Anna Perek „Mechanika II – pomoc. Równania

ZAD.1
Napisać równania ruchu układu metodą Lagrange’a II rodzaju. Dane zgodnie z rysunkiem.
c
m
k
l0
M, l
Rozwiązanie
Wychylamy układ z położenia równowagi. Patrzymy jak pracuje. Klocek przemieszcza się po poziomej
powierzchni, wahadło waha się wokół przegubu. Wystarczy jedna współrzędna do określenia
położenia klocka i jedna do położenia wahadła. Przytrzymując klocek jesteśmy w stanie poruszać
wahadłem, podobnie blokując wahadło możemy poruszać klockiem. Współrzędna określająca obrót
wahadła zatem nie zależy od przemieszczenia klocka - układ ma dwa stopnie swobody. Rysujemy
układ w położeniu wychylonym.
1. Liczba stopni swobody
s=2
2. Współrzędne uogólnione
q1=x - mierzona od długości swobodnej
sprężyny lo
q2=ϕ
c
m
k
l0
x
ϕ
M
3. Energia kinetyczna
=
+
ę
=
=
=
+ ,
1
=
2
̇
̇
- ruch postępowy
= ̇
a
c
xc1
̇
c1
x
xc2
l0
yc2
ϕ
ę
=
= ̇
=
̇
+
̇
- ruch płaski
y
= ̇+
̇,
= cos
,
̇
= − sin
c2
l/2
+ ̇
+ + sin
x
l/2
k
̇
Anna Perek „Mechanika II – pomoc. Równania Lagrange’a II rodzaju”, styczeń 2015
=
̇+
̇
2
+ − sin
2
= ̇ + ̇
̇
̇+
4
= ̇ + ̇
̇+
4
(
) ̇
+
4
(
) ̇
̇
1
12
=
=
ę
1
2
=
1
2
( ̇ + ̇
̇ +
1
2
̇+
̇ )+
4
( ̇ + ̇
̇+
4
1
24
̇ )+
̇
1
24
̇
3. Energia potencjalna
=
+
ęż
ę
c
=−
ę
ℎ=−
2
V0
cos
k
1
=
2
ęż
=−
2
h
l0
V
x
ϕ
1
+
2
cos
4. Dyssypacyjna funkcja Rayleigha
=
1
2
̇
5. Siły niepotencjalne
= 0,
= 0
6. Równania Lagrange’a i pochodne
̇
̇
̇
−
+
+
−
+
+
1
∙2∙
2
=
1
̇ + ∙2∙
2
=(
̇
) ̈+
+
=
̇
̇
=
̇+
1
2
1
2
̇ =(
(−
+
̇ +
̈)
) ̈+
(−
) ̇+
1
2
̇
=0
=
̇
1
∙2∙
2
= ∙2∙
=
̇=
̇
(
+
̇ +
̈) +
+
̇ =0
Anna Perek „Mechanika II – pomoc. Równania Lagrange’a II rodzaju”, styczeń 2015
c2
̇
1
2
=
=
̇
=−
=
̇
1
2
̇
+
1
2
1
2
̈
1
2
∙2∙
4
1
24
̇ =
̇) +
̈+
̇ +2∙
+ ̇ (−
4
1
2
̇
1
12
+
̈ =
4
1
2
̇ +
( ̈
1
12
− ̇ ̇
̇
)+
1
3
̈
̇ ̇
2
=0
( ̈
− ̇ ̇
)+
1
3
̈+
1
2
̇ ̇
+
=0
2
Ostatecznie równania ruchu mają postać:
(
+
( ̈
) ̈+
− ̇ ̇
(−
̈) +
̇ +
)+
̈+
+
̇ ̇
̇ =0
(1)
+
=0
(2)
Uwagi:
Równanie (1) to równanie sił, jednostka każdego wyrazu to [N],
równanie (2) to równanie momentów, jednostka każdego wyrazu to [Nm].
k[N/m], c[kg/s]
Wymiar klocka „a” nie ma znaczenia, gdyż jako stały (=niezmienny w czasie) znika przy liczeniu
prędkości ̇ .
Energię kinetyczną pręta można policzyć ze wzoru Königa w oparciu o środek masy pręta c2 (wzór
10.10 –podręcznik „Wykłady z mechaniki ogólnej” W. Kurnik), tę metodę zastosowano w
rozwiązaniu:
ę
=
1
2
+
1
2
̇
lub można ją policzyć w oparciu o środek masy klocka c1 , który jest punktem zamocowania wahadła.
Ponieważ jednak prędkość punktu c1 jest różna od zera, to przy liczeniu należy skorzystać z pełnego
wzoru na energię kinetyczną (wzór 10.7 –podręcznik „Wykłady z mechaniki ogólnej” W. Kurnik):
ę
=
1
2
+
⃗∗( ⃗×
⃗) +
1
2
Oba podejścia dają ten sam wynik.
Anna Perek „Mechanika II – pomoc. Równania Lagrange’a II rodzaju”, styczeń 2015