WYBRANE METODY BADANIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV
Transkrypt
WYBRANE METODY BADANIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV
ELEKTRYKA Zeszyt 1 (233) 2015 Rok LXI Anna PIWOWAR Politechnika Śląska w Gliwicach WYBRANE METODY BADANIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV Streszczenie. W artykule przeprowadzono analizę stabilności filtrów parametrycznych pierwszego rzędu z nieokresowo zmiennym parametrem. Wyznaczono obszary stabilności układów parametrycznych posługując się metodami badania e-stabilności oraz stabilności krótkoczasowej. Wykazano, że rozpatrywane modele filtrów należą do układów typu frozen time. Wykorzystując metodę uogólnionych wartości własnych wykazano również, że jeśli funkcje parametryzujące są ściśle dodatnie, to rozpatrywane klasy filtrów LTV są zawsze BIBO-stabilne. Słowa kluczowe: układy parametryczne, LTV, stabilność, e-stabilność, stabilność krótkoczasowa, układy typu frozen time SELECTED STABILITY EXAMINATION METHODS OF LTV SYSTEMS Summary. In this article the stability analysis of first order parametric filters with time variable coefficient has been carried out. The stability areas of LTV systems have been determined using e-stability examination and short-time stability methods. Using the generalized eigenvalues method it has also been shown that if the parametric functions are strictly positive the considered LTV filters are BIBO stable. Keywords: parametric systems, LTV, stability, e-stability, short-time stability, frozen system 1. WPROWADZENIE Metody badania stabilności rozwiązań stacjonarnych układów liniowych (nazywanych w skrócie LTI – ang. linear time invariant), opisanych równaniami stanu: y ' (t ) Ay (t ) x(t ) , (1) gdzie: y(t)– wektor odpowiedzi układu, x(t) – wektor wymuszeń, A – stała macierz stanu, są dobrze znane w teorii równań różniczkowych [14]. Metody badania stabilności takich układów są efektywnie stosowane przy projektowaniu układów sterowania, a także układów 58 A. Piwowar elektrycznych i elektronicznych. Innym ważnym zagadnieniem w teorii układów liniowych jest badanie ograniczoności rozwiązań równań stanu (1), opisujących te układy. Układ nazywamy stabilnym w sensie BIBO (ang. bounded input bounded output) (lub nierezonansowym), jeśli niezależnie od przyjętych warunków początkowych i dla każdego ograniczonego wektora wymuszeń x(t ) xi (t ) K1 R , (2) y (t ) yi (t ) K 2 R , (3) y ' (t ) A (t ) y (t ) x(t ) , (4) m wektor odpowiedzi układu i 1 n i 1 jest ograniczony [1], przy czym K1, K2 są to dowolne stałe należące do zbioru R+. Dla układów LTI definicje stabilności w sensie Lapunova [6] i w sensie BIBO [5] są w pełni równoważne. W układach liniowych ze zmiennymi parametrami LTV (ang. linear time varying) nazywanych również układami parametrycznymi i opisanych równaniami stanu (4) [1, 9]: gdzie: y(t) – wektor odpowiedzi, x(t) – wektor wymuszeń, A(t) – macierz stanu, której wyrazy są zmienne w czasie, powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe [1]. W artykule omówiono wybrane i wykorzystywane w badaniach nad układami o zmiennych w czasie parametrach metody wyznaczania warunków stabilności tych układów. Istnieje wiele różnych i na ogół nierównoważnych definicji stabilności i metod wyznaczania obszarów stabilności układów parametrycznych LTV [1, 2, 3, 6]. Stabilność układów w sensie BIBO jest jedną z częściej stosowanych definicji stabilności [1]. Na ogół różne kryteria stabilności podają tylko warunki wystarczające stabilności, a wyznaczone na ich podstawie obszary stabilności układów mogą być różne. W artykule przedstawiono wybrane metody badania BIBO-stabilności układów klasy LTV. W dalszej części artykułu analizie stabilności poddany został dolnoprzepustowy filtr parametryczny pierwszego rzędu, przedstawiony na rysunku 1a, opisany równaniem [9]: y ' (t ) (t ) y (t ) x (t ) , gdzie: x(t), y(t) – sygnały wejściowy i wyjściowy sekcji, (t) – funkcja parametryzująca sekcji. (5) Wybrane metody badania stabilności... 59 W pracy rozważane są układy LTV o uzmiennionych współczynnikach tylko lewej strony równania różniczkowego (5). Dla ułatwienia analizy prawa strona równania – sygnał x(t) jest traktowany jako wymuszenie zastępcze równe x(t)=x1(t)g. Przy czym x1(t) to sygnał wymuszenia podanego na wejście sekcji, a g – stały współczynnik wzmocnienia układu, który dla układów pierwszego rzędu równy jest co do wartości pulsacji granicznej. W artykule przyjmuje się, że funkcje parametryzujące (t) należą do klasy funkcji nieokresowych, opisanych przez sumę składowej stałej i funkcji o skończonej energii. Funkcje takie można aproksymować z dowolną dokładnością uogólnionymi szeregami Fouriera z bazą funkcji eksponencjalnych [7]. Nieokresową zmienność parametru (t) można zatem wyrazić jako [9]: przy czym: (t ) g Ck e t , g 0, Ck R, k R , n k 1 k (6) g – wartość graniczna (ustalona) funkcji parametryzującej (t) dla t→∞, k – współczynniki odpowiadające za szybkość osiągania wartości granicznej (ustalonej) funkcji (t), Ck – współczynniki odpowiadające za wartość początkową funkcji (t) dla t=0. Przykładowe wykresy nieokresowych funkcji (t) (6) pokazano na rysunku 1b. Rys. 1. Dolnoprzepustowy filtr LTV pierwszego rzędu: a) model układu, b) przykładowe przebiegi zmiennej pulsacji granicznej Fig. 1. First order low-pass LTV filter: a) model of a system, b) examples of the waveforms of variable cut-off angular frequency Dla przyjętych założeń (por. wzory (6)) funkcje parametryzujące spełniają warunek: lim (t ) g 0 . t (7) Jeżeli powyższy warunek jest spełniony i rozpatrywane sekcje parametryczne są stabilne, to po dostatecznie długim czasie sekcje LTV są równoważne stacjonarnym sekcjom 60 A. Piwowar dolnoprzepustowym o pulsacji granicznej g. Sekcje te stają się wtedy klasycznymi filtrami dolnoprzepustowymi LTI. Sekcję LTV opisaną wzorem (5) interpretować można jako parametryczną sekcję dolnoprzepustową o zmiennej w czasie pulsacji granicznej (t) lub sekcję dolnoprzepustową o parametrach przestrajanych zewnętrznym sygnałem (t). 2. E-STABILNOŚĆ UKŁADÓW LTV Szczególną klasę układów opisywanych równaniem (4) stanowią układy e-stabilne (eksponencjalnie stabilne) [1]. Układ jednorodny (8) (odpowiadający równaniu układu LTV (2)) y ' (t ) A (t ) y (t ) , (8) jest eksponencjalnie stabilny, jeżeli macierz A(t) zawiera elementy będące dla t <0,∞) funkcjami ciągłymi, a rozwiązanie x(t) układu równań (8) spełniają warunek [1]: ~y (t ) b y (0) e at , a, b R , t 0, ) , (9) gdzie a, b – dowolne stałe należące do zbioru R+. Można wykazać [1], że z eksponencjalnej stabilności układu jednorodnego (9) wynika stabilność w sensie BIBO układu niejednorodnego (4). Metoda ta została zastosowana do rozpatrzenia stabilności parametrycznego układu pierwszego rzędu (rys.1). Rozwiązanie równania jednorodnego odpowiadającego równaniu (5) z parametrem (t) określonym wzorem (6) wyrazić można w następującej postaci [9]: y (t ) y0e 0 t e kk e k t 1 n k 1 C , analizując równanie (10), można zauważyć, że zachodzi oszacowanie [10]: kk ekt 1 e n k 1 C e n k 1 Ck k e 1 kt e n k 1 Ck k e kt e Ck k ek , n k 1 Ck (10) (11) stąd ze wzoru (11) (patrz także wzór (9)) wynika stabilność w sensie BIBO rozpatrywanego układu. Układy parametryczne pierwszego rzędu nie będą eksponencjalnie stabilne tylko w przypadku, gdy wartość ustalona funkcji parametryzującej jest mniejsza od zera. Warunkiem dostatecznym stabilności jest warunek (7). Na uwagę zasługuje fakt, że z punktu widzenia stabilności układów nie ma znaczenia, że zmienne parametry równania różniczkowego są w pewnych przedziałach funkcjami przyjmującymi wartości ujemne. Z tego wynika, że filtr Wybrane metody badania stabilności... 61 dolnoprzepustowy we wszystkich przypadkach zmian parametru 1(t), 2(t), i 3(t), (por. rys. 1b) jest stabilny. 3. STABILNOŚĆ KRÓTKOCZASOWA UKŁADÓW LTV Pojęcie stabilności krótkoczasowej (ang. short time stability), wprowadzone pierwotnie przez G.V. Kamenkova [4] w 1953 roku jest stosowanie obecnie głównie w układach sterowania (np. [3, 4, 8]). W przybliżeniu stabilność krótkoczasową układów rozumieć można jako ich stabilność w sensie BIBO, zachodzącą w skończonym przedziale czasu [0,T]. Dla układów LTV opisywanych liniowymi równaniami stanu (4) wprowadza się trzy definicje stabilności krótkoczasowej [3]: względem warunków początkowych, opisanych wektorem y(t0), dla x(t)≡0, względem wymuszeń x(t), dla y(t0)≡0, względem wymuszeń i warunków początkowych. Najogólniejszą z nich jest definicja względem warunków początkowych, opisanych wektorem y(t0) dla wektora wymuszeń x(t)≡0. Według tej definicji układ (4) jest krótkoczasowo stabilny dla zadanych parametrów liczbowych i funkcyjnych ε0, εf (t), c(t), tR+, gdy z warunków: y (t 0 ) yi (t 0 ) 0 , n i 1 x(t ) xi (t ) f (t ) , (13) y (t ) xi (t ) c (t ) , (14) n wynika, że: (12) i 1 n i 1 w przedziale czasu [t0, t0+T] [3]. Praktyczne znaczenie krótkoczasowej stabilności polega na tym, że układ niestabilny w klasycznym sensie i wyłączony po upływie czasu T traktuje się jako stabilny. Oszacowania obszarów krótkoczasowej stabilności układów, tzn. obszarów parametrów 0, T,f(t), c(t), w których układy są stabilne, przeprowadza się z wykorzystaniem warunków wystarczających stabilności. Wymagają one znajomości macierzy stanu A(t) równania (4) lub innych, na ogół trudnych do wyznaczenia wielkości, takich jak: impulsowa funkcja przejścia układu, macierz rozwiązań fundamentalnych równania (4), funkcja Lapunowa itp. [1, 8, 13]. Przyjmuje się, że dalsze rozważania dotyczyć będą wyłącznie analizy stabilności z wykorzystaniem kryteriów wymagających znajomości macierzy A(t). Można wykazać [1], 62 A. Piwowar [3], że dla zadanych parametrów 0, T,f(t), c(t) warunki stabilności krótkoczasowej określają nierówności: gdzie: f1 ( 0 , f , t ) 0 exp M ( )d f ( ) exp M ( )d d c (t ) , (15) f 2 ( 0 , f , t ) 0 exp A( ) d f ( ) exp A( ) d d c (t ) , (16) t t t t0 t0 t t t t0 t0 t t t t0 t0 f 3 ( 0 , f , t ) 0 exp P ( )d f ( ) exp P ( ) d d c (t ) , M(t) – największa wartość własna macierzy uij u 12 A(t ) A (t ) , T ij P(t ) max ij uij (t ) (1 ij )uij (t ) , n i j 1 A(t ) (t) – symbol Kroneckera: a (t ) , n i , j 1 ij 1 gdy i j . 0 gdy i j ij (17) (18) (19) (20) (21) Należy zauważyć, że obszary stabilności wyznaczone na podstawie wzorów (15) - (17) są na ogół różne (w sensie inkluzji zbiorów), a wybór kryterium umożliwiającego wyznaczenie możliwie największego obszaru stabilności jest trudny [1], [11]. Wymienione kryteria zostały wykorzystane do wyznaczenia warunków stabilności krótkoczasowej dolnoprzepustowych filtrów LTV pierwszego rzędu. o pulsacji granicznej zmiennej nieokresowo, zgodnie ze wzorem (6). Rozpatrywane w artykule filtry LTV opisuje równanie różniczkowe (5), więc jednoelementowa stanu A(t) równa w tym przypadku macierzy [uij(t)] (por. wzór (18)) oraz wskaźnik P(t) (por. wzór (19)) wynoszą [11]: A(t ) [ uij (t )] P (t ) [ (t )] . (22) M (t ) . (23) Jedyna wartość własna M macierzy [uij(t)] wynosi: Norma macierzy stanu A(t): A(t ) a n i , j 1 ij (t ), gdy (t ) 0 (t ), gdy (t ) 0 . (24) Wybrane metody badania stabilności... 63 Dla założonych współczynników liczbowych i funkcyjnych: t0 0, y (0) 0 , x(0) f , y (t ) c(t ) c const , (25) t t t f1 ( 0 , f , t ) f3 ( 0 , f , t ) 0 exp ( )d f ( ) exp ( )d d c , t 0 t 0 (26) warunki stabilności krótkoczasowej określają wzory [11]: a) t t t f 2 ( 0 , f , t ) 0 exp A( ) d f ( ) exp A( ) d d c . t 0 t 0 t 0 dla 1(t) b) dla 2(t) c) (27) dla 3(t) Rys. 2. Obszary stabilności krótkoczasowej filtru LTV: a) z funkcją parametryzującą 1(t), b) z funkcją parametryzującą 2(t), c) z funkcją parametryzującą 3(t) Fig. 2. The short time-stability area of LTV filter: a) with parametric function 1(t), b) with parametric function 2(t), c) with parametric function 3(t) Jeżeli funkcja parametryzująca jest ściśle dodatnio określona, to powyższe warunki dają równoważne wyniki. Jeżeli funkcja parametryzująca nie jest ściśle dodatnio określona, to warunek (27) stanowi sumę całek liczonych względem funkcji –(t), lub (t), co wynika z zależności (24). Obszary stabilności układu opisanego wzorem (5) w przypadku różnych funkcji parametrycznych (por. rys.1b) wyznaczone na podstawie wzorów (26) i (27) przedstawiono na rysunku 2. Układy o zmiennych pulsacjach granicznych 2(t) i 3(t) są układami stabilnymi zarówno według kryteriów stabilności krótkoczasowej, jak i w sensie BIBO. Układ LTV o pulsacji granicznej zmiennej zgodnie z przebiegiem 1(t), mimo że jest stabilny w sensie BIBO, nie spełnia warunków stabilności krótkoczasowej. 4. BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV TYPU FROZEN TIME Bezpośrednie badanie e-stabilności wymaga konstrukcji oszacowania (9) rozwiązań fundamentalnych równań stanu. W przypadku sekcji parametrycznych pierwszego rzędu uzyskanie tych oszacowań nie jest trudne [10]. Dla sekcji parametrycznych drugiego rzędu konstrukcja oszacowań jest bardzo trudna, gdyż wymaga analizy złożonych wyrażeń zawierających funkcje Bessela i funkcje hipergeometryczne [9]. W takim przypadku badanie e-stabilności układów implikującej ich stabilność w sensie BIBO wygodnie jest 64 A. Piwowar przeprowadzać, wykorzystując pojęcie uogólnionych wartości własnych układów LTV z zamrożonymi współczynnikami (ang. frozen LTV systems) [2], [9]. Można wykazać, że [2] układ parametryczny opisany równaniem stanu (4) jest typu frozen time, gdy elementy macierzy stanu A(t) są funkcjami ciągłymi dla czasu t[0,∞) oraz spełnione są warunki: sup‖A(t)‖<∞ dla t≥0, sup‖A'(t)‖<∞ dla t≥0. Jeżeli uogólnione wartości własne i(t) [12], macierzy A(t) spełniają warunki: Re (t) 0 , i=1,2…, t 0 i (28) (29) (30) to układ LTV jest e-stabilny, czyli BIBO stabilny. Badany układ LTV pierwszego rzędu opisany jest równaniem (5), przebieg występującej w tym równaniu funkcji parametryzującej (t) określa wzór (6). Macierz stanu układu opisana jest jako [9]: ponieważ: A(t ) g Ck e k t , (31) sup (t ) g Ck , (32) n1 k 1 n1 t 0 k 1 sup ' (t ) t 0 n1 k 1 k Ck , (33) to układ opisany równaniem (6) jest układem typu frozen time. Jedyną uogólnioną wartość własną równania (6) w tym przypadku określa wzór: (t ) g Ck e t . n1 k 1 k (34) Jeżeli parametry g, Ck, ksą tak dobrane, że dla każdego t [0, ) , (t)<0, to badany układ (5) w tym przypadku jest również BIBO-stabilny. Ze wzoru (34) wynika, że współczynniki k nie wpływają na stabilność filtru, jeśli tylko k >0, jeżeli ponadto pozostałe współczynniki funkcji parametryzującej (6) spełniają dodatkowy warunek: C n1 k 1 k g , (35) czyli funkcja parametryzująca (7) jest ściśle dodatnio określona, to filtry opisane równaniem (6) z nieokresową funkcją parametryzującą są BIBO-stabilne. Zgodnie z powyższym, spośród badanych układów tylko filtr LTV z pulsacją graniczną 3(t) jest stabilny. Wybrane metody badania stabilności... 65 5. PODSUMOWANIE W ramach badań dotyczących analizy sekcji parametrycznych prowadzono prace dotyczące analizy stabilności tych sekcji różnymi metodami. Dla sekcji pierwszego rzędu wykorzystano bezpośrednią metodę badania e-stabilności. Wykazano, że sekcje takie mogą być stabilne, gdy funkcje parametryzujące w skończonych przedziałach przyjmują ujemne wartości. Podobne wyniki uzyskano analizując warunki tzw. stabilności krótkoczasowej sekcji LTV. Przy badaniu uogólnionych wartości własnych układów LTV typu frozen time uzyskuje się wyniki narzucające większe ograniczenia na przebieg zmienności funkcji parametryzujących i wymagające ich ściśle dodatniej określoności. Należy zwrócić uwagę na fakt, że metoda podaje tylko warunek wystarczający stabilności układów parametrycznych. BIBLIOGRAFIA 1. D’Angelo H.: Linear Time-Varying Systems. Analysis and Synthesis. Allyn and Bacon, Inc. Boston 1970. 2. Da Cunha J.: In stability Results for Slowly time varying dynamic systems on time scales. “J. Math And Appl.” 2007, No. 328, p. 1279-1289. 3. Davari A., Ramanathaiah, R.K.: Short-Time Stability Analysis of Time-Varying Systems. Proc. Symp. on System Theory, 20-22 March 1994, p. 302-304. 4. Dorato P., Weis S, L. , Infante, E.: Comment on Finite-Time Stability under Perturbing Forces and on Product Spaces. “IEEE Trans. on Automatic Control” 1967, Vol. 12, Issue 3, p. 340. 5. Kaczorek T.: Control and System Theory. PWN, Warszawa 1993. 6. Kaszyński R.: Stability of parametric, analog low-pass filter, IEEE Int. Conf. on Emerging Technologies and Factory Automation, 1999. Proceedings. ETFA '99. 1999 7th, Vol. 1, 18-21 Oct. 1999. p. 579-582. 7. Maurin K.: Analysis, Part I. PWN, Warszawa 1971. 8. Moulay E. Per ruquet t i W.: Finite-Time Stability and Stabilization on a Class of Continuous Systems. “J.Math Anal Appl.” 2006, No 323, p. 1430-1443. 9. Piwowar A: Analysis of parametric systems with first and second order sections. Rozprawa doktorska. Wydział Elektryczny, Politechnika Śląska, Gliwice 2011. 10. Walczak J., Romanowska A.: BIBO stability analysis of first order parametric section. XIII Conf. ZKwE, Poznań, kwiecień 2008, p. 35-36. 11. Walczak J., Piwowar A.: Short time stability of first order LTV filters. Rozdział w Monografii ZKwE 2009 pod przewodnictwem PAN, Poznań 2009, p. 92-99 66 A. Piwowar 12. Wu M.Y: A note on stability of linear time varying systems. “IEEE Trans. on Automatic Control” 1974, Vol. 19, No. 2, p. 162. 13. Zhu J., Johnson C. D.: New Results in the Reduction of Linear Time – Varying System. “SIAM J. Control and Optimization” 1998, Vol. 27, No.3, p. 476-493. 14. Zwillinger d.: Handbook of differential equations. Academic Press, New York 1992. Dr inż. Anna PIWOWAR Politechnika Śląska Wydział Elektryczny, Instytut Elektrotechniki i Informatyki ul. Akademicka 10 44-100 Gliwice Tel. (32) 237-10-18; e-mail [email protected]