Podstawy Fizyki: MECHANIKA GRUPA 1 Zestaw zadań nr 6 13

Podstawy Fizyki: MECHANIKA
GRUPA 1
Zestaw zadań nr 6
13 grudnia 2011
1. Kulki o masach m1 i m2 zawieszone są na nitkach o długościach l1 i l2 tak jak przedstawiono na rysunku. Kulkę o masie m1 wychylamy w lewo o kąt α i puszczamy. Po
zderzeniu kulki odchylą się od pionu o kąty, których maksymalna wielkość wynosi α1 i
α2 . Wyznaczyć te kąty maksymalne. Wskazówka: skorzystać z praw zachowania energii
i pędu.
Odpowiedź: cos α1 =
4m1 m2 +(m2 −m1 )2 cos α
m1 +m2 )2
oraz cos α2 = 1 −
4m21
l1
(m1 +m2 )2 l2 (1
− cos α)
2. Dwie identyczne kulki o masach m połączone nicią o długości L spoczywają początkowo
na powierzchni Ziemi. W pewnym momencie jedna z kul rzucona jest do góry z prędkością
począatkową v. Jaka będzie maksymalna wysokość h na którą podniesie się środek masy
układu? Jaka będzie wtedy energia kinetyczna T kulek?
√
√
2
2
Odpowiedź:Dla v ¬ 2gL mamy h = v4g oraz T = 0. Dla v > 2gL mamy h = v8g + L4
oraz T =
mv 2
4
−
mgL
2
3. Kulka o masie m wisi na nitce o długości L. Nitka ta jest styczna do walca o promieniu
r, który nie może się poruszać ani obracać. Punkt styku nici i walca jest w odległości h
od punktu zawieszenia nici. Podnosimy kulkę na naprężonej nici w prawo, do momentu
w którym nić jest położona horyzontalnie. Następnie puszczamy kulkę. Kulka opada i
nić zaczyna nawijać się na walec. Z jaką prędkością v porusza się kulka w momencie gdy
osiąga maksymalną wysokość po nawinięciu części nici na walec?
Odpowiedź:v =
p
2g(2h + πr − L) lub v = 0.
Strona 1 z 2
4. Na powierzchni Ziemi stoi pionowo sprężyna o długości swobodnej L0 i stałej sprężystości
k. Na sprężynie kładziemy masę m i ściskamy sprężynę do długości L. Po uwolnieniu
masy wylatuje ona w górę. Znaleźć wysokość h, na którą doleci.
Odpowiedź: h = L +
k(L0 −L)2
2mg
5. Z równi pochyłej o kącie nachylenia α ześlizguje się swobodnie działo o masie M . Po
przebyciu drogi L, oddano strzał w kierunku poziomym. Jaka powinna być prędkość v
pocisku o masie m, aby działo po wystrzale zatrzymało się.
Odpowiedź: v =
√
(M +m) 2Lg sin α
m cos α
6. (*) ”Typowe” zadanie z tematu zasada zachowania energii. Ciało z zerową prędkością
początkową zjezdża ze zbocza o wysokości h. Na dole zbocza uzyskuje prędkość v. Zapisz
zasadę zachowania energii w układzie poruszającym się w prawą stronę z prędkością v.
Czy wszystko się zgadza? Gdzie się podziała energia? Wskazówki można znaleźć na
http://star.tau.ac.il/QUIZ/ (07/99).
7. Mathematica. Rozważmy wahadło matematyczne (mała kulka zawieszona na nieważkiej
nici). Łatwo pokazać, że równanie ruchu dla tego wahadła to: θ̈ + ω02 sin θ = 0 (1),
gdzie θ to kątowe odchylenie wahadła od pionu. Zwykle równanie to rozwiązuje się w
przybliżeniu małych drgań: θ̈ + ω02 θ = 0 (2). Proszę rozwiązać równania (1) i (2) oraz
porównać θ(t) dla obu przypadków. Najlepiej przyjąć φ̇(0) = 0 oraz ”sporą” wartość
φ(0) = φ0 . Jak okres drgań wahadła T zależy od początkowego wychylenia φ0 ?
Strona 2 z 2