Podstawowe pojęcia teorii grafów Definicja 1. Niech V będzie

Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (wykład 9)
Podstawowe pojęcia teorii grafów
Definicja 1. Niech V będzie niepustym zbiorem skończonym i P2 (V ) zbiorem wszystkich 2elementowych podzbiorów zbioru V . Grafem prostym nazywamy dowolną uporządkowaną parę
(V, E), gdzie E ⊆ P2 (V ). Jeśli G = (V, E) jest grafem prostym, to elementy zbiór G(V ) = V
nazywamy wierzchołkami grafu G, a elementy zbioru E(G) = E – jego krawędziami.
Definicja 2. Niech u, v ∈ V będą dowolnymi wierzchołkami grafu G = (V, E). Powiemy, że są to
wierzchołki sąsiadujące lub sąsiednie, jeśli {u, v} ∈ E. Stopniem wierzchołka v nazywamy liczbę
d(v) wierzchołków, które z nim sąsiadują. Jeżeli e = {u, v} jest krawędzią grafu G = (V, E), tzn.
{u, v} ∈ E, to mówimy, że u i v są końcami krawędzi e. W takiej sytuacji mówimy też, że każdy
z wierzchołków u i v jest incydentny z krawędzią e, jak również, że krawędź e jest incydentna
z każdym z tych wierzchołków. W dalszej części dla wygody krawędzie postaci {u, v} będziemy
oznaczać symbolem uv. Oczywiści uv = vu.
Każdy graf G = (V, E), gdzie |V | = n można zilustrować graficznie na nieskończenie wiele
sposobów, wybierając dowolny n-elementowy zbiór punktów płaszczyzny, oznaczając je elementami
zbioru V i łącząc odcinkami lub krzywymi skończonej długości te punkty, które są oznakowane
sąsiadującymi wierzchołkami.
Nietrudno narysować graf o 6 wierzchołkach, w którym każdy wierzchołek ma stopień 4, ale nie
sposób narysować graf o 7 wierzchołkach, w którym każdy wierzchołek ma stopień 5.
Lemat 1. (Lemat o uścisku dłoni) Jeśli G = (V, E) jest grafem prostym, to
X
d(v) = 2 · |E|.
v∈V
Ten lemat głosi, że suma stopni wszystkich wierzchołków jest dwukrotnie większa od liczby
krawędzi, w szczególności więc graf o 7 wierzchołkach, w którym każdy wierzchołek ma stopień 5
1
musiałby mieć 5·7
2 = 18 2 krawędzi, co oczywiście nie jest możliwe.
Wniosek 2. W dowolnym grafie prostym liczba wierzchołków stopnia nieparzystego jest parzysta.
W szczególności, nie istnieją grafy, w których jest dokładnie jeden wierzchołek stopnia nieparzystego.
Definicja 3. Grafem pełnym nazywamy graf G = (V, E), w którym każdy wierzchołek sąsiaduje z
każdym wierzchołkiem różnym od niego lub inaczej, gdy E = P2 (V ) . Zatem, jeśli |V | = n, to dla
dowolnego v ∈ V mamy d(v) = n − 1. Graf G nazywamy regularnym stopnia r, jeśli wszystkie jego
wierzchołki mają stopień równy r. Graf pełny o n wierzchołkach jest rególarnym stopnia n − 1. Na
podstawie Lematu o uścisku dłoni otrzymujemy, że w grafie regularnym stopnia r o n wierzchołkach
jest n·r
2 krawędzi.
Definicja 4. Niech G1 = (V1 , E1 ) i G2 = (V2 , E2 ) będą dowolnymi grafami. Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f : V1 → V2 nazywamy izomorfizmem grafu G1 na G2 , jeśli dla dowolnych
u, v ∈ V1 zachodzi zależność
uv ∈ E1 ⇔ f (u)f (v) ∈ E2 .
Jeżeli taka funkcja f istnieje, to mówimy, że grafy G1 i G2 są izomorficzne.
Przykład 1. Niech G1 = (V, E1 ) będzie grafem którego zbiorem wierzchołków jest zbiór wierzchołków siedmiokąta foremnego, a zbiorem krawędzi zbiór jego boków oraz tych przekątnych, które
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (wykład 9)
łączą co drugi wierzchołek. Niech dalej G2 = (V, E2 ) będzie grafem, w którym, jak w G1 , zbiorem wierzchołków jest zbiór wierzchołków siedmiokąta foremnego, a zbiorem krawędzi – zbiór jego
boków i tych przekątnych, które łączą co trzeci wierzchołek. Można wykazać, że oba te grafy są
izomorficzne.
Przykład 2. Rozważmy sytuację ogólniejszą. Niech n > 5, k, m < n będą liczbami naturalnymi
takimi, że N W D(n, k) = N W D(n, m) = 1. Niech teraz G1 będzie grafem, którego zbiorem
wierzchołków jest zbiór wierzchołków n-kąta foremnego, a zbiorem krawędzi, zbiór jego boków
oraz zbiór tych przekątnych, które łączą co k-ty wierzchołek. Niech ponadto G2 będzie grafem
o takim samym zbiorze wierzchołków, w którym krawędziami są wszystkie boki n-kąta oraz te
przekątne, które łączą co m-ty wierzchołek. Zbadać, czy te grafy są izomorficzne.
Definicja 5. (Komputerowe reprezentacje grafu). Macierzą incydencji grafu G = (V, E) nazywamy
macierz (aij ), której wiersze są indeksowane wierzchołkami, a kolumny krawędziami grafu, przy
czym
(
1 jeśli i-ty wierzchołek jest końcem j-tej krawędzi
aij =
0 w przeciwnym razie.
Macierzą sąsiedztwa grafu G = (V, E) nazywamy macierz (bij ), której wiersze i kolumny są indeksowane wierzchołkami grafu, przy czym
(
1 jeśli i-ty wierzchołek jest sąsiadem j-tego wierzchołka
bij =
0 w przeciwnym razie.
Lista incydencji grafu G, jest to lista, której elementami są listy wierzchołków; pierwszym elementem kolejnej listy jest kolejny wierzchołek grafu a następnymi – wierzchołki z nim sąsiadujące
wypisane w pewnym z góry ustalonym porządku.
Uwaga 3. Dwa grafy G1 i G2 są izomorficzne, jeżeli wierzchołki obu można tak ponumerować, aby
macierze incydencji (a więc również macierze sąsiedztwa były identyczne).
Przykład 3. Grafem platońskim nazywamy graf, którego zbiorem wierzchołków jest zbiór wszystkich wierzchołków wielościanu foremnego, a zbiorem krawędzi, zbiór wszyskich jego krawędzi. Istnieje pięć wielościanów foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. Zatem istnieje pięć grafów platońskich, wszystkie są oczywiście grafami regularnymi.
Graf czworościanu foremnego ma cztery wierzchołki i sześć krawędzi (każdy wierzchołek sąsiaduje
z każdym), więc jest to graf izomorficzny z K4 . Graf sześcianu ma osiem wierzchołków, każdy
wierzchołek ma trzech sąsiadów. Liczba krawędzi jest równa 12 = 8·3
2 . Graf ośmiościanu ma 6
wierzchołków, każdy z nich ma czterech sąsiadów, a liczba krawędzie jest równa także 12 = 6·4
2 , jak
w grafie sześcianu. Dwunastościan foremny ma 20 wierzchołków, każdy ma trzech sąsiadów, zatem
liczba krawędzi jest równa 30 = 20·3
2 . Wreszcie dwudziestościan, ma 12 wierzchołków, każdy z nich
ma 5-ciu sąsiadów, więc liczba krawędzi jest równa też 30, jak w dwunastościanie.
Definicja 6. Graf G = (V, E) nazywamy dwudzielnym jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne niepuste podzbiory V1 , V2 takie, że krawędzie tego grafu łączą wierzchołki
z różnych podzbiorów (niekoniecznie wszystkie). Bardziej formalnie: G jest dwudzielny wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieją niepuste podzbiory V1 , V2 ⊂ V takie, że V = V1 ∪ V2 oraz dla dowolnego
e ∈ E, e = uv, albo u ∈ V1 i v ∈ V2 , albo u ∈ V2 i v ∈ V1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (wykład 9)
Przykład 4. Kostką n-wymiarową nazywamy graf G = (V, E), gdzie V = {(a1 , a2 , . . . , an ) :
ai ∈ {0, 1}}, (tzn. V jest zbiorem wszystkich ciągów binarnych długości n), przy czym między
dwoma wierzchołkami istnieje krawędź jeśli różnią się one na dokładnie jednej pozycji. Jest jasne,
że |V | = 2n i dla dowolnego v ∈ V jest d(v) = n. Zatem, na podstawie Lematu o uścisku dłoni
n
|E| = 2 2·n = n·2n−1 . Niech V1 będzie zbiorem tych ciągów binarnych długości n, w których jedynka
występuje nieparzystą liczbę razy, natomiast V2 niech będzie zbiorem tych ciągów binarnych, w
których jedynka występuje parzystą liczbę razy. Nietrudno zauważyć, że dwa dowolne ciągi leżące
w tym smym zbiorze Vi , i = 1, 2 nie są połączone krawędzią. Zatem kostka n-wymiarowa jest
grafem dwudzielnym.
Opracował: Cz. Bagiński
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego