamiast
dotychczas stosowanych wielomianów Czebyszewa
( )
( ) w (2), jako funkcji bazowych w szeregach aproksymujących
Lagrange’a
zastosowano wielomiany
( )
( )
( )=
( ):
( )
=(
(
)(
)(
)…(
)…(
Tab. 1. Suma elementów w wierszach macierzy
interpolacyjne
( )=
)(
)(
)…(
)…(
)
.
)
(8)
4. ANALIZA WYNIKÓW
Zaprezentowane zastąpienie wielomianów Czebyszewa w szeregach aproksymujących wielomianami
interpolacyjnymi
Lagrange’a
zaimplementowano
w programie obliczeniowym PURC. W tym celu dokonano modyfikacji istniejących programów stosowanych
do rozwiązywania dwuwymiarowych [6] i trójwymiarowych [8] zagadnień brzegowych modelowanych równaniami Naviera-Lamégo. W pierwszej kolejności, aby
sprawdzić poprawność działania takiej strategii przeprowadzone zostały testy dla wspomnianych zagadnień.
Numeryczne rozwiązanie zagadnień za pomocą PURC
sprowadza się ostatecznie do rozwiązania układu równań
algebraicznych. Okazuje się, że duży wpływ na jednoznaczność rozwiązania ma uwarunkowanie macierzy tego
układu. W związku z tym sprawdzono jakie wartości
przyjmuje wskaźnik uwarunkowania macierzy dla układu równań algebraicznych otrzymany w wyniku aproksymacji PURC po zastosowaniu wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a. Dodatkowo wyniki porównano
z dotychczas stosowanymi wielomianami Czebyszewa do
aproksymacji PURC jako funkcji bazowych.
Wiersz
Czebyszew
Lagrange
1.
-1.12
-1.0E-06
2.
-0.72
-1.0E-06
3.
0.04
-4.0E-06
4.
0.82
-2.7E-06
5.
-1.37
1.0E-06
6.
-0.35
1.0E-06
7.
-0.09
1.0E-05
8.
0.81
2.0E-06
9.
-0.85
-5.6E-06
10.
0.26
-1.0E-06
11.
0.85
0.0E+00
12.
1.80
2.0E-06
Jak widać w tabeli 1 przypadku wielomianów Czebyszewa, jak zostało to już wcześniej zauważone, suma
elementów w wierszach różni się od zera. W przypadku
wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a, zgodnie
z oczekiwaniami, uzyskane wartości są z bardzo małym
błędem zbliżone do zera. Okazuję się więc, że takie
podejście umożliwia zastosowanie szybkiego i efektywnego sposobu obliczania wartości całek osobliwych, bez
konieczności bezpośredniego ich całkowania. Innymi
słowy wartości elementów na przekątnej głównej macierzy można wyliczyć na podstawie wzoru (7).
4.2 TEST DLA ZAGADNIENIA
TRÓJWYMIAROWEGO
4.1 TEST DLA ZAGADNIENIA
DWUWYMIAROWEGO
Kolejnym krokiem było uogólnienie omówionej strategii na zagadnienia trójwymiarowe. Sposób realizacji
strategii jest analogiczny jak w przypadku zagadnienia
dwuwymiarowego. Zamiast wielomianów Czebyszewa
stosowane są odpowiednio wielomiany interpolacyjne
Lagrange’a. Rozpatrywano zagadnienie w obszarze
przedstawionym na rys. 1. z warunkami brzegowymi
W pierwszej kolejności rozpatrywano zagadnie dwuwymiarowe modelowane równaniami Naviera-Lamégo.
Rozpatrywano zagadnienie zdefiniowane w obszarze
trójkątnym, do jego zdefiniowania w PURC zadano trzy
punkty narożne. W ramach rozwiązania numerycznego
206
Eugeniusz Zieniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń
otrzymanymi na podstawie rozwiązań analitycznych (9)
przedstawionych w [3].
,
,
,
)=
)=
)=
−3
−3
−3
,
,
.
(9)
1,E+00
Błąd względny [%]
( ,
( ,
( ,
u1
1,E-03
1,E-06
1,E-09
0
0,5
współrzędna x3
1
u2
Błąd względny [%]
1,E+00
Rys. 1. Zdefiniowanie obszaru dla zagadnienia trójwymiarowego
Rozpatrywano rozwiązania otrzymane w punktach
znajdujących się w środku obszaru, na odcinku
od (0,5;0,5;0) do (0,5;0,5;1) zaznaczonym na rys. 1, czyli
przy zmianie wartości współrzędnej . Do porównania
wyników uzyskanych za pomocą metody PURC wykorzystano rozwiązanie analityczne dla równania NavieraLamégo (9). Na rys.2 przedstawiono względne błędy
rozwiązań numerycznych dla przemieszczeń u1, u2, u3
w środku obszaru pokazanego na rys. 1. Testy powtórzono dla różnej liczby punktów kolokacji, rozpatrzono
2x2, 3x3, 4x4, 5x5 punktów kolokacji zadanych
w dziedzinie każdego z 6 płatów powierzchni modelujących brzeg sześcianu.
Jak przedstawione na rys. 2, błąd względny rozwiązań numerycznych maleje wraz ze wzrostem liczby
punktów kolokacji. W przypadku zastosowania już
czterech punktów kolokacji widać ustabilizowanie
wyników. Dodatkowo na wykresie dla u3, jak przedstawiono na rys. 2, wyraźnie widać pogorszenie dokładności wyników przy zbliżaniu się do brzegu. Wynika to
z tego, że punkty narożne nie są brane pod uwagę
w aproksymacji. Jednakże pogorszenie to jest błędem
rzędu 0.01%. Dodatkowo w celu polepszenia wyników
przy brzegu można zastosować inny sposób rozmieszczenia punktów kolokacji, np. z mniejszym odstępem
krańcowych punktów od brzegu.
1,E-03
1,E-06
1,E-09
0
0,5
współrzędna x3
1
Błąd względny [%]
u3
1,E+00
1,E-03
1,E-06
1,E-09
0
0,5
współrzędna x3
2x2
3x3
4x4
1
5x5
Rys. 2. Względny błąd rozwiązań numerycznych dla składowych wektora przemieszczeń u1, u2, u3
4.3 WSKAŹNIK UWARUNKOWANIA
Duży wpływ na stabilność uzyskiwanych rozwiązań
ma układ równań algebraicznych (5) otrzymany
w wyniku numerycznego rozwiązywania (1). Zastosowanie wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a w szeregach aproksymujących zamiast wielomianów Czebyszewa wprowadza zmianę wartości współczynników
w macierzach G i H w (5). W związku z tym postanowiono zbadać uwarunkowania otrzymanych układów
równań algebraicznych z wykorzystaniem wielomianów
interpolacyjnych Lagrange’a oraz Czebyszewa, rozpatrując dwie strategie aproksymacji PURC. W pierwszej
rozpatrywano wszystkie segmenty brzegu sparametryzowane w przedziale od zera do ich długości (0-p),
207
ZASTOSOWANIE WIELOMIANÓW INTERPOLACYJNYCH LAGRANGE’A…
Wskaźnik uwarunkowania
w drugiej znormalizowano długości wszystkich segmentów w przedziale od zera do jeden (0-1). Wartości
wskaźnika uwarunkowania dla różnych wielkości wygenerowanej macierzy (różnych przykładów) przedstawiono w tabeli 2.
W przypadku źle uwarunkowanej macierzy wskaźnik
uwarunkowania jest znacznie większy od jeden. W tabeli
2 wyraźnie widać, że wartości wskaźnika znacznie odbiegają od jeden. Najmniejsze wartości uzyskiwane są
w przypadku wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a
oraz parametryzacji (0-1).
1,E+15
1,E+12
1,E+09
1,E+06
1,E+03
1,E+00
40x40
96x96
Lagrange
Czebyszew
(0-p)
(0-1)
(0-p)
(0-1)
40x40
10965024
194
884947
23707
96x96
3925533
296
5683278
11377
144x144
2.65E+09
325
4.63E+09
570732
176x176
4.52E+12
272
4.84E+10
9290365
192x192
2.14E+14
15148
6.41E+12
1.59E+08
176x176
192x192
Rozmiar macierzy
Tab. 2. Wskaźnik uwarunkowania macierzy
Rozmiar
macierzy
144x144
Lagrange (0-p)
Lagrange (0-1)
Czebyszew (0-p)
Czebyszew (0-1)
Rys. 3. Wskaźnik uwarunkowania macierzy
5. WNIOSKI
W pracy zastosowano wielomiany interpolacyjne
Lagrange’a do aproksymacji funkcji brzegowych
w metodzie PURC. Zauważono, że tak jak w przypadku
metody elementów brzegowych, suma elementów poszczególnych wierszy w jednej macierzy jest równa zeru.
Dzięki temu umożliwione zostało zastosowanie efektywnego sposobu obliczania całek osobliwych stosowanego
w MEB. Zmiana wielomianów w aproksymacji nie
powoduje utraty dokładności rozwiązań, a zaletą zastosowania takiej zmiany jest poprawienie uwarunkowania
macierzy układu równań algebraicznych generowanych
w metodzie PURC. W związku z tym w celu przebadania wpływu aproksymacji na uwarunkowanie układu,
dla wybranych przykładów wyznaczono wskaźnik uwarunkowania macierzy. Okazuje się że wprowadzenie
wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a znacznie polepsza uwarunkowanie macierzy rozwiązywanego układu,
co zapewnia jednoznaczność uzyskiwanych rozwiązań.
Dodatkowo wyniki przedstawiono na wykresie
(rys.3). W celu zwiększenia możliwości porównania
wartości wskaźnika zastosowano skalę logarytmiczną
na osi pionowej. Na osi poziomej przedstawiono wymiary
macierzy rozpatrywanych przykładów. W przypadku
parametryzacji (0-p) nie widać znacznej różnicy pomiędzy uwarunkowaniem macierzy otrzymanej w przypadku
zastosowania aproksymacji z wykorzystaniem wielomianów Czebyszewa a Lagrange’a. Przy zastosowaniu
parametryzacji (0-1) następuje znaczna poprawa w
przypadku aproksymacji wielomianami Czebyszewa,
natomiast najlepsze uwarunkowanie uzyskiwane jest w
przypadku zastosowania wielomianów interpolacyjnych
Lagrange’a.
Praca częściowo finansowana ze środków na naukę w latach 2010-2013 jako projekt badawczy.
Literatura
1.
Becker A. A.: The boundary element method in engineering: a complete course. McGraw-Hill International (UK)
Limited 1992.
2.
Beer G., Smith I., Duenser Ch.: The boundary element method with programming: for engineers and scientists.
Springer 2010.
3.
Mukherjee Y.X., Mukherjee S., Shi X. and Nagarajan A.: The boundary contour method for three-dimensional
linear elasticity with a new quadratic boundary element. “ Engineering Analysis with Boundary Elements” 1997,
20, p. 35–44.
4.
Stroud A.H.: Gaussian quadrature formulas. Prentice-Hall 1966.
208
Eugeniusz Zieniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń
5.
Zieniuk E.: Metoda obliczeniowa PURC w rozwiązywaniu zagadnień brzegowych. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN,
2013.
6.
Zieniuk E.: A new integral identity for potential polygonal domain problems described by parametric linear
functions. „Engineering Analysis with Boundary Elements” 2002, 25, 10, p. 897-904.
7.
Zieniuk E., Szerszeń K.: Numeryczne obliczanie całek powierzchniowych dla zagadnień przestrzennych w PURC
„ Modelowanie Inżynierskie” 2010, nr 39, s. 217-224.
8.
Zieniuk E., Szerszen K. , Kapturczak M.: A numerical approach to the determination of 3D Stokes flow in
polygonal domains using PIES. Lecture Notes in Computer Sciences 7203. Part I. Heidelberg: Springer, 2012, p.
112-121.
209