RACHUNEK PRAWDOPODOBIE´NSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista nr 9
Zadania z ksia̧żki “Statistics for the Life Sciences”,
trzecie wydanie, autorstwa Myry L. Samuels i Jeffreya A. Witmera.
1. Badaja̧c wymagania żywieniowe krów badacze
zmierzyli przyrost wagi krów podczas 78
dniowego okresu testowego. W poniższej tabeli
podsumowano wyniki dla dwóch ras krów, Hereford (HH) i Brown Swiss/Hereford (SH).
N
ȳ
s
HH
33
18.3
17.8
SH
51
13.9
19.1
Na poziomie istotności α = 0.1 porównaj średni
przyrost wagi u obu ras krów.
2. Po operacji pacjenci czȩsto traca̧ dużo krwi.
Celem badań statystyc-nych bylo porównanie
dwóch lekarstw wplywaja̧cych na przyrost
objȩtości krwi. 25 pacjentów poddano dzialaniu
albuminy a 14 pacjentów poddano dzialaniu
innego lekarstwa. Dla każdego z pacjentów
zmierzono przyrost objȩtości krwi po podaniu
lekarstwa (w ml). Wyniki podsumowano w
poniższej tabeli:
N
śr. przyrost
SE
ALBUMINA
25
490
60
POLYGELATINA
14
240
30
a) Porównaj średni przyrost objȩtości krwi w
obu grupach wykorzystuja̧c test Studenta
na poziomie istotności α = 0.01.
b) Sformuluj naukowy wniosek z testowania.
3. Poddano testom nowe lekarstwo. Hipoteza zerowa stwierdza, że lekarstwo jest nieefektywne
(nie wplywa na rozwój choroby). W wyniku
badań
a) potwierdzono efektywność lekarstwa.
4. Badacze zmierzyli koncentracjȩ czerwonych
krwinek we krwi 27 jaszczurek. Dodatkowo
zbadali czy jaszczurki te byly zarażone pewnym
pasożytem przenosza̧cym malariȩ. Wyniki (w
103 krwinek na mm3 ) podano w poniższej tabeli:
N
ȳ
S
niezarażone
15
843.4
251.2
Oczekiwano, że malaria zmniejsza liczbȩ czerwonych cialek krwi. Czy nasze dane potwierdzaja̧
te oczekiwania ? Zalóżmy, że dane maja̧ rozklad
normalny. Użyj testu Studenta na poziomie istotności α = 0.05 przeciwko odpowiedniej alternatywie jednostronnej.
5. W każdej z poniższych sytuacji podaj wynik
testowania H0 : µ1 = µ2 przeciwko alternatywie
HA : µ1 6= µ2 .
a)
b)
c)
d)
P wartość = 0.085, α = 0.1.
P-wartość=0.065, α = 0.05.
ts = 3.75, df=19, α = 0.01.
ts = 1.85, df= 12, α = 0.05.
6. Oczekujemy, że pewne lekarstwo podnosi poziom
norepinefryny. Aby to zweryfikować planujemy
eksperyment na szczurach. Chcemy użyć jednostronnego testu Studenta na poziomie istotności
α = 0.01. Za istotny efekt uznajemy podniesienie poziomu norepinefryny o 10% i chcemy aby
moc naszego testu dla efektu o tej wielkości byla
równa 80%. Ustal ile szczurów powinieneś wzia̧ć
do grupy zabiegowej i kontrolnej. W obliczeniach wykorzystaj fakt, że wcześniejsze badania
poziomu norepinefryny u szczurów nie bora̧cych
lekarstwa daly wyniki ȳ = 444.2 ng/g i s=69.6
ng/g.
7. Biolog przeprowadzil eksperyment, którego
celem bylo ustalenie czy stres mechaniczny ma
negatywny wplyw na rozwój roślin soi. Mlode
rośliny rozdzielono na dwie grupy, trzynaście
roślin w każdej. Rośliny w grupie zabiegowej
poddano stresowi mechanicznemu wstrza̧saja̧c
nimi przez 20 minut dwa razy dziennie. Po 16
dniach zmierzono dlugość lodyg (w cm) i wyniki
zawarto w poniższej tabeli:
b) nie potwierdzono efektywności lekarstwa.
W obu powyższych przypadkach (a i b) określ
typ blȩdu (pierwszego lub drugiego rodzaju),
który mógl zostać popelniony.
zarażone
12
972.1
245.1
n
ȳ
s
grupa kontrolna
13
30.59
2.13
grupa zabiegowa
13
27.78
1.73
Użyj testu Studenta aby porównać oba zabiegi
na poziomie istotności α = 0.01. Hipoteza alternatywna zaklada, że stres spowalnia wzrost
roślin. Sformuluj wniosek naukowy.
8. Wykorzystaj dane z zadania 2 i skonstruuj 95%
przedzial ufności dla różnicy miȩdzy średnimi
dlugościami lodyg w obu populacjach. Czy
przedzial ufności sugeruje, że wplyw stresu jest
“zauważalny”, jeżeli “zauważalny” wplyw oznacza redukcjȩ średniej dlugości lodygi o co najmniej
samce
samice
1.2
2.2
2.0
2.8
1.2
2.2
2.2
2.9
1.3
2.3
2.4
3.2
1.9
2.3
2.4
3.7
1.9
2.4
2.4
4.0
2.0
2.7
2.8
5.4
2.1
2.9
2.8
10.7
Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikuj hipotezȩ, że “przeciȩtny czas pojedynczego
“czyszczenia” jest taki sam u samców i samic za
pomoca̧
a) testu Wilcoxona-Manna-Whitneya
b) testu Studenta.
a) 1 cm
b) 2 cm
W obu przypadkach użyj testu dwustronnego.
c) 5 cm
Jakie zalożenia sa̧ potrzebne aby stosować test
Studenta. Czy sa̧ one spelnione w naszym przypadku ?
9. Student zanotowalliczbȩ kalorii w 56 daniach serwowanych na stolówce - 28 wegetariańskich i 28
nie wegetariańskich. 95% przedzial ufności dla
różnicy miȩdzy średnia̧ zawartościa̧ kalorii w daniu wegetariańskim i nie wegetariańskim wynosi
(-27, 85). Histogramy zawartości kalorii w obu
grupach nie wykazuja̧ istotnych odchyleń od
rozkladu normalnego. Określ, które z podanych
niżej twierdzeń sa̧ prawdziwe. Odpowiedź uzasadnij.
a) 95% danych zawiera siȩ w przedziale
miȩdzy -27 a 85.
b) Mamy 95% pewności, że µ1 − µ2 jest w
przedziale miȩdzy -27 a 85.
c) W 95% przypadków ȳ1 − ȳ2
pomiȩdzy -27 a 85.
bȩdzie
d) U 95% dań wegetariańskich ilość kalorii zawiera siȩ w przedziale (µ2 − 27, µ2 + 85),
gdzie µ2 to przeciȩtna ilość kalorii w daniu
nie wegetariańskim.
10. Badaja̧c
zachowanie
muszki owocówki badacz obserwowal przez
3 minuty wybrana̧ muszkȩ zamkniȩta̧ w
naczyniu z dziesiȩcioma innymi muszkami
tej samej plci. Jednym z celów eksperymentu bylo ustalenie czy muszki plci
mȩskiej i żeńskiej poświȩcaja̧ inna̧ ilość
czasu na “czyszczenie”.
Eksperyment
powtórzono 15 razy z różnymi muszkami
plci żeńskiej i 15 razy z różnymi muszkami
plci mȩskiej.
Wynikiem pojedynczego
eksperymentu byla średnia dlugość (w
sekundach) pojedynczego “czyszczenia” u
badanej muszki.
3.3
11.7