Zestaw 13

ALzG 13 Przekształcenia Liniowe
13.1 Czy podane przekształcenie jest liniowe?
a) F : R3 → R3 F (x, y, z) = (2x − 2y, z − x, y − x),
b) F : R4 [x] → R4 [x] (F (w))(x) =
d2
((x2
dx2
− x − 1)w(x)),
c) Niech C2 (R) będzie przestrzenią liniową funkcji rzeczywistych mających drugą pochodną
ciągłą na R. F : C2 (R) → C2 (R) F (f ) = af 00 + bf 0 + cf (a, b, c ∈ R),
d) F : R2 → R3 , F (x, y) = (x + 1, 2y, x + y),
e) A ∈ Mnn (K), F : Mnn (K) → Mnn (K), F (X) = X · A + A · X.
13.2 Niech F : C → C F (z) = z̄. Pokazać, że
a) F jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowej C nad ciałem R.
b) F nie jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowej C nad ciałem C.
13.3 Niech F : Rn → Rn będzie przekształceniem stałym ∀v ∈ Rn F (v) = a, a ∈ Rn . Dla jakich
a ∈ Rn F jest przekształceniem liniowym.
13.4 Wykazać, że jeśli F : V → V jest przekształceniem liniowym to F (0) = 0 (0 ∈ V ).
13.5 Znaleźć macierz przekształcenia liniowego w bazach kanonicznych:
a) F : R3 → R2 F (x, y, z) = (2x − y, 3x + y − z),
b) Oα : R2 → R2 obrót o kąt α wokół punktu (0, 0),
c) Sx = R2 → R2 symetria względem osi OX,
d) Oα,z : R3 → R3 obrót o kąt α wokół osi OZ,
e) S : R2 → R2 symetria względem prostej y = −x
f) F : R3 → R3 F obrót o kąt 32 π wokół prostej x = y = z.
g) F : R2 [x] → R2 [x] (F (w))(x) = w0 (1)x + w(2)(x2 + x) oraz w bazie (x − 1, x2 + 1, x2 ),
h) F : R2 [x] → R2 [x] (F (w))(x) = ((x2 + x)w0 (x))0 oraz w bazie (x + 1, x, x2 − 1).
13.6 Znaleźć jądro i obraz przekształceń liniowych
a) F : R5 → R3 , F (x, y, z, s, t) = (x + 2y + z − 3s + 4t, 2x + 5y + 4z − 5s + 5t, x + 4y + 5z − s − 2t),
b) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z), 
c) MBB (F ) =






1 1 
 1 2
, d) M B (F ) = 
B


3 6
1 2
f) MBB (F ) =

,

2
0
0
−1 1 −2
1 
2
2
1 −5 11
1
0


13.7 Niech A = 

1
3




,





e) MBB (F ) =
g) MBB (F ) =



















0 1 1 


1 1 1 
,
1 4 5


1 0 0 0 
0 0 0 0
2 0 0 1
1 0 0 0




,























h) MBB (F ) =











1 0 0 1 
0 1 1 0
1 1 1 1
1 2 2 1




.






1 2 
, F : M 2 (R) → M 2 (R), F (X) = X · A − A · X. Znaleźć bazy i wymiary
2
2

0 3
ker F i ImF .
13.8 Znaleźć przekształcenie liniowe F w bazie kanonicznej takie, że:




a) F : R3 → R3 , ImF = L(B



·



1 4 


4
3
2 5 
), b) F : R → R , ker F = L(B
3 6


13.9 Pokazać, że jeśli F : R3 → R5 i ImF = L(B
1 0 
2 1
3 1
4 1




).














·












·





1
0 1 
0
1 1
1
0 1
−1 1 1






)







to F jest różnowartościowe.
0 0 1
13.10 Niech F będzie operator na V takim, że dim ImF = dim ImF 2 . Pokazać, że ker F ∩ImF =
{0}.
13.11 Pokazać, że jeśli F, G ∈ Hom(V, U ) to dim Im(F + G) ¬ dim ImF + dim ImG.