Wykład 6
Transkrypt
Wykład 6
Matematyka I WYKŁAD 6 . Wyznacznik macierzy: definicja indukcyjna i permutacyjna. Własności wyznaczników, rozwinięcie Laplace'a, wzór Sarrusa. Macierz odwrotna i sposoby jej wyznaczania. GENEZA WYZNACZNIKA Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 a12 b12 0, a22 b22 0 Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa Mnożymy pierwsze równanie przez b2 Mnożymy drugie równanie przez b1 Dodajemy równania stronami. Stąd a1b2 a2b1 x c1b2 c2b1 Podobnie a1b2 a2b1 y a1c2 a2 c1 Rozwiązanie układu równań jest postaci x c1b2 c 2 b1 , a1b2 a 2 b1 y a1c 2 a 2 c1 a1b2 a 2 b1 przy założeniu a1b2 a2b1 0 a Macierz układu równań 1 a 2 b1 cb c b ; x 1 2 2 1 , b2 a1b2 a2b1 y a1c2 a2c1 a1b2 a2b1 Definicja Wyznacznikiem macierzy głównej układu równań nazywamy wyrażenie postaci: a1b2 a2b1 /wyznacznik drugiego stopnia/ c1b2 c2b1 c1 c2 b1 , b2 a1 a2 b1 a1b2 a2b1 ; b2 a1c2 a2 c1 a1 a2 c1 , c2 c1 b1 c b x 2 2 , a1 b1 a2 b2 y a1 a2 c1 c2 a1 a2 b1 b2 1/13 Matematyka I Przykład Obliczyć wyznacznik 5 3 = 20 - (-6) = 26 2 4 Macierz kwadratowa wymiary n n a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A= an1 an 2 ann Pierre Simon de Laplace - członek Instytutu Narodowego we Francji. Bonaparte mianował go ministrem spraw wewnętrznych. Po sześciu tygodniach odwołano go za niekompetencje. Indukcyjna definicja wyznacznika względem ilości wierszy n – rozwinięcie Laplace’a względem pierwszego wiersza Niech A oznacza macierz kwadratową wymiaru n Krok 1. Dla n=1, n detA = a Krok 2. Założenie: mamy zdefiniowany wyznacznik macierzy A wymiaru n n Definiujemy wyznacznik macierzy A wymiaru (n+1) a11 a 21 an 1,1 (n+1) a12 a1n a1, n 1 a22 a2 n a2, n 2 an 1, 2 ann an 1, n 1 dla i = 1, 2, ..., n+1: Wykreślamy z macierzy A wiersz 1 i kolumnę i Dla pozostałej macierzy A1i obliczamy det A 1i Tworzymy sumę S 1 a11 det A1,1 1 a12 det A1, 2 ... 11 1 2 1 a1,i det A1,i ... 1 1 i 1 n 1 Przyjmujemy a1, n 1 det A1, n 1 Det A = S 2/13 Matematyka I Wyznacznik liczbowej macierzy kwadratowej oznaczamy symbolem a11 a12 an1 an 2 a1n ann Przykład Obliczyć wyznacznik macierzy 2 1 3 1 3 4 2 1 3 detA = 1 11 1 1 3 4 4 3 1 1 2 + 1 2 det 3 det 1 3 2 3 1 3 1 det 2 1 3((3) (3) 4 1) 2 (1 (3) 2 4) 1 (11 (3) 2) = 15 + 22 + 7 = 44 Definicja Iloczynem liczby i wiersza (kolumny) nazywamy ciąg, którego każdy element jest iloczynem tej liczby i odpowiedniego elementu mnożonego wiersza (kolumny). Iloczynem liczby i wiersza a11,a12 , a13 jest ciąg a11, a12 , a13 Dwa wiersze (kolumny) nazywamy proporcjonalnymi, jeżeli jeden powstaje z drugiego w wyniku pomnożenia przez określoną liczbę. 1 2 3 2 4 6 0 0 0 a) Wiersze 1, 2, 3 i 2, 4, 6 są proporcjonalne ( = 2) 3/13 Matematyka I b) Wiersze 1, 2, 3 i 0, 0, 0 są proporcjonalne (= 0) Sumą dwóch wierszy (kolumn) nazywamy ciąg złożony z elementów, będących sumami odpowiadających sobie elementów tych dwóch wierszy (kolumn) z zachowaniem ich porządku. Sumą wierszy (a11, a12, a13) i (a 21 , a22, a23) jest ciąg (a11 a21, a12 a22, a13 a23) Przykład Dane są macierze 1 3 1 A 0 2 5 2 3 3 1 5 6 B 1 2 0 4 8 11 (1,5,6) B (1,3,1) A (0,2,5) A (4,8,11) B 1 (0,2,5) A 2 (2,3,3) A Kombinacją liniową dwóch wierszy (kolumn) macierzy nazywamy ciąg, którego elementy są kombinacjami liniowymi odpowiednich elementów rozpatrywanych wierszy (kolumn). Liczba a jest kombinacją liczbową liczb b i c jeżeli istnieją takie liczby i , że a = b c Twierdzenie – własności wyznaczników Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi macierzy względem jej transponowanej det A det AT a b a c ad bc c d b d Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy jest równoważne pomnożeniu wyznacznika przez –1 a b b a ad bc (bc ad ) c d d c 4/13 Matematyka I Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych kolumnach jest równy 0 a b ab ab 0 a b Wyznacznik macierzy mającej wiersz (kolumnę) zerową jest równy 0 a b a0 b0 0 0 0 Mnożąc wiersz (kolumnę) macierzy przez liczbę mnożymy wyznacznik tej macierzy przez tę liczbę. a b c d a b c d Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy 0. a b a b a b 0 0 a b Wyznacznik możemy przedstawić w postaci sumy dwóch wyznaczników w postaci a11 b11 a12 b12 c21 c22 cn1 cn 2 a1n b1n a11 a12 c2 n c c = 21 22 cnn cn1 cn 2 a1n b11 b12 c2 n c c + 21 22 cnn cn1 cn 2 b1n c2 n cnn Przykład 3 2 0 2 3 2 2 5 2 5 0 5 Jeżeli w macierzy jeden z wierszy (lub jedna z kolumn) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (lub kolumn), to wyznacznik tej macierzy jest równy 0. a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 b1 a1 b1 a1 a1 b1 b1 a2 b2 a2 b2 a2 a2 b2 b2 a3 b3 a3 b3 a3 a3 b3 b3 5/13 Matematyka I Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, jeżeli do wiersza (lub kolumny) macierzy dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (lub kolumn). a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 a1 c2 a2 c3 a3 b1 b2 b3 c1 a1 c2 a2 c3 a3 b1 b2 b3 a1 b1 a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 a3 b3 c3 a3 b3 Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy 0 to jej wiersze (kolumny) są liniowo zależne. a11 a12 Jeżeli a21 a22 a31 a32 a13 a23 0 , to istnieją takie trzy liczby a33 , , nie równe jednocześnie 0 dla których a11 a21 a31 0 a12 a22 a32 0 a13 a23 a33 0 Inaczej: wśród wierszy (kolumn) macierzy o wyznaczniku zerowym istnieje taki wiersz lub kolumna, który jest liniowo zależny od pozostałych wierszy (kolumn). Przykład 1 2 0, 2 4 drugi wiersz powstaje z pierwszego wiersza w wyniku pomnożenia przez 2 1 2 3 4 5 6 0, 7 8 9 trzeci wiersz jest równy podwojonemu drugiemu wierszowi pomniejszonemu o wiersz pierwszy. Metody obliczania wyznaczników Rozwinięcie względem wiersza lub kolumny Twierdzenie Wyznacznik macierzy A można rozwijać względem dowolnej z jego kolumn ( zatem również względem dowolnego wiersza) 6/13 Matematyka I det A (1)1 j a1 j det A1, j ... (1) n j anj det An, j a11 a 21 an 1,1 a12 a1n a22 a2 n an 1, 2 ann Przykład 9 2 3 1 1 4 1 4 1 4 1 1 9 2 3 1 2 4 2 4 1 4 1 2 9(2 1) 2(8 4) 3(4 4) 9 8 1 Metoda Sarrusa a11 a12 a21 a22 a31 a23 a32 a11 a12 a21 a13 a11a22a33 a21a32a13 a31a12a23 (a13a22a31 a23a32a11 a33a12a21) a33 a13 a22 a23 Przykład 1 0 2 1 3 6 4 5 2 0 0 1 (2 3 0 1 5 1 6 0 4) 4 3 1 18 40 5 53 0 5 6 1 0 2 4 3 1 7/13 Matematyka I Metoda permutacyjna – permutacyjna definicja wyznacznika Przypomnienie: Permutacja zbioru n – elementowego: ciąg złożony z n – elementów Ilość permutacji zbioru n – elementowego: n! Permutacja parzysta – parzysta ilość inwersji. Permutacja nieparzysta - nieparzysta ilość inwersji Znak permutacji - 1 permutacja nieparzysta 1 permutacja parzysta Przykład Zbiór A – {1, 2, 3, 4, 5} Permutacje zbioru A, np. (2, 3, 4, 5, 1) Ilość inwersji= 4 permutacja parzysta znak permutacji wynosi 1 Twierdzenie Dla macierzy A = aij n n mamy det A (sgn ) a1 (1) a2 ( 2) an ( n ) , gdzie przebiega wszystkie permutacje na zbiorze {1, 2, ...,n} Obliczanie wyznacznika macierzy metodą permutacyjną (dla macierzy 3 x 3) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Wypisujemy wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3} (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (3, 2, 1) (2, 3, 1) (3, 1, 2) 8/13 Matematyka I Tworzymy iloczyny współczynników macierzy w następujący sposób Permutacja wyjściowa Permutacja obliczona Znak permutacji 1, 2, 3 1, 2, 3 Iloczyn współczynników 1 a11a22a33 1, 3, 2 -1 a 11a 23 a32 2, 1, 3 -1 a12a21a33 3, 2, 1 -1 a13a22a31 2, 3, 1 1 a12a23a31 3, 1, 2 1 a13a21a32 Dodajemy utworzone iloczyny, które przepisujemy ze znakiem „+” dla permutacji parzystej, ze znakiem „-” dla permutacji nieparzystej det A = a11a22a33 - a 11a 23 a32 - a12a21a33 - a13a22a31 +…+ a12a23a31 + a13a21a32 1 3 4 0 2 1 Przykład Obliczyć wyznacznik macierzy metodą permutacyjną 3 5 0 a11a22a33 1 2 0 0 permutacja parzysta a11a23a32 11 (5) 5 permutacja nieparzysta a12a21a33 3 0 0 0 permutacja nieparzysta a13a22a31 4 2 3 24 permutacja nieparzysta a12a23a31 3 1 3 9 permutacja parzysta a13a21a32 4 0 (5) 0 permutacja parzysta detA= 0 (1) 5 (1) 0 (1) 24 9 0 20 9/13 Matematyka I 1 3 4 0 3 2 1 5 0 1 0 3 4 2 1 Metoda Sarrusa (1) 2 0 0 (5) 4 3 3 1 3 2 4 1 (5) (1) 0 3 0 20 Rząd macierzy A – macierz wymiaru m n a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A= am1 an 2 amn Definicja Macierz częściowa, podmacierz macierzy A – macierz kwadratowa, którą możemy uzyskać z macierzy A w wyniku skreślenia w niej pewnej liczby wierszy lub kolumn. Np. podmacierzą macierzy A jest macierz a11 a12 a 21 a22 Podwyznacznikiem danego wyznacznika nazywamy każdy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z danej macierzy pewną liczbę wierszy i tę samą liczbę kolumn, zachowując kolejność pozostałych elementów. Minorem wyznacznika przynależnym do elementu aik macierzy A nazywamy podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy wiersz oraz kolumnę, na przecięciu których znajduje się ten element. Np. w wyznaczniku drugiego stopnia a11 a12 =a a a a a21 a22 11 22 12 21 10/13 Matematyka I minorem przynależnym do elementu a 11 jest a22 a22 Dopełnieniem algebraicznym Aik elementu aik wyznacznika nazywamy iloczyn minora tego wyznacznika przynależnego do elementu aik oraz czynnika (1)i k Np. dla macierzy trzeciego stopnia a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 dopełnienia algebraiczne są postaci A23 (1)2 3 a11 a12 a11a32 a12a31 a31 a32 A33 (1)3 3 a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22 Macierz osobliwa – macierz kwadratowa, której wyznacznik jest równy 0. Macierz nieosobliwa – macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od 0. Definicja Rzędem macierzy A o wymiarze m n nazywamy: 1. Liczbę R równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest niezerowa; 2. Liczbę 0, gdy macierz jest zerowa. Rząd macierzy spełnia nierówność 0 R min( m, n) Np. dla macierzy 1 3 A= 0 5 0 5 2 1 4 1 6 7 7 3 3 2 2 8 5 2 0 rzA min( 4,5) 4 Obliczanie rzA Liczymy wyznaczniki podmacierzy macierzy A wymiaru 4 x 4. Jeżeli istnieje taka podmacierz, której wyznacznik jest różny od 0, to rzA = 4, w p.p. liczymy wyznaczniki podmacierzy macierzy A wymiaru 3 x 3. 11/13 Matematyka I Jeżeli istnieje taka podmacierz wymiaru 3 x 3, której wyznacznik jest różny od 0, to rzA = 3, w p.p. liczymy wyznaczniki podmacierzy macierzy A wymiaru 2 x2 Jeżeli istnieje taka podmacierz wymiaru 2 x 2, której wyznacznik jest różny od 0, to rzA = 2, itd. Przykład Obliczyć rząd macierzy 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 Obliczmy wyznacznik macierzy A (np. metodą permutacyjną) det A 1 5 9 1 6 8 2 4 9 3 5 7 2 6 7 3 4 8 0 Wybieramy dowolną podmacierz wymiary 2 2 macierzy A i liczymy jej wyznacznik 1 2 5 8 3 0 4 5 stąd rząd macierzy A, rzA=2 Odwracanie macierzy Definicja Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A1 , taką, że A1 A A A1 I Twierdzenie Macierz odwracalna (tzn. taka, do której istnieje macierz odwrotna) jest macierzą nieosobliwą. Macierz odwrotna A1 do macierzy nieosobliwej A jest nieosobliwa. Wyznacznik macierzy odwrotnej A1 jest równy odwrotności wyznacznika macierzy odwracanej A. 12/13 Matematyka I Definicja Macierzą dołączoną AD macierzy kwadratowej A nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A. AD Aij T Macierz odwrotna jest wyrażona wzorem AD A A 1 Przykład Obliczyć macierz odwrotną do macierzy 1 1 3 2 1 A= 4 2 1 1 Obliczamy wyznacznik macierzy 1 1 3 2 1 = 1 0 det 4 2 1 1 Obliczmy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A A11 2 1 1, 1 1 1 1 0 , itd. 1 1 Tworzymy macierz dopełnień algebraicznych 1 2 0 Aij 0 1 1 1 1 2 A21 Obliczamy 1 0 1 AD 2 1 1 0 1 2 1 0 1 AD A = 2 1 1 A 0 1 2 1 13/13