Szeregi funkcyjne i potegowe

Szeregi funkcyjne i potȩgowe
1
Cia̧gi funkcyjne
Niech X ⊂ R oraz X 6= ∅.
Definicja 1. Cia̧g funkcyjny w zbiorze X jest to przyporza̧dkowanie każdej liczbie naturalnej
dokladnie jednej funkcji określonej w tym zbiorze.
Jeżeli fn (x) oznacza funkcjȩ, która jest przyporza̧dkowana liczbie n ∈ N, to cia̧g funkcyjny oznaczamy symbolem
{fn (x)}
(1)
lub
f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), . . .
Funkcjȩ fn (x) nazywamy n-tym wyrazem cia̧gu (1).
Jeżeli cia̧g funkcyjny (1) jest określony w zbiorze X, to dla każdego x0 ∈ X cia̧g {fn (x0 )} jest
cia̧giem liczbowym, który jest zbieżny albo rozbieżny.
Definicja 2.
co zapisujemy
Cia̧g funkcyjny (1) nazywamy zbieżnym w zbiorze X do funkcji granicznej f (x),
lim fn (x) = f (x)
n→∞
lub
dla x ∈ X
X
fn (x) −→ f (x)
jeżeli
∀ε>0 ∀x∈X ∃n0 ∈N ∀n≥n0 |fn (x) − f (x)| < ε
Przyklad 1.
Rozważmy cia̧g
fn (x) =
x
n
n ∈ N x ∈ [0; 1]
Cia̧g ten jest zbieżny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0.
Rozważmy teraz cia̧g
fn (x) = xn n ∈ N x ∈ [0; 1]
Cia̧g ten jest zbieżny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej
0
dla 0 ≤ x < 1
f (x) =
1
dla
x=1
Uwaga
Zbieżność w sensie definicji 2 nazywamy zbieżnościa̧ punktowa̧ lub zbieżnościa̧ zwykla̧.
1
Definicja 3.
Cia̧g funkcyjny (1) nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze X do funkcji
granicznej f (x), co zapisujemy
X
fn (x) =⇒ f (x)
jeżeli
∀ε>0 ∃n0 ∈N ∀x∈X ∀n≥n0 |fn (x) − f (x)| < ε
Przyklad 2.
Rozważmy cia̧g
fn (x) =
x
n
n ∈ N x ∈ [0; 1]
Cia̧g ten jest zbieżny jednostajnie w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej f (x) = 0.
Rozważmy teraz cia̧g
fn (x) = xn n ∈ N x ∈ [0; 1]
Cia̧g ten jest zbieżny w przedziale [0; 1] do funkcji granicznej
0
dla 0 ≤ x < 1
f (x) =
1
dla
x=1
ale zbieżność ta nie jest jednostajna, a tylko punktowa.
Twierdzenie 1.
Jeżeli każdy wyraz cia̧gu {fn (x)} jest funkcja̧ cia̧gla̧ w zbiorze X oraz
X
fn (x) =⇒ f (x)
to funkcja graniczna f (x) jest cia̧gla w zbiorze X.
2
Szeregi funkcyjne
Rozważmy cia̧g funkcyjny {fn (x)} określony w pewnym zbiorze X.
Definicja 4.
Cia̧g {Sn (x)} sum
Sn (x) =
n
X
fk (x)
(2)
k=1
nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem
∞
X
fn (x) ≡ f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x) + . . .
(3)
n=1
Funkcje f1 (x), f2 (x), . . . nazywamy wyrazami szeregu (3). Sumy (2) nazywamy sumami czȩściowymi
szeregu(3). Wyraz fn (x) nazywamy n-tym lub ogólnym wyrazem szeregu.
Definicja 5. Szereg (3) nazywamy zbieżnym w zbiorze X, jeżeli cia̧g jego sum czȩściowych (2)
jest zbieżny w tym zbiorze
X
Sn (x) −→ S(x)
(4)
natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.
Funkcjȩ graniczna̧ S(x) nazywamy suma̧ szeregu (3) w zbiorze X i piszemy
∞
X
X
fn (x) −→ S(x)
n=1
2
Definicja 6.
Szereg (3) nazywamy zbieżnym jednostajnie w zbiorze X, jeżeli cia̧g jego sum
czȩściowych (2) jest zbieżny jednostajnie w tym zbiorze
X
Sn (x) =⇒ S(x)
Definicja 7.
(5)
Szereg (3) nazywamy zbieżnym bezwzglȩdnie w zbiorze X, jeżeli szereg
∞
X
|fn (x)|
n=1
jest zbieżny w zbiorze X.
Twierdzenie 1. (kryterium Weierstrassa) Jeżeli istnieje taka liczba n0 ∈ N0 , że dla każdego
n ≥ n0 i dla każdego x ∈ X spelniona jest nierówność
|fn (x)| ≤ an
przy czym szereg liczbowy
∞
X
an
(6)
(7)
n=1
jest zbieżny, to szereg funkcyjny (3) jest zbieżny jednostajnie i bezwzglȩdnie w zbiorze X.
Przyklad 2.
Rozważmy szereg
∞
X
sin nx
n2
n=1
Ponieważ dla każdego n ∈ N i dla każdego x ∈ R spelniona jest nierówność
sin nx 1
n2 ≤ n2
oraz szereg liczbowy
∞
X
1
n2
n=1
jest zbieżny, a wiȩc rozważany szereg jest na podstawie kryterium Weierstrassa zbieżny jednostajnie
i bezwzglȩdnie.
3
Szeregi potȩgowe
Szereg postaci
∞
X
an (x − x0 )n
(8)
n=0
czyli
a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n + . . .
nazywamy szeregiem potȩgowym.
W dalszym cia̧gu zajmiemy siȩ badaniem szeregów postaci
∞
X
an x n
n=0
3
(9)
ponieważ szereg (8) można zawsze sprowadzić do postaci (9), przyjmuja̧c różnicȩ x − x0 jako nowa̧
zmienna̧.
Szereg (9) jest oczywiście zbieżny dla x = 0, przy czym jego suma wynosi wtedy a0 .
Lemat 1.
Jeżeli szereg (9) jest zbieżny dla x = % 6= 0, to jest zbieżny dla każdego x
spelniaja̧cego warunek |x| < |%|.
Niech X oznacza zbiór utworzony ze wszystkich liczb x, dla których szereg (9) jest zbieżny.
Zbiór ten nie jest pusty, gdyż 0 ∈ X. Oznaczmy nastȩpnie przez Z zbiór utworzony z wartości
bezwzglȩdnych wszystkich x ∈ X. Ponieważ 0 ∈ Z, wiȩc inf Z = 0, natomiast
0 ≤ sup Z ≤ +∞
przy czym sup Z = +∞, gdy zbiór Z jest nieograniczony.
Definicja 8.
Liczbȩ
R = sup Z
(10)
nazywamy promieniem zbieżności szeregu potȩgowego (3).
Możliwe sa̧ trzy przypadki:
1. R = 0, tzn. do zbioru Z należy tylko 0. Szereg (9) jest wówczas zbieżny tylko w punkcie x = 0.
2. 0 < R < +∞. Szereg (9) jest w tym przypadku zbieżny dla każdego |x| < R. Mówimy wtedy,
że szreg potȩgowy jest zbieżny w pewnym przedziale, zwanym przedzialem zbieżności. Jest to
jeden z przedzialów:
(−R; +R),
(−R; +R],
[−R; +R),
[−R; +R]
3. R = +∞. W tym przypadku szereg (9) jest zbieżny dla każdego x ∈ R.
Twierdzenie 2. (o promieniu zbieżności)
Jeżeli istnieje granica
an+1 λ = lim n→∞
an to promień zbieżności szeregu (9) jest nastȩpuja̧cy

gdy λ = +∞

 0



1
gdy 0 < λ < +∞
R=
λ





+∞
gdy λ = 0
Przyklad 3.
Rozważmy szereg
∞
X
xn
n+1
n=0
Mamy tutaj
an =
zatem
1
n+1
an+1 =
1
n+2
n+1
=1
n→∞ n + 2
λ = lim
4
(11)
(12)
wiȩc R = 1.
Dla x = −1 szereg
∞
X
(−1)n
n+1
n=0
jest zbieżny na podstawie kryterium Lebniza, a dla x = 1 szereg
∞
X
n=0
1
n+1
jest rozbieżny. Przedzialem zbieżności tego szeregu jest wiȩc przedzial [−1; 1).
Przyklad 4.
Rozważmy szereg
∞
X
xn
n=0
n!
Mamy tutaj
an =
1
n!
an+1 =
1
(n + 1)!
zatem
1
=0
n→∞ n + 1
wiȩc R = +∞. Przedzialem zbieżności tego szeregu jest wiȩc przedzial (−∞; +∞).
λ = lim
Przyklad 5.
Rozważmy szereg
∞
X
n!xn
n=0
Mamy tutaj
an = n!
an+1 = (n + 1)!
zatem
λ = lim (n + 1) = +∞
n→∞
wiȩc R = 0. Szereg jest zbieżny tylko w punkcie x = 0.
Twierdzenie 3. (o promieniu zbieżności)
Jeżeli istnieje granica
p
λ = lim n |an |
n→∞
to promień zbieżności szeregu (9) jest nastȩpuja̧cy

0
gdy λ = +∞





1
gdy 0 < λ < +∞
R=
λ





+∞
gdy λ = 0
Przyklad 6.
Rozważmy szereg
∞
X
2n xn
n=0
Mamy tutaj
√
n
λ = lim
n→∞
5
2n = 2
(13)
(14)
wiȩc R = 12 .
Dla x = − 21 szereg
∞
X
(−1)n
n=0
jest rozbieżny, a dla x =
1
2
szereg
∞
X
1
n=0
jest także rozbieżny. Przedzialem zbieżności tego szeregu jest wiȩc przedzial − 12 ; 12 .
6