LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdan

Transkrypt

LOGIKA
Klasyczny Rachunek Zdań
Robert Trypuz
[email protected]
5 listopada 2013
Robert Trypuz ([email protected])
5 listopada 2013
1 / 24
PLAN WYKŁADU
1
Alfabet i formuła KRZ
2
Zrozumieć KRZ
3
Wartościowanie i prawo logiki
4
Ćwiczenia
Tautologie
Wynikanie logiczne
Wariacje z powtórzeniami
Spełnialność
Konsekwencja semantuczna
5
Źródła
5 listopada 2013
2 / 24
Określenie alfabetu i formuły KRZ (1/2)
Alfabet KRZ zawiera:
nieskończony zbiór zmiennych zdaniowych: p, q, r , ..., p1 , q1 , r1 , ..., p2 , q2 , r2 , ...
stałe: >, ⊥,
skończony zbiór funktorów prawdziwościowych: ¬, ∧, ∨, →, ≡,
nawiasy: (, ).
Niech ϕ, ψ będą zmiennymi metajęzykowymi reprezentującymi dowolne formuły
KRZ. Wówczas:
1
każde z wyrażeń >, ⊥, p, q, r , ..., p1 , q1 , r1 , ... jest formułą KRZ,
2
jeżeli ϕ jest formułą KRZ, to (¬ϕ) jest formułą KRZ,
3
jeżeli ϕ i ψ są formułami KRZ, to (ϕ → ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ ≡ ψ) są
formułami KRZ.
5 listopada 2013
3 / 24
Określenie alfabetu i formuły KRZ (2/2)
Umowa
W ciągu symboli: ¬, ∧, ∨, →, ≡ każdy symbol wiąże silniej niż symbole
występujące po nim.
Przykład
Dzięki umowie, poniższe dwie formuły oznaczają to samo wyrażenie:
(((¬p) ∧ q) → r )
¬p ∧ q → r
Przykłady poprawnych formuł KRZ:
r
(p → q) ∧ p → q
¬(p ∧ ¬s)
p ∨ ¬p
(p → q) → ((q → r ) → (p → r ))
5 listopada 2013
4 / 24
Zrozumieć KRZ
Zrozumieć język KRZ przez prawidłowe odczytanie formuł
¬ — nie jest tak, że . . . (negacja)
∧ — ... i ... (koniunkcja)
∨ — . . . lub . . . (alternatywa)
→ — jeżeli . . . , to . . . (implikacja)
≡ — . . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . (równoważność)
5 listopada 2013
5 / 24
Zrozumieć KRZ
Zrozumieć język KRZ przez odwołanie do języka polskiego
Nie jest tak, że słońce
{zświeci} .
|
{z
}|
p
¬
Świeci
i nie (jest tak, że) pada deszcz .
|
{zsłońce} |{z}
{z
}
{z
}|
|
∧
p
q
¬
Jeżeli pada deszcz, |{z}
to szosa jest mokra .
|
{z
}
|
{z
}
p
→
q
lub zabiorę cię na zakupy .
Pójdziemy do kina |{z}
{z
}
|
{z
}
|
p
∨
q
Spostrzeżenie
Zmienne zdaniowe reprezentują zdania. Możesz traktować je jako „puste miejsca”,
które wypełnia się konkretnymi, potencjalnie wieloma, zdaniami.
5 listopada 2013
6 / 24
Zrozumieć KRZ
Zrozumieć język KRZ przez interpretację formuł
Klasyczna definicja prawdziwości zdania (Arystoteles)
Zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest tak jak ono głosi, tj. gdy
istnieje zgodność treści (sensu) tego zdania ze stanem rzeczy, który ono opisuje.
Zasada dwuwartościowości
Każde zdanie jest albo prawdziwe albo fałszywe; nie ma trzeciej możliwości (tac.
tertium non datur).
Umowa
Prawdziwość i fałszywość będziemy nazywać wartościami logicznymi. Prawdziwość
zdania będziemy oznaczać cyfrą 1, zaś fałszywość cyfrą 0.
p
1
0
5 listopada 2013
7 / 24
Zrozumieć KRZ
Zrozumieć język KRZ przez interpretację formuł
p
1
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
¬p
0
1
p∨q
1
1
1
0
p→q
1
0
1
1
p≡q
1
0
0
1
Spostrzeżenie
Wartość logiczna formuły zbudowanej za pomocą funktorów prawdziwościowych
¬, ∧, ∨, →, ≡ zależy tylko od wartości logicznej ich argumentów. Na przykład
wartość logiczna wyrażenia p → q zależy tylko od wartości logicznej p i q.
5 listopada 2013
8 / 24
Wartościowanie zdaniowe
Wartościowanie zdaniowe
Wartościowanie zdaniowe (krótko: wartościowanie) jest dowolną funkcją v , która
zmiennym zdaniowym (tj. p, q, r , . . . ) przyporządkowuje wartości logiczne (tj. 1
lub 0).
Rysunek : Przykład wartościowania dla czterech zmiennych zdaniowych.
Ćwiczenie
Ile jest wszystkich możliwych wartościowań dla czterech zmiennych z rysunku? Ile
jest wszystkich możliwych wartościowań dla n zmiennych? Odpowiedź uzasadnij.
5 listopada 2013
9 / 24
Wartościowanie formuły
Wartościowanie formuły
Wartościowanie formuły ϕ przy wartościowaniu v oznaczamy hv (ϕ) i definiujemy
indukcyjnie w następujący sposób:
hv (>) = 1 i hv (⊥) = 0,
hv (p) = v (p), dla każdej zmiennej zdaniowej p,
hv (¬ϕ) = 1 − hv (ϕ)
hv (ϕ ∧ ψ) = min{hv (ϕ), hv (ψ)}
hv (ϕ ∨ ψ) = max{hv (ϕ), hv (ψ)}
0 gdy hv (ϕ) = 1 i hv (ψ) = 0
v
h (ϕ → ψ) =
1 gdy w każdym innym przypadku
5 listopada 2013
10 / 24
Formuły spełnione
Spełnianie formuły
Jeżeli hv (ϕ) = 1, to mówimy, że formuła ϕ jest spełniona przez wartościowanie v i
oznaczamy v |= ϕ.
Spełnianie zbioru formuł
Jeżeli Γ jest zbiorem formuł oraz dla wszystkich ϕ ∈ Γ, hv (ϕ) = 1, to mówimy, że
zbiór formuł Γ jest spełniony przez wartościowanie v i oznaczamy v |= Γ.
Konsekwencja semantyczna / wynikanie logiczne
Z wyrażenia ϕ wynika logicznie wyrażenie ψ (lub inaczej ψ jest konsekwencją
semantyczną ϕ), symbolicznie ϕ |= ψ, wtw dla każdego wartościowania v , jeżeli
v |= ϕ, to v |= ψ.
Konsekwencja semantyczna zbioru formuł
Przez Γ |= ϕ będziemy rozumieć, że ϕ jest semantyczną konsekwencją każdej
formuły ze zbioru Γ.
5 listopada 2013
11 / 24
Formuły spełnialne i tautologie
Spełnialność formuły
Formuła ϕ jest spełnialna, gdy dla pewnego wartościowania v , v |= ϕ.
Spełnialność zbioru formuł
Zbiór formuł Γ jest spełnialny, gdy dla pewnego wartościowania v , v |= Γ.
Tautologia
Formuła ϕ jest tautologią, gdy dla każdego wartościowania v , v |= ϕ. Piszemy
wówczas |= ϕ.
5 listopada 2013
12 / 24
Formuły spełnialne i tautologie
Uwaga 1
Z wyrażenia ϕ wynika logicznie wyrażenie ψ (symbolicznie ϕ |= ψ) wtw wyrażenie
ϕ → ψ jest tautologią.
Uwaga 2
Z zbioru wyrażeń Γ = {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , . . . , ϕn } wynika logicznie wyrażenie ψ lub
inaczej mówiąc ψ jest konsekwencją (semantyczną) Γ, symbolicznie Γ |= ψ, wtw
wyrażenie ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ ϕ3 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ jest tautologią.
5 listopada 2013
13 / 24
Wartościowanie w tabelce
Spostrzeżenie
Dla formuły zawierającego n różnych zmiennych zdaniowych istnieje 2n różnych
wartościowań, tj. sposobów przyporządkowania im (tj. zmiennym zdaniowym)
wartości 1 lub 0. Każde wartościowanie będzie jednym wierszem tabeli.
p
1
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p→q
1
0
1
1
¬p
0
1
p ∨ ¬p
1
1
(p → q) ∧ p
1
0
0
0
(p → q) ∧ p → q
1
1
1
1
Tautologia
Tautologią jest formuła, która przyjmuje wartość 1 dla każdego układu wartości 1
i 0, tj. w każdym wierszu tabeli.
5 listopada 2013
14 / 24
Ćwiczenia
Ćwiczenia
5 listopada 2013
15 / 24
Ćwiczenia
Tautologie
Ćwiczenie 1a
Wykaż, że poniższe formuły są tautologiami.
1
p→p
2
p≡p
3
p∧p →p
4
p∨p →p
5
p ∨ ¬p
6
¬(p ∧ ¬p)
7
(p → q) → ((q → r ) → (p → r ))
8
(p ∨ q) → (¬q → p)
9
(¬¬p → p)
10
(p → ¬¬p)
11
(p ≡ ¬¬p)
12
(p → q) ∧ (r → s) → (p ∧ r → q ∧ s)
5 listopada 2013
16 / 24
Ćwiczenia
Tautologie
Ćwiczenie 1b
1
2
(p → q ∧ r ) → (p → q) ∧ (p → r )
(p ∨ q → r ) → (p → r ) ∧ (q → r )
3
(p → ¬p) → ¬p
4
(p → q ∧ ¬q) → ¬p
5
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
6
p ∧ ¬p → q
7
¬(p ∧ q) ≡ p → ¬q
8
(p → q) ∧ (r → s) → (p ∨ r → q ∨ s)
9
(p → r ) ∧ (q → r ) ∧ (p ∨ q) → r
10
(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r ) → (q ∨ s)
11
(p → q) ∧ (r → s) ∧ ¬(q ∨ s) → ¬(p ∨ r )
12
(p ≡ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)
13
q → (p → q)
5 listopada 2013
17 / 24
Ćwiczenia
Tautologie
Ćwiczenie 1c
1
p ∧ q → r ≡ p ∧ ¬r → ¬q
2
(p → q) ∧ ¬q → ¬p
3
(p → q) ≡ (¬q → ¬p)
4
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
5
p → q ≡ ¬p ∨ q
6
p ∧ q → r ≡ p → (q → r )
7
(p → q) ∧ (q → r ) → r )
8
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
9
p → q ≡ ¬p ∨ q
10
p ∧ q → r ≡ p → (q → r )
11
(p → q) ∧ (q → r ) → (p → r )
12
⊥→p
p ∨ ⊥ ≡ p, p ∧ > ≡ p
13
5 listopada 2013
18 / 24
Ćwiczenia
Wynikanie logiczne
Ćwiczenie 2
Równoważność semantyczna
Powiemy, że formuły ϕ i ψ są równoważne semantycznie wtw ϕ |= ψ i ψ |= ϕ.
Wykaż, że równoważne parami są formuły:
1
¬ϕ i ϕ → ⊥
2
> i ¬⊥
3
ϕ ∧ ψ i ¬(ϕ → ¬ψ)
4
ϕ ∨ ψ i ¬ϕ → ψ
5 listopada 2013
19 / 24
Ćwiczenia
Wariacje z powtórzeniami
Ćwiczenie 3
Definicja
n-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru Y złożonego z m różnych elementów
nazywamy każdą funkcję f odwzorowującą zbiór X złożony z n różnych
elementów w zbiór Y .
Twierdzenie
Liczna n-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru Y złożonego z m różnych
elementów jest równa mn .
1
Ile jest możliwych wyników dwukrotnego i pięciokrotnego rzutu monetą?
2
Ile jest możliwych wyników czterokrotnego rzutu sześcienną kostką?
3
W urnie jest 10 kul ponumerowanych od 1 do 10. Losujemy kulę, zapisujemy
jej numer i ponownie wrzucamy ją do urny. Czynność tą powtarzamy 3 razy
zapisując numery wylosowanych kul w kolejności losowania. Ile różnych
wyników możemy w ten sposób uzyskać?
5 listopada 2013
20 / 24
Ćwiczenia
Spełnialność
Ćwiczenie 4
Czy następujące zbiory formuł są spełnialne?
1
{p → ¬q, q → ¬r , r → ¬p}
2
{p → q, q → r , r ∨ s ≡ ¬q}
3
{¬(¬q ∨ p), p ∨ ¬r , q → ¬r }
4
{s → q, p ∨ ¬q, ¬(s ∧ p), s}
5 listopada 2013
21 / 24
Ćwiczenia
Konsekwencja semantyczna
Ćwiczenie 5
Czy zachodzą następują konsekwencje?
1
{p ∧ q → ¬r , p} |= r → ¬q
2
{p → q, p → (q → r )} |= p → r
3
{p → (q → r ), p → q} |= q → r
{(p → q) → r , ¬p} |= r
4
5
{(p → q) → r , ¬r } |= p
6
{p → q, r → ¬q} |= r → ¬p
5 listopada 2013
22 / 24
Źródła
Źródła
5 listopada 2013
23 / 24
Źródła
Źródła
1
L. Borkowski, Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości. Lublin 1999.
5 listopada 2013
24 / 24

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdan

Transkrypt

Podobne dokumenty

paintball - Hotel Fajkier

LOGIKA Błedy jezykowe zwiazane ze słownym

Wniosek stypendialny - Towarzystwo Przyjaciół KUL

Klasycznego Rachunku Zdań

Rachunek zdań

Baseny do kul wodnych Producent : basen do kul wodnych

PROGRAM KONFERENCJI 20 kwietnia 2013 roku 15.00 Otwarcie