m mn n n ng

D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\86_SPRAWDZIANY\0109_0022_35\AB54I.doc
Kod zestawu:
0
1
0
9
A
B
2005-lut-03, 22:19
5
4
I
0
0
2
2
Zadanie 1.
SŁOWNIE
Granica iloczynu ciągu ograniczonego
i zbieżnego do zera jest zerem
SYMBOLICZNIE
∀ X ,Y ⊂ R
∀ f ∈ SEQ( X ), g ∈ SEQ(Y )
(LIM( f ,0) ∧ g (N ) ∈ BND(R )) ⇒ LIM( f ⋅ g ,0)
Zadanie 2.
Postać słowna
∀
Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest
zbieżny.
∃
Postać symboliczna
f ∈ SEQ↑ (R ) ∩ BND(R )
a∈R
f ∈ CNVa (R )
Zasady: a) dowód każdego z powyższych twierdzeń może zawierać wyłącznie poniższe wiersze bez jakichkolwiek
zmian, b) wszystkie wiersze powinny być wykorzystane, c) każdy wiersz może być użyty wielokrotnie, d) numery (W1,
(W2), … w każdym dowodzie muszą wzrastać (tzn., numer (Wm) nie może pojawić się przed pierwszym wystąpieniem
(Wn), jeśli m>n).
14
17
USTALMY (W8) ε > 0 ;
USTALMY X , Y ⊂ R ,
41
∀ ε>0
∃ δ∈ R
;
(W4)
∀ n≥δ
( f ⋅ g )(n ) ≤ ε
f ∈ SEQ( X ) , g ∈ SEQ(Y ) ;
18
USTALMY f ∈ SEQ(R ) TAKIE, ŻE
(W1) f ∈SEQ↑ (R ) I
21
23
24
28
32
(W2) f ∈ BND(R )
SPRAWDZENIE FORMUŁY
(W11) f (m ) − a ≤ ε {
Z ROZWINIĘCIA (W1):
∀ m, n ∈ N
(W12)
;
n ≤ m ⇒ f (n ) ≤ f (m )
∀ n∈N
WŁASNOŚCI: (W4)
,
f (n ) ≤ a
∀ ε>0
(W5) ∃ n ∈ N ;}
f (n ) ≥ a − ε
WYMAGANIE (W3) WYNIKA
Z (W2);
W (W8) PODSTAWIAMY n := m ;
OTRZYMUJEMY (W12) g (m ) ≤ M ;
33
43
44
36
OZNACZMY (W1) LIM ( f ,0 ) ,
(W2) g ∈ BND(N , Y ) ,
(W3) LIM ( f ⋅ g ,0 ) ;
46
KONSTRUKCJA δ ∈ R {
48
USTALMY (W10) m ≥ δ ;
49
SPRAWDZENIE FORMUŁY
(W11)
50
51
52
58
(W11) WYNIKA Z (W12)
W (W5) PODSTAWIAMY ε := ε
I BIERZEMY n1 ∈ N O WŁASNOŚCI
(W9) f (n1 ) ≥ a − ε ;
USTALMY (W10) m ≥ n1 ;
OKREŚLAMY a := sup f (n ) ;
n∈N
I (W13);}}
34
Z ROZWINIĘCIA (W3):
( f ⋅ g )(m ) ≤ ε
{
W (W4) PODSTAWIAMY n := m
I OTRZYMUJEMY (W15) f (m ) ≤ a ;
KONSTRUKCJA n ∈ N {
KONSTRUKCJA (W3) a ∈ R {
Z ROZWINIĘCIA (W6):
∀ ε>0
∃ n∈N
(W7)
;
∀ m≥n
f (m ) − a ≤ ε
59
OKREŚLAMY δ := δ1 ;}
60
(W11) WYNIKA Z (W14), (W15)
I (W8);}}
D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\86_SPRAWDZIANY\0109_0022_35\AB54I.doc
62
DZIĘKI (W10) MOŻNA W (W9)
80
PODSTAWIĆ n := m ; OTRZYMUJEMY
(W13)
63
f (m ) ≤
DZIĘKI (W7) MOŻNA W (W6)
ε
; BIERZEMY
M
δ1 ∈ R O WŁASNOŚCI
∀ n ≥ δ1
(W9)
ε ;
f (n ) ≤
M
69
77
78
Z (W9) I (W13) WYNIKA
(W14) f (m ) ≥ a − ε ;
SPRAWDZENIE FORMUŁY
(W6) f ∈ CNVa (R ) {
W (W12) PODSTAWIAMY m := m ,
n := n1 I DZIĘKI (W10)
OTRZYMUJEMY
(W13) f (n1 ) ≤ f (m ) ;
Wykorzystane fakty
W zadaniu 1
Z ROZWINIĘCIA (W1):
∀ ε>0
∃ δ∈ R
;
(W6
∀ n≥δ
f (n ) ≤ ε
ε
;
M
PODSTAWIĆ ε :=
2005-lut-03, 22:19
84
SPRAWDZENIE FORMUŁY
(W1) ∧ (W2) ⇒ (W3) {
87
90
OKREŚLAMY n := n1 ;}
Z ROZWINIĘCIA (W2) BIERZEMY
(W7) M > 0 O WŁASNOŚCI
(W8)
98
∀ n∈N
g (n ) ≤ M
;
USTALMY (W5) ε > 0 ;
W zadaniu 2