ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x)

1
JAK ZMIENI SIĘ WARTOŚĆ FUNKCJI
y=f(x)
NA SKUTEK MAŁEGO WZROSTU
ZMIENNEJ NIEZALEśNEJ x
?
RÓśNICZKA FUNKCJI y=f(x)
MÓWI NAM O PRZYBLIśONEJ WARTOŚCI
PRZYROSTU ∆y FUNKCJI y
JEśELI ZMIENNA NIEZALEśNA x
WZROŚNIE O MAŁE ∆x
ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x)
MÓWI NAM O ILE % WZROŚNIE WARTOŚĆ
FUNKCJI y
JEśELI ZMIENNA NIEZALEśNA x
WZROŚNIE O 1%
2
ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x)
Elastycznością funkcji y=f(x) ze względu na zmienną niezaleŜną x nazywamy
granicę ilorazu względnego przyrostu wartości funkcji (∆y / y) do względnego
przyrostu zmiennej niezaleŜnej (∆x / x) , tj.
 ∆y ∆x 
x dy
x '
E y = lim  :  =
⋅
=
⋅ f ( x)
∆x → 0  y
x
y dx
y
PRZYKŁAD 1 Dla funkcji liniowej
Ey =
y=3x-6
elastyczość wynosi
x '
x
x
⋅ f ( x) =
⋅3 =
y
3x − 6
x−2
Przy x=10 wartość funkcji wynosi y=f(10)=3 10−
−6=24, a elastyczność Ey=10/8=1.2
Elastyczność interptetujemy następująco:
JeŜeli zmienna niezaleŜna x wzrośnie z aktualnego poziomu (10) o
0.01 •10 =
tj. o
0.1
to wartość funkcji wzrośnie z aktualnego poziomu (24) o
tj. o
0.012 •24 =
1%
1.2%
0.288
Przy x=6 wartość funkcji wynosi y=f(6)=3••6−
−6=12, a elastyczność Ey=6/4=1.5.
Wniosek : Elastyczność funkcji liniowej nie jest stała.
ZaleŜy od poziomu zmiennej niezaleŜnej x .
PRZYKŁAD 2 Dla funkcji potęgowej
x '
Ey =
⋅ f ( x) =
y
y = 2 x 3 elastyczość wynosi
x
6x 3
2
⋅ 6x =
= 3
3
3
2x
2x
Wniosek : Elastyczność funkcji potęgowej jest stała.
Nie zaleŜy od poziomu zmiennej niezaleŜnej x .
3
RÓśNICZKA FUNKCJI y=f(x)
RóŜniczką dy funkcji y=f(x) nazywamy iloczyn pochodnej
dowolny przyrost ∆x zmiennej niezaleŜnej x , tj.
f'(x) przez
dy = f ' ( x ) ⋅ ∆x
RóŜniczka funkcji słuŜy do przybliŜonego obliczania
gdy przyrost zmiennej niezaleŜnej jest dostatecznie mały.
PrzybliŜony przyrost funkcji
poziomu xo wynosi
∆y
, gdy zmienna niezaleŜna
∆y x ≈ f ' ( x0 ) ⋅ ∆x
lim ( ∆y − dy) = 0
Wynika stąd, Ŝe
y=3x-6
x wzrasta z pewnego
(∆x → 0)
0
PRZYKŁAD 1 Dla funkcji liniowej
przyrostu funkcji,
∆x →0
róŜniczka ma postać
dy = f ' ( x ) ⋅ ∆x = (3x - 6) ⋅ ∆x = 3 ⋅ ∆x
'
Wniosek : RóŜniczka funkcji liniowej jest stała
i dokładnie odpowiada przyrostowi funkcji.
y = 2 x 3 róŜniczka wynosi
PRZYKŁAD 2 Dla funkcji potęgowej
( ) ⋅ ∆x
dy = 2 x
3 '
= 6 x 2 ⋅ ∆x
Wniosek : RóŜniczka funkcji potęgowej jest funkcją.
Np. przy xo=2 i ∆x=0.01 mamy
∆y ≈ 6 ⋅ 2 ⋅ 0.01 = 0.24 podczas gdy
2
∆y = 2 x 3
2 .01
∆y = 2 x 3
10 .01
2
= 16.241202 − 16 = 0.241202
a przy xo=10 i ∆x=0.01 mamy
∆y ≈ 6 ⋅ 102 ⋅ 0.01 = 6 podczas gdy
10
= 2006.006 − 2000 = 6.006
4
TEMPO WZROSTU FUNKCJI
y=f(x)
Iloraz
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
f (x0 )
nazywamy średnim tempem wzrostu funkcji y=f(x) w
przedziale <x0, x0+∆
∆x>
>
Granicę
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 )
f ( x0 )
f ' ( x0 )
lim
=
∆x→0
f ( x0 )
∆x
nazywamy tempem wzrostu funkcji w punkcie x0.
Przykład 1
Dla funkcji liniowej y=3x-6
tempo wzrostu funkcji w punkcie x0=10 wynosi
5
(3x − 6)'
3x − 6
=
x = x0 =10
3
3x − 6
=
x = x0 =10
3
3 1
=
=
3 ⋅ 10 − 6 24 8
Przykład 2
Dla funkcji potęgowej y=2x3 tempo wzrostu
funkcji w punkcie x0=2 wynosi
(2 x ) '
3
2 x3
x = xo = 2
6x2
= 3
2x
x = x0 = 2
3
3
=
=
x x = x0 = 2 2