MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI
Transkrypt
MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI
MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI INTELEKTUALNEJ – MATHSCRI – LISTA ZADAŃ NUMER 4 Zadanie 1 [2 pkt] a) Wyjaśnij zjawisko ściągania krawędzi. Przytocz twierdzenie Kuratowskiego. [2 pkt] b) Czy graf pełny o 8 wierzchołkach będzie grafem planarnym? Jeżeli nie powołaj się na odpowiednie twierdzenie. Narysuj ten graf i przedstaw swój tok myślenia. [2 pkt] c) Czy może istnieć spójny graf planarny o 11 ścianach, 28 krawędziach i 19 wierzchołkach? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 2 [1 pkt] a) Przytocz twierdzenie Eulera. [2 pkt] b) Czy graf o 6 wierzchołkach regularny stopnia 3 może być grafem planarnym? [3 pkt] c) Niech graf G=(V,E) będzie grafem wielościanu, którego każda ściana jest pięciokątem lub sześciokątem. Udowodnij, że zadany graf G ma dokładnie 12 ścian pięciokątnych, gdy każdy wierzchołek tego grafu jest stopnia 3. Zadanie 3 [2 pkt] a) Co to znaczy, że graf jest planarny? Co rozumiemy pod pojęciem płaskiej reprezentacji grafu? [2 pkt] b) Niech G będzie grafem planarnym, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3. Pokazać, że jeśli G ma płaską reprezentację, w której każdy region jest ograniczony czterema lub sześcioma krawędziami, to istnieje dokładnie sześć regionów ograniczonych czterema krawędziami. Wskazówka: region potraktuj analogicznie jak ścianę w zadaniu 2 ppkt c. 9-07-2014r. [OPRACOWAŁ MACIEJ SZYMKOWSKI]