Zestaw ósmy Zadanie 1 Obliczyć podane całki krzywoliniowe: a

Zestaw ósmy
e)
Rb
f)
R
a
z n dz
C
sin(2iz) dz, gdzie C jest dowolną krzywą kawałka-
Zadanie 1 Obliczyć podane całki krzywoliniowe: mi gładką łączącą punkty 0 i π2 i;
R
R
a) C (z − z0 )n dz, gdzie C - okrąg o środku z0 i g) C zez dz, gdzie C jest dowolną krzywą regularną
promieniu r zorientowany dodatnio;
o początku 1 i końcu 2 + πi;
R
R
b) C <e z · =m z dz, gdzie C- odcinek o początku 0 h) C z1 dz, gdzie C jest fragmentem okręgu |z| = R
i końcu 2 + i;
R
c) C z̄e<e z dz, gdzie C- łamana o wierzchołkach
w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych łączącym punkty R i Ri (czy można wziąć dowolną krzy-
kolejno: 0, i, 1 + i;
wą łączącą te punkty?);
R
R
d) C |z|z̄ dz, gdzie C- półokrąg |z| = 2, <e z ≥ 0, o i) C eiz dz, gdzie C jest dowolną krzywą regularną
początku 2i i o końcu −2i;
o początku i i końcu 0;
R z dz
R
e) C z̄ , gdzie C- brzeg pierścienia {z ∈ C; 1 ≤ j) C 2z cos(iz 2 ) dz, gdzie C jest dowolną krzywą
|z| ≤ 2, =m z ≥ 0} zorientowany dodatnio.
regularną o początku π2 i końcu π2 i;
R −=m z
R
f) C e
<e z dz, gdzie C jest odcinkiem o początku k) C z sin z dz, gdzie C jest dowolną krzywą regularną o początku 0 i końcu π2 i;
R
l) C zz2dz
+2 , gdzie C-odcinek o początku 0 i końcu
z1 = 1 i końcu z2 = 2 + i;
R
g) C z̄=m (z 2 ) dz, gdzie C jest leżącą w pierwszej
ćwiartce układu współrzędnych częścią okręgu |z| = 1 + i;
R przebieganą od punktu Ri do punktu R;
R dz
, gdzie C jest fragmentem łuku paraboli
h) C z+z̄
Zadanie 3 Ile wynoszą podane całki:
R
√
dz
y = x2 o początku 1 + i oraz końcu e + ei;
a) C cos
z dz, gdzie C jest kwadratem o wierzchołkach
R z̄
i) C e dz, gdzie C jest łamaną o wierzchołkach 1, i, −1, −i;
R
kolejno w punktach π2 i, (1 + i) π2 , 0;
b) C z2dz+1 dz, gdzie C jest okręgiem |z| = 21 ;
R
j) C |ez |z̄ dz, C- odcinek o początku −i i końcu 1;
R
k) C (3z+1)z̄ dz, C- półokrąg {z ∈ C; |z| = 1, <e z ≥
Zadanie 4 Obliczyć podane całki:
R
0} o początku −i i końcu i;
a) C z2dz+1 dz, gdzie C- okrąg |z| = 2 zorientowany
R
l) C ez̄ dz, C-łamana o wierzchołkach kolejno:0, π2 , dodatnio;
R
π
b) C (iz+3i)dz
2 (1 − i);
z(z−3) dz, gdzie C- dowolna kawałkami gładR
2
m) C (z − z̄) dz, C- łuk paraboli y = x o początku ka, zorientowana dodatnio krzywa Jordana mająca
1 + i i końcu 0;
punkty 0 i 3 w swoim wnętrzu ;
R
2
n) C z̄<e z dz, C- ćwiartka okręgu {z ∈ C; |z| =
R
iz
2, <e z ≥ 0, =m z ≥ 0} o początku 2i i końcu 2;
Zadanie 5 Obliczyć całkę C z2e−π2 dz, gdzie C
R
g) C z̄=m (z 2 ) dz, gdzie C jest półokręgiem |z| = 3 jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w
o początku −3i i końcu 3i;
punkcie z0 i promieniu r, jeśli:
a) z0 = 0, r = 1;
Zadanie 2 Obliczyć podane całki:
R 1+i
a) 0 sin(2i − z) dz;
R0
b) π e2iz dz;
R 2πi
c) 0 2 z sin(iz) dz;
R 2i
2
d) i zeπz dz;
b) z0 = π, r = 1;
c) z0 = −π, r = 1;
d) z0 = 0, r = 4.
R
Obliczyć całkę C
1
(z 2 +1)2
dz, gdzie C jest dodatnio
zorientowanym okręgiem o środku w punkcie z0 i
1
2
R
sin z
C (z 2 −π 2 )2
dz, C- okrąg |z − 3| = 1 dodatnio zori-
promieniu r, jeśli:
l)
a) z0 = i, r < 2;
entowany;
R
ez
m) C z(z−πi)
3 dz, C- okrąg |z − πi| = 1 dodatnio
b) z0 = −i, r < 2;
c) z0 = i, r > 2;
zorientowany;
R
πz
o) C (z2e+4)2 dz, C- okrąg |z + 2i| = 1 dodatnio zori-
d) z0 = −i, r > 2.
e) z0 = 0, r = 3.
R
Obliczyć całkę C
entowany;
1
(z−1)3 (z+1)3
dz, gdzie C jest do-
datnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie
z0 i promieniu r, jeśli:
a) z0 = 1, r < 2;
b) z0 = −1, r < 2;
c) z0 = 1 lub z0 = −1, r > 2;
Zadanie 7 Oblicz całki:
R
a) C z42dz
+4z 2 , gdzie C jest okręgiem |z − i| = 2 zorientowanym dodatnio.
R cos(2iz)
b) C (z−πi)
3 dz, gdzie C jest okręgiem |z − πi| = 1
zorientowanym dodatnio.
R
c) C z̄(2z −3) dz, gdzie C jest okręgiem |z| = 2 zori-
entowanym dodatnio.
Zadanie 6 Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego
R
d) γ <e z dz, gdzie γ = [0, 1 + i],
lub jego uogólnienia obliczyć podane całki:
R
R
1
dz, C- okrąg |z − 3| = 1 dodatnio zori- e) γ <e z dz, gdzie γ = {z ∈ C : |z| = r}.
a) C z(z−3)
entowany;
R
2z
b) C z2e+π2 dz, C- okrąg |z + πi| = 2 ujemnie zori-
Zadanie 8 Wyznacz całkę
R
γ
|z| dz, gdzie γ jest
entowany;
a) odcinkiem o początku −i i końcem i,
R
z
ze
c) C (z−1)
b) lewym półokręgiem łączącym punkt −i z i,
3 dz, C-okrąg |z − 1| = 1 dodatnio zorientowany;
R
1
d) C (z2 +1)
4 dz, C-okrąg |z − i| = 1 dodatnio zorientowany;
R
πz
e) C (zcos
2 −4)2
c) prawym półokręgiem łączącym punkt −i z i.
Zadanie 9 Dokończ oszacowania:
Rb
a) | a f (t) dt| ≤ . . .,
R
dz, C-łamana zamknięta o wierzchołkach b) | γ f (z) dz| ≤ . . ..
1 − i, 3 − i, 2 + i dodatnio zorientowana;
R
1
f) C z2 (z+2i)
dz, C- okrąg |z +2i| = 1 dodatnio zori-
Zadanie 10 Wykaż, że funkcja f (z) = (z −z0 )−1 ,
entowany;
analityczna w obszarze D = {z ∈ C; |z − z0 | > 0},
R sin( π2 z)
g) C z2 −1 dz, C- okrąg |z − 1| = 1 dodatnio zori- nie ma w tym obszarze funkcji pierwotnej.
entowany;
R
πz
h) C (zze
2 +4)2 dz, C- okrąg |z +2i| = 2 dodatnio zori-
Zadanie 11 Wyznaczyć wszystkie możliwe całki
R
dz
,
C z(z 2 −1)
gdzie C jest krzywą regularną zamkniętą
entowany;
R
cos z
h) C z(z−π)
3 dz, C- okrąg |z − 3| = 1 dodatnio zori-
nie przechodzącą przez punkty 0, −1 i 1.
entowany;
R
ez
dz, C- okrąg |z − 3i| = 2 dodatnio zorii) C z(z−2i)
Zadanie 12 Obliczyć całkę funkcji
entowany;
R
2πz
j) C ze
z 1 +1 dz, C- łamana zamknięta o wierzchołkach
0, 1 + 2i, −1 + 2i dodatnio zorientowana;
R
1
k) C (z2 +9)
2 dz, C- okrąg |z −2i| = 2 dodatnio zorientowany;
f (z) =
m
X
k=1
n
X Bj
Ak
+
z − ak j=1 z − bj
po konturze C zawierającym punkty a1 , . . . , am wewnątrz,
a punkty b1 , . . . , bn na zewnątrz.