2 Obraz i jądro przekształcenia liniowego

Przekształcenia liniowe
Jacek Jędrzejewski
2013/2014
Spis treści
1 Podstawowe własności
2
2 Obraz i jądro przekształcenia liniowego
4
3 Dalsze własności przekształceń liniowych
9
1
1
Podstawowe własności
Ważną rolę w teorii przestrzeni liniowych odgrywają pewne przekształcenia tych przestrzeni.
Noszą one nazwę przekształceń liniowych lub homomorfizmów.
Definicja 1. Niech V i W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad (tym samym) ciałem K.
Funkcję A : V −→ W nazywamy przekształceniem liniowym lub homomorfizmem, jeśli spełnia
ona następujące warunki:
(1)
^ ^
A(a + b) = A(a) + A(b) ,
a∈V b∈V
(2)
^ ^
A(αa) = α ·A(a) .
α∈K a∈V
Warunek (1) nazywamy warunkiem addytywności, a warunek (2) warunkiem jednorodności
przekształcenia. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni V do przestrzeni W
będziemy oznaczali symbolem HomK (V , W ) lub Hom(V , W ), a czasem L (V , W ).
Jeśli przekształcenie liniowe A : V −→ W jest różnowartościowe, to nazywamy je monomorfizmem.
Jeśli przekształcenie liniowe A : V −→ W przekształca zbiór V na przestrzeń W , to nazywamy je epimorfizmem.
Definicja 2. Homomorfizm przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniową W nazywamy izomorfizmem, jeśli jest on funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Często izomorfizm przestrzeni V na tę samą przestrzeń nazywamy automorfizmem przestrzeni V . Zbiór wszystkich automorfizmów przestrzeni V oznaczamy symbolem AutK (V ) lub
krócej Aut(V ).
Często przekształcenie liniowe przestrzeni V w tę samą przestrzeń nazywamy operatorem
liniowym lub endomorfizmem przestrzeni V . Zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni V
oznaczamy symbolem EndK (V ) lub krócej End(V ).
Izomorfizm przestrzeni V w tę samą przestrzeń nazywamy automorfizmem. Zbiór wszystkich
automorfizmów przestrzeni V oznaczamy symbolem AutK (V ) lub krócej Aut(V ).
Przykład 1. Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową. Przekształcenie tożsamościowe zbioru V w siebie jest, jak łatwo sprawdzić, przekształceniem liniowym. Ponieważ (oczywiście) jest
ono wzajemnie jednoznaczne, więc przekształcenie tożsamościowe przestrzeni V w siebie jest
izomorfizmem.
Przykład 2. Niech V i W będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Przekształcenie Θ : V −→ W określone wzorem
Θ(x) = 0, gdy x ∈ V ,
2
jest, jak bardzo łatwo sprawdzić, przekształceniem liniowym. Nazywamy je przekształceniem
zerowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Twierdzenie 3. Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i A : V −→ W jest
przekształceniem liniowym, to
(3)
A(0) = 0,
(4)
A(−a) = −A(a),
(5)
A (α1 a1 + α2 a2 ) = α1 A(a1 ) + α2 A(a2 )
dla dowolnych wektorów a, a1 , a2 z przestrzeni V i dowolnych elementów α1 , α2 z ciała K.
D o w ó d. Ponieważ 0 = 0·0, więc
A(0) = A(0·0) = 0·A(0) = 0.
Podobnie,
A(−a) = A((−1)·a) = (−1)·A(a) = −A(a).
Niech a1 i a2 będą dowolnymi wektorami przestrzeni V oraz α1 i α2 dowolnymi elementami
z ciała K. Wtedy, korzystając najpierw z addytywności a potem z jednorodności przekształcenia A mamy
A (α1 a1 + α2 a2 ) = A (α1 a1 ) + A (α2 a2 ) = α1 A(a1 ) + α2 A(a2 ).
Bez trudu zauważamy, że jeśli funkcja A przekształcająca przestrzeń V w przestrzeń W
spełnia warunek (5), to jest przekształceniem liniowym.
Indukcyjnie dowodzi się następującego twierdzenia.
Twierdzenie 4. Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i A : V −→ W jest
przekształceniem liniowym, to
(6)
^
^
^
^
A
n∈N i∈{1,...,n} αi ∈K ai ∈V
n
X
!
αi ai =
i=1
n
X
!
αi · A(ai ) .
i=1
D o w ó d. Gdy n = 1 wzór jest oczywisty, a z twierdzenia 3. wiemy, że wzór z tezy twierdzenia
jest prawdziwy, gdy n = 2.
Załóżmy, że n jest dowolną, ale ustaloną liczbą naturalną i prawdziwy jest wzór z tezy dla
liczby n. Udowodnimy, że z tego wzoru wynika
A
n+1
X
!
αi ai =
i=1
n+1
X
i=1
3
αi · A (ai )
dla dowolnych wektorów a1 , . . . , an+1 z przestrzeni V oraz dowolnych elementów α1 , . . . , αn+1
z ciała K.
Istotnie, korzystając z addytywności przekształcenia A oraz założenia indukcyjnego, otrzymujemy kolejno
!
!
A
n+1
X
n
X
αi ai = A
i=1
A
n
X
αi ai + αn+1 an+1 =
i=1
!
αi ai + A (αn+1 an+1 ) =
n
X
i=1
αi · A(ai ) + αn+1 A(an+1 ) =
i=1
=
n+1
X
αi · A(ai ).
i=1
Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej wzór z tezy jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n.
Oczywistym jest fakt, iż z warunku (6) wynika, że A jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W . Wtedy twierdzenie 4. można sformułować w następujący sposób:
Twierdzenie 5. Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K,to funkcja A : V −→ W
jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^
^
^
A
n∈N i∈{1,...,n} αi ∈K ai ∈V
2
n
X
i=1
!
αi ai =
n
X
!
αi · A(ai ) .
i=1
Obraz i jądro przekształcenia liniowego
Definicja 6. Jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym, to obrazem tego przekształcenia nazywamy zbiór A(V ), czyli


y∈W :

_


(y = A(x)) .
x∈V

Zbiór ten oznaczamy symbolem Im A.
Definicja 7. Jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym, to jądrem tego przekształcenia
nazywamy zbiór A−1 (0), czyli
{x ∈ V : A(x) = 0} .
Zbiór ten oznaczamy symbolem Ker A.
Zbadamy, jakie mają struktury zdefiniowane powyżej zbiory.
Twierdzenie 8. Jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym, to obraz tego przekształcenia jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W .
4
D o w ó d. Ponieważ 0W jest obrazem wektora zerowego 0V , więc obraz przekształcenia A jest
zbiorem niepustym.
Niech teraz y 1 i y 2 będą dowolnymi elementami zbioru Im A oraz α — dowolną liczbą z ciała K. Istnieją takie wektory x1 i x2 w przestrzeni V , że
y 1 = A(x1 ) i y 2 = A(x2 ).
Wtedy
y 1 + y 2 = A(x1 ) + A(x2 ) = A(x1 + x2 )
oraz
α·y 1 = α1 ·A(x1 ) = A(α·x1 ),
a to dowodzi, że y 1 +y 2 ∈ Im A i α·y 1 ∈ Im A. Wnioskujemy stąd, że Im A jest podprzestrzenią
przestrzeni W .
Twierdzenie 9. Jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym, to jądro tego przekształcenia jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
D o w ó d. Ponieważ 0W jest obrazem wektora zerowego 0V , więc jądro przekształcenia A jest
zbiorem niepustym.
Niech teraz x1 i x2 będą dowolnymi elementami zbioru Ker A oraz α — dowolną liczbą
z ciała K. Wtedy
A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) = 0W + 0W = 0W
oraz
A(α·x1 ) = α1 ·A(x1 ) = α·0W = 0W ,
a to dowodzi, że x1 + x2 ∈ Ker A i α·x1 ∈ Ker A. Wnioskujemy stąd, że Ker A jest podprzestrzenią przestrzeni V .
Jeśli przestrzenie liniowe V i W są skończenie wymiarowe, to z zależności
Im A ⊂ W
i Ker A ⊂ V
wynikają nierówności
dim Im A ¬ dim W
dim Ker A ¬ dim V .
i
Twierdzenie 10. Przekształcenie liniowe A : V −→ W jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker A = {0V }.
D o w ó d. Jeśli Ker A 6= {0V }, to istnieje wektor x różny od wektora zerowego, należący do
jądra przekształcenia liniowego A. Ponieważ
A(0V ) = 0W
i A(x) = 0W ,
5
więc A nie jest funkcją różnowartościową.
Załóżmy, że A nie jest monomorfizmem, czyli nie jest funkcją różnowartościową. Wtedy istnieją takie wektory x1 i x2 , że
A(x1 ) = A(x2 ) i x1 6= x2 .
Wynika stąd, że x1 − x2 6= 0 oraz
A(x1 − x2 ) = 0,
a to dowodzi, że Ker A 6= {0V }, a to kończy dowód.
Wniosek 1. Przekształcenie liniowe A : V −→ W jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy,
gdy dim Ker A = 0.
Definicja 11. Jeśli A jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W nad wspólnym ciałem, to wymiar podprzestrzeni Ker A nazywamy defektem przekształcenia A, natomiast
wymiar podprzestrzeni Im A nazywamy rzędem przekształcenia A. Defekt przekształcenia A
oznaczać będziemy symbolem def (A), rząd przekształcenia A – symbolem rz (A).
Z definicji rzędu przekształcenia liniowego i twierdzenia Steinitza wynika nierówność
rz A ¬ min{dim V , dim W }.
Lemat 12. Jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym oraz wektory x1 , . . . , xn są liniowo zależne, to również wektory A(x1 ), . . . , A(xn ) są liniowo zależne.
D o w ó d. Z liniowej zależności wektorów x1 , . . . , xn wynika, że istnieją liczby α1 , . . . , αn , nie
wszystkie równe zeru i takie, że
α1 ·x1 + . . . + αn ·xn = 0V .
Zatem
0W = A(α1 ·x1 + . . . + αn ·xn ) = α1 ·A(x1 ) + . . . + αn ·A(xn ),
a to kończy dowód.
Łatwo zauważamy, że jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej
V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i wektory a1 , . . . , an są liniowo
niezależne (w przestrzeni V ), to wektory A(a1 ), . . . , A(an ) nie muszą być liniowo niezależne.
Przykładem na potwierdzenie tej uwagi jest przekształcenie zerowe.
Wnioskiem z tego lematu jest:
Wniosek 2. Jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym oraz wektory A(x1 ), . . . , A(xn )
są liniowo niezależne, to również wektory x1 , . . . , xn są liniowo niezależne.
6
Lemat 13. Jeśli A : V −→ W jest monomorfizmem oraz wektory x1 , . . . , xn są liniowo niezależne, to wektory A(x1 ), . . . , A(xn ) są też liniowo niezależne.
D o w ó d. Jeśli
α1 ·A(x1 ) + . . . + αn ·A(xn ) = 0W ,
to
A(α1 ·x1 + . . . + αn ·xn ) = 0,
a z różnowartościowości funkcji A wnioskujemy, że
α1 ·x1 + . . . + αn ·xn = 0.
Ponieważ wektory x1 , . . . , xn są liniowo niezależne, więc
α1 = 0, . . . , αn = 0.
Dowodzi to, że wektory A(x1 ), . . . , A(xn ) są liniowo niezależne.
Twierdzenie 14. Jeśli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym i przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, to
rz A + def A = dim V ,
czyli
dim Im A + dim Ker A = dim V .
D o w ó d. Jeśli Ker A = {0V }, to A jest monomorfizmem. Niech (x1 , . . . , xn ) będzie jakąś bazą przestrzeni V . Na podstawie lematu 13. wnioskujemy, że układ wektorów (A(x1 ), . . . , A(xn ))
jest liniowo niezależny. Udowodnimy, że
span {A(x1 ), . . . , A(xn )} = Im A.
Zawieranie
span {A(x1 ), . . . , A(xn )} ⊂ Im A
jest oczywiste.
Niech teraz y będzie dowolnym wektorem z podprzestrzeni Im A. Istnieje w przestrzeni V
wektor x taki, że y = A(x). Istnieją więc takie liczby α1 , . . . , αn , że
x = α1 x1 + . . . + αn xn .
Wtedy
y = A(x) = A(α1 x1 + . . . + αn xn ) = α1 A(x1 ) + . . . + αn A(xn ),
a to dowodzi, że
Im A ⊂ span {A(x1 ), . . . , A(xn )} .
7
Z obu powyżej udowodnionych zawierań wynika zapowiedziana równość. Wnioskujemy stąd,
że wektory A(x1 ), . . . , A(xn ) stanowią bazę podprzestrzeni Im A.
Mamy więc
dim Ker A = 0, dim Im A = n i dim V = n,
co kończy dowód w tym przypadku.
Załóżmy teraz, że dim Ker A = k > 0. Istnieje więc baza podprzestrzeni Ker A, niech to będzie
(x1 , . . . , xk ). Z twierdzenia o uzupełnianiu wektorów liniowo niezależnych do bazy wnioskujemy,
że istnieją takie wektory xk+1 , . . . , xn , że układ
x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn
stanowi bazę przestrzeni V .
Podobnie jak w poprzednim przypadku, można dowieść, że
Im A = span {A(x1 ), . . . , A(xn )} .
Ponieważ A(x1 ) = 0W , . . . , A(xk ) = 0W , więc
Im A = span {A(xk+1 ), . . . , A(xn )} .
Udowodnimy teraz, że wektory A(xk+1 ), . . . , A(xn ) są liniowo niezależne. Istotnie. Jeśli dla liczb
βk+1 , . . . , βn spełniona jest równość
n
X
βi A(xi ) = 0W ,
i=k+1
to również

n
X
A

βi xi  = 0W ,
i=k+1
czyli wektory
n
X
βi xi i
i=k+1
n
X
(−βi )xi należą do jądra przekształcenia A. Istnieją więc takie
i=k+1
liczby β1 , . . . , βk , że
n
X
(−βi )xi =
βi xi ,
i=1
i=k+1
skąd wynika równość
k
X
n
X
βi xi = 0V .
i=1
Ponieważ wektory x1 , . . . , xn stanowią bazę, więc są liniowo niezależne i powyższa równość
może być spełniona jedynie w przypadku, gdy
β1 = 0, . . . , βn = 0.
8
W ten sposób udowodniliśmy, że wektory A(xk+1 ), . . . , A(xn ) są liniowo niezależne. Stanowią
więc bazę podprzestrzeni Im A. Mamy zatem:
dim Ker A = k,
dim Im A = n − k i
dim V = n,
a to kończy dowód w tym przypadku.
Podsumowując, w każdym z możliwych przypadków spełniona jest równość
dim Im A + dim Ker A = dim V .
3
Dalsze własności przekształceń liniowych
Jednym z podstawowych twierdzeń o przekształceniach liniowych jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 15. (Twierdzenie o określaniu przekształcenia liniowego). Niech V i W będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad (tym samym) ciałem K. Jeśli układ wektorów
(x1 , . . . , xn ) stanowi bazę przestrzeni V , a wektory y 1 , . . . , y n należą do przestrzeni W , to
istnieje jedyne takie przekształcenie liniowe Φ przestrzeni V w przestrzeń W , że
Φ(xi ) = y i ,
gdy
i ∈ {1, . . . , n}.
D o w ó d. Niech x będzie dowolnym wektorem przestrzeni V . Wtedy wektor x ma jednoznaczny rozkład względem bazy (x1 , . . . , xn ), czyli istnieje jedyny taki układ (ξ1 , . . . , ξn ) elementów z ciała K, że
x = ξ1 x1 + . . . + ξn xn .
Przekształcenie Φ określamy następująco:
Φ(x) = ξ1 y 1 + . . . + ξn y n ,
gdy
x = ξ1 x1 + . . . + ξn xn .
Z jednoznaczności przedstawienia wektora w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy wynika,
że powyższy wzór określa funkcję.
Ponadto, Φ(xi ) = y i dla każdego wskaźnika i ze zbioru {1, . . . , n}.
Niech teraz x i y będą dowolnymi wektorami przestrzeni V , mającymi przedstawienia:
x = ξ1 x1 + . . . + ξn xn i y = η1 x1 + . . . + ηn xn .
Wtedy
x + y = (ξ1 + η1 ) x1 + . . . + (ξn + ηn ) xn .
Z określenia funkcji Φ wynika więc zależność
Φ(x + y) = Φ (ξ1 + η1 ) x1 + . . . + ξn + ηn xn =
9
= (ξ1 + η1 ) y 1 + . . . + (ξn + ηn ) y n =
= ξ1 y 1 + . . . + ξn y n + η1 y 1 + . . . + ηn y n = Φ(x) + Φ(y).
Ponadto, jeśli α jest dowolnym elementem ciała K, to
αx = (αξ1 )x1 + . . . + (αξn )xn ,
skąd wynika
Φ(αx) = Φ αξ1 x1 + . . . + αξn xn =
= (αξ1 )y 1 + . . . + (αξn )y n = α ξ1 y 1 + . . . + ξn y n = α · Φ(x).
Z powyższych rozważań wnioskujemy, że Φ jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Przypuśćmy, że przekształcenie liniowe Ψ : V −→ W spełnia warunek
Ψ(xi ) = y i ,
gdy
i ∈ {1, . . . , n}.
Wtedy dla każdego wektora x z przestrzeni V , mającego postać
x = ξ1 x1 + . . . + ξn xn ,
spełnione są równości
Ψ(x) = Ψ (ξ1 x1 + . . . + ξn xn ) = ξ1 Ψ(x1 ) + . . . + ξn Ψ(xn ) =
= ξ1 Φ(x1 ) + . . . + ξn Φ(xn ) = Φ (ξ1 x1 + . . . + ξn xn ) = Φ(x),
a stąd wynika, że przekształcenia Φ i Ψ są równe.
Tak więc Φ jest jedynym przekształceniem liniowym spełniającym warunki twierdzenia.
Twierdzenie 16. Jeżeli A : V −→ W jest izomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K
w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i wektory a1 , . . . , an stanowią bazę przestrzeni
V , to układ wektorów A(a1 ), . . . , A(an ) jest bazą przestrzeni W .
D o w ó d. Z uwagi na twierdzenie 13. wystarczy udowodnić, że
W = spanA(a1 ), . . . , A(an ).
Niech y będzie dowolnym wektorem przestrzeni W . Z założenia, że A jest izomorfizmem
wynika, że istnieje taki wektor x w przestrzeni V , że
y = A(x).
Ponieważ wektory a1 , . . . , an stanowią bazę przestrzeni V , więc generują przestrzeń V . Wobec
tego istnieją takie elementy ξ1 , . . . , ξn z ciała K, że
x = ξ1 a1 + · · · + ξn an .
Wtedy
y = A(x) = A(ξ1 a1 + · · · + ξn an ) = ξ1 A(a1 ) + · · · + ξn A(an ),
skąd wnioskujemy, że wektory A(a1 ), . . . , A(an ) generują przestrzeń W .
10
Twierdzenie 17. Jeżeli A : V −→ W jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V
nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i przekształca bazę jakąś przestrzeni V na bazę przestrzeni W , to przekształcenie A jest izomorfizmem.
D o w ó d. Niech układ wektorów a1 , . . . , an stanowi bazę przestrzeni V , dla której układ
wektorów A(a1 ), . . . , A(an ) stanowi bazę przestrzeni W .
Udowodnimy najpierw, że przekształcenie A przekształca przestrzeń V na przestrzeń W .
Niech więc y będzie dowolnym wektorem przestrzeni W . Istnieją takie liczby η1 , . . . , ηn z ciała K,
że
y = η1 A(a1 ) + · · · + ηn A(an ),
czyli
y = A (η1 a1 + · · · + ηn an ) ,
a ponieważ wektor η1 a1 + · · · + ηn an należy do przestrzeni V , więc y jest obrazem pewnego
wektora z przestrzeni V . Dowodzi to, że funkcja A przekształca zbiór V na zbiór W .
Teraz udowodnimy, że funkcja A jest różnowartościowa. Niech więc wektory x i u z przestrzeni V spełniają warunek
A(x) = A(u).
Ponieważ układ wektorów (a1 , . . . , an ) jest bazą przestrzeni V , więc istnieją takie liczby ξ1 , . . . , ξn
oraz η1 , . . . , ηn w ciele K, że
x = ξ1 a1 + · · · + ξn an
i
u = η1 a1 + · · · + ηn an .
Wtedy
0 = A(x) − A(u) = A(x − u) = A((ξ1 − η1 )a1 + · · · + (ξn − ηn )an ),
czyli
0 = (ξ1 − η1 )A(a1 ) + · · · + (ξn − ηn )A(an ).
Stąd i z liniowej niezależności wektorów
A(a1 ), . . . , A(an ),
wnioskujemy, że
ξ1 − η1 = 0, · · · , ξn − ηn = 0,
a to dowodzi równości x = u, czyli różnowartościowości funkcji A.
Z dwóch powyższych twierdzeń wynikają następujące wnioski.
Wniosek 3. Przekształcenie liniowe skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniową W nad wspólnym ciałem jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształca
każdą bazę przestrzeni liniowej V na bazę przestrzeni W .
11
Wniosek 4. Przekształcenie liniowe skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniową W nad wspólnym ciałem jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształca
jakąś bazę przestrzeni liniowej V na bazę przestrzeni W .
Jeśli istnieje izomorfizm przestrzeni liniowej V na przestrzeń liniową W , to przestrzenie te
nazywamy izomorficznymi . Zapisujemy wtedy V ∼
= W . Z powyższych wniosków łatwo można
wywnioskować, że ∼
= jest relacją równoważności w każdej rodzinie przestrzeni liniowych nad
danym ciałem.
Niech e1 , . . . , en będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wtedy dla wektorów a, b
mających przedstawienia
a = α1 e1 + · · · + αn en i b = β1 e1 + · · · + βn en
i dowolnego elementu λ z ciała K mamy:
λa = (λα1 )e1 + · · · + (λαn )en ,
a + b = (α1 + β1 )e1 + · · · + (αn + βn )en .
Ze względu na te równości możemy powiedzieć, że przy dodawaniu wektorów dodajemy ich
współrzędne, a przy mnożeniu wektora przez skalar każdą współrzędną mnożymy przez dany
skalar.
Jeśli symbole [a] i [b] oznaczają ciągi współrzędnych wektorów a i b, to
[a + b] = [α1 + β1 , . . . , αn + βn ] = [a] + [b],
[λ·a] = [λ·α1 , . . . , λαn ] = λ·[a] .
Wniosek 5. Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K oraz B – bazą
przestrzeni V . Przekształcenie A : V −→ Kn , przekształcające dowolny wektor x z przestrzeni V w ciąg jego współrzędnych względem bazy B, jest izomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń Kn .
Wniosek 6. Dwie skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.
12