Stabilnosc nieliniowych uk ladów sterowania. Bezposrednia i

Stabilność nieliniowych ukladów sterowania.
Bezpośrednia i pośrednia metoda Lapunowa
W teorii stabilności nieliniowych ukladów sterowania badamy wrażliwość
trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocza̧tkowego.
(ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [t0 , ∞), x(t0 ) = x0 ) ⇒
(ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [t0 , ∞), x(t0 ) = x0 + δx0 ).
Niech x(t) bȩdzie wyróżniona̧ trajektoria̧ stanu zwia̧zana̧ z wyróżnionym
stanem pocza̧tkowym x0 i z wyróżnionym sterowaniem u(t). Spelnia ona
równanie stanu
ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [0, ∞), x(t0 ) = x0
Jak zmieni siȩ przebieg wyróżnionej trajektorii stanu, jeśli nasta̧pi zaburzenie
wyróżnionego stanu pocza̧tkowego ?
Analizȩ warunków stabilności nieliniowych ukladów sterowania można sprowadzić dobadania stabilności tzw. zerowego punktu równowagi zredukowanego
ukladu sterowania określonego za pomoca̧ przeksztalcenia
(x̃(t) = x(t) − x(t)) ⇒ (x(t) = x̃(t) + x(t)).
Równanie stanu wzglȩdem nowych wspólrzȩdnych stanu przybierze postać
˙ + ẋ(t) = f (x̃(t) + x(t), u(t), t),
x̃(t)
czyli
˙
x̃(t)
= f (x̃(t) + x(t), u(t), t) − f (x(t), u(t), t).
Definiuja̧c prawa̧ stronȩ przeksztalconego równania stanu jako
f˜(x̃(t), t) = f (x̃(t) + x(t), u(t), t) − f (x(t), u(t), t)
możemy zapisać to równanie w postaci
˙
x̃(t)
= f˜(x̃(t), t).
Rozwia̧zanie zerowe x̃(t) = 0 ostatniego równania jest równoważne z wyróżnionym
rozwia̧zaniem x(t) równania pierwotnego. Rozwia̧zanie to jest punktem równowagi
ukladu przeksztalconego, gdyż
f˜(0, t) = f (0 + x(t), u(t), t) − f (x(t), u(t), t) = 0.
1
Tak wiȩc badanie stabilności dowolnej wyróżnionej trajektorii stanu ukladu
sterowania można sprowadzić do badania zerowego punktu równowagi zredukowanego ukladu sterowania.
• Definicja stabilności asymptotycznej w obszarze: Punkt równowagi
xr = 0 zredukowanego ukladu sterowania nazywa siȩ punktem asymptotycznie
stabilnym w obszarze D obejmuja̧cym ten punkt, jeżeli zachodzi implikacja
x(t0 ) ∈ D ⇒ ( lim ||x(t)|| = 0),
t→∞
. P
gdzie ||x|| = ( ni=1 |xi |2 )1/2 .
• Definicja globalnej stabilności asymptotycznej: Punkt równowagi
xr = 0 zredukowanego ukladu sterowania nazywa siȩ punktem globalnie asymptotycznie stabilnym, jeżeli D = Rn .
• Definicja lokalnej stabilności asymptotycznej: Punkt równowagi
xr = 0 zredukowanego ukladu sterowania nazywa siȩ punktem lokalnie asymptotycznie stabilnym, jeżeli D jest zbiorem ograniczonym (jeżeli D leży w kuli
o promieniu ρ).
Badanie stabilności nieliniowych ukladów sterowania za pomoca̧
bezpośredniej metody Lapunowa zwanej także druga̧ metoda̧ Lapunowa.
Metoda Lapunowa stosuje pojȩcia funkcji dodatnio i ujemnie określonej
(pólokreślonej).
Funkcja skalarna V (x, t) wektora stanu i czasu nazywa siȩ funkcja̧ dodatnio
(ujemnie) określona̧ w obszarze D zawieraja̧cym punkt x = 0, jeżeli funkcja
ta w każdym punkcie tego obszaru, różnym od punktu x = 0, przybiera dla
t ≥ t0 wartość dodatnia̧ (ujemna̧) i wartość równa̧ zeru tylko w punkcie x = 0.
Przykladem funkcji dodatnio określonej w przestrzeni Rn jest forma kwadratowa
V (x, t) = c1 x21 + c2 x22 + ... + cn x2n , ci > 0, i = 1, ..., n.
Przykladem funkcji ujemnie określonej w przestrzeni Rn jest forma kwadratowa
2
V (x, t) = −(c1 x21 + c2 x22 + ... + cn x2n ), ci > 0, i = 1, ..., n.
Funkcja skalarna V (x, t) wektora stanu i czasu nazywa siȩ funkcja̧ dodatnio
(ujemnie) pólokreślona̧ w obszarze D zawieraja̧cym punkt x = 0, jeżeli funkcja
ta w każdym punkcie tego obszaru przybiera dla t ≥ t0 wartość nieujemna̧
(niedodatnia̧) i wartość równa̧ zeru w punkcie x = 0.
Przykladem funkcji dodatnio pólokreślonej w przestrzeni Rn jest forma
kwadratowa
V (x, t) = c1 x21 + c2 x22 + ... + cn−1 x2n−1 , ci > 0, i = 1, ..., n − 1.
Funkcja V (x, t) przyjmuje w tym przypadku wartość zerowa̧ w niezerowym
punkcie x = (0, ..., 0, 1)
V (0, ..., 0, 1, t) = 0.
Przykladem funkcji ujemnie pólokreślonej w przestrzeni Rn jest forma kwadratowa
V (x, t) = −(c1 x21 + c2 x22 + ... + cn−1 x2n−1 ), ci > 0, i = 1, ..., n.
Funkcja V (x, t) przyjmuje również w tym przypadku wartość zerowa̧ w
niezerowym punkcie x = (0, ..., 0, 1)
V (0, ..., 0, 1, t) = 0.
W metodzie Lapunowa poslugujemy siȩ pochodna̧ funkcji V (x, t) wzglȩdem
czasu wzdluż trajektorii stanu ukladu. Pochodna ta ma postać
n
n
X
∂V (x, t)
∂V (x, t) X ∂V (x, t)
∂V (x, t) V̇ (x, t) =
ẋi (t) +
=
fi (x, t) +
.
∂x
∂t
∂x
∂t
i
i
i=1
i=1
W szczególności dla ukladów stacjonarnych, równania stanu których nie
zależa̧ od czasu, funkcja V (x) również nie zależy od czasu i jej pochodna
wzglȩdem czasu przyjmuje postać
V̇ (x) =
n
X
∂V (x)
i=1
∂xi
fi (x) = Vx (x)f (x),
gdzie Vx = (Vx1 (x), Vx2 (x), ..., Vxn (x)), a f (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fn (x))T .
3
• Definicja funkcji Lapunowa: Skalarna funkcja V (x, t) wektora stanu x
i czasu t, cia̧gla wraz z pierwszymi pochodnymi cza̧stkowymi wzglȩdem zmiennych stanu, nazywa siȩ funkcja̧ Lapunowa w obszarze D obejmuja̧cym zerowy
punkt równowagi, jeżeli spelnia ona nastȩpuja̧ce warumki:
(1) funkcja ta jest dodatnio określona w obszarze D,
(2) pochodna tej funkcji wzglȩdem czasu wzdluż trajektorii stanu ukladu
jest ujemnie określona (ujemnie pólokreślona) w tym obszarze,
(3) w przypadku nieograniczonego obszaru D = Rn funkcja ta spelnia
warunek promieniowej nieograniczoności lim||x||→+∞ V (x) = +∞.
• Definicja antyfunkcji Lapunowa: Skalarna funkcja V (x, t) wektora
stanu x i czasu t, cia̧gla wraz z pierwszymi pochodnymi cza̧stkowymi wzglȩdem
zmiennych stanu, nazywa siȩ funkcja̧ Lapunowa w obszarze D obejmuja̧cym
zerowy punkt równowagi, jeżeli spelnia ona nastȩpuja̧ce warumki:
(1) funkcja ta jest dodatnio określona w obszarze D,
(2) pochodna tej funkcji wzglȩdem czasu wzdluż trajektorii stanu ukladu
jest dodatnio określona w tym obszarze,
(3) w przypadku nieograniczonego obszaru D = Rn funkcja ta spelnia
warunek promieniowej nieograniczoności lim||x||→+∞ V (x) = +∞.
Twierdzenie Lapunowa o stabilności nieliniowych ukladów sterowania: Punkt równowagi xr = 0 nieliniowego ukladu sterowania jest stabilny
lokalnie asymptotycznie w obszarze D obejmuja̧cym zerowy punkt równowagi,
jeżeli w tym obszarze do rozważanego ukladu sterowania można dobrać funkcjȩ
Lapunowa. Jeżeli pochodna funkcji V̇ jest funkcja̧ ujemnie pólokreślona̧ w
obszarze D, to uklad jest lokalnie stabilny, lecz niekoniecznie asymptotycznie
stabilny. Jeżeli natomiast funkcja Lapunowa jest określona w nieograniczonym
obszarze D = Rn , to uklad jest stabilny globalnie asymptotycznie.
4
Dowód: Ponieważ funkcja V (x(t)) jest z zalożenia monotonicznie maleja̧ca̧
funkcja̧ czasu, gdyż V̇ (x(t)) < 0, wiȩc punkt opisuja̧cy trajektoriȩ stanu przesuwa siȩ w kierunku zmniejszania siȩ wartości funkcji V .
x2
6
poziomice f unkcji
Lapunowa V (x) = const
c1>c2>c3
'$
rc1
r
c2
rc3
m
&%
- x1
Jeśli przesuwanie to nie da̧ży do punktu zerowego x = 0 (w którym funkcja
V ma najmniejsza̧ wartość), to oznacza to , że trajektoria stanu nawija siȩ
asymptotycznie na pewna̧ krzywa̧ graniczna̧, na której pochodna V̇ przyjmuje
(jako funkcja cia̧gla na zbiorze zwartym) wartość maksymalna̧ V̇ = −b, b > 0.
Wynika to z twierdzenia Weierstrassa o osia̧ganiu kresu dolnego i górnego przez
funkcjȩ cia̧gla̧ na zbiorze zwartym.
5
• Definicja zbioru zwartego: Zbiór X w przestrzeni unormowanej nazywa siȩ zbiorem zwartym, jeżeli z każdego cia̧gu {xk } elementów zbioru X
można wybrać podcia̧g {xkl } zbieżny do pewnego elementu x ∈ X.
W przestrzeni X ⊂ Rn zbiór zwarty to zbiór domkniȩty i ograniczony.
• Twierdzenie Weierstrassa: Funkcja cia̧gla F : Rn → R osia̧ga maksimum i minimum na zbiorze zwartym X ⊂ Rn .
Dowód: Niech c = supx∈X F (x) (kres górny wartości F na X). Oznacza to, że istnieje cia̧g {xk } elementów zbioru X taki, że F (xk ) → c. Ze
wzglȩdu na zwartość zbioru X z cia̧gu {xk } można wybrać podcia̧g {xkl }
taki, że xkl → x̂, x̂ ∈ X. Ponieważ funkcja F jest cia̧gla z zalożenia, wiȩc
F (x̂) = limxkl →x̂ F (xkl ) i F (x̂) = c. Tak wiȩc funkcja F osia̧ga kres górny na
elemencie x̂ należa̧cym do zbioru X. Analogiczny dowód dotyczy osia̧gania
kresu dolnego.
Implikuje to zależności
Z t
V = V0 +
V̇ dt ≤ V0 − bt ⇒ V < 0,
0
gdzie t jest dostatecznie duża̧ chwila̧ czasu. Przeczy to jednak dodatniości
funkcji V .
6
x2
6
poziomice f unkcji
Lapunowa V (x) = const
c1>c2>c3
'$
rc1
r
r9r
c2
c3
r }
- x1
&%
Twierdzenie Lapunowa o niestabilności nieliniowych ukladów sterowania: Punkt równowagi xr = 0 nieliniowego ukladu sterowania jest niestabilny w obszarze D obejmuja̧cym ten punkt, jeżeli w tym obszarze do
rozważanego ukladu sterowania można dobrać antyfunkcjȩ Lapunowa. Oznacza to, że zaburzona trajektoria stanu wykroczy poza obszar D. Jeżeli natomiast antyfunkcja Lapunowa jest określona w nieograniczonym obszarze
D = Rn , to uklad jest niestabilny globalnie tj. zaburzona trajektoria stanu
nieograniczenie oddala siȩ od punktu równowagi.
Dowód: W tym przypadku punkt bieża̧cy trajektorii stanu przesuwa siȩ
w kierunku zwiȩkszania siȩ funkcji V . W obszarze tym V̇ > 0, przy czym
pochodna V̇ przyjmuje (jako funkcja cia̧gla na zbiorze zwartym) wartość miRt
nimalna̧ V̇ = b, b > 0. Implikuje to zależności V = V0 + 0 V̇ dt ≥ V0 + bt.
Istnieje wiȩc dostatecznie duża chwila czasu t, dla której funkcja V bȩdzie
wiȩksza od jej maksymalnej wartości w obszarze D. Oznacza to, że trajektoria
stanu wyjdzie na zewna̧trz obszaru D. Jeżeli zaś D = Rn , to wartości funkcji V bȩda̧ nieograniczenie narastać i punkt bieża̧cy trajektorii stanu bȩdzie
nieograniczenie oddalać siȩ od punktu równowagi tj.
lim ||x(t)|| = +∞.
t→+∞
7
• Dobór funkcji Lapunowa w postaci form kwadratowych.
Przyklad 1: Równania stanu ukladu maja̧ postać
ẋ1 = −x1 + x2 + ūx1 (x21 + x22 ), ẋ2 = −x1 − x2 + ūx2 (x21 + x22 ),
gdzie ū > 0.
Przewidujemy funkcjȩ Lapunowa w postaci formy kwadratowej
V (x) = c1 x21 + c2 x22 , ci > 0, i = 1, 2.
ci > 0, i = 1, 2 ⇒ V (x) > 0.
V̇ (x) = 2c1 x1 ẋ1 + 2c2 x2 ẋ2 =
2c1 x1 (−x1 + x2 + ūx1 (x21 + x22 )) + 2c2 x2 (−x1 − x2 + ūx2 (x21 + x22 ),
= −2c1 x21 + 2c1 x1 x2 + 2c1 ūx21 (x21 + x22 ) − 2c2 x1 x2 − 2c2 x22 + 2c2 ūx22 (x21 + x22 )
c1 = c2 = c ⇒ V̇ (x) = 2c(x21 + x22 )(ū(x21 + x22 ) − 1).
Uklad jest wiȩc lokalnie asymptotycznie stabilny w obszarze x21 + x22 < 1/ū.
Przyklad 2: Równania stanu ukladu maja̧ postać
ẋ1 = x2 − ūx1 (x21 + x22 ), ẋ2 = −x1 − ūx2 (x21 + x22 ),
gdzie ū > 0.
Przewidujemy funkcjȩ Lapunowa w postaci formy kwadratowej
V (x) = c1 x21 + c2 x22 , ci > 0, i = 1, 2.
ci > 0, i = 1, 2 ⇒ V (x) > 0.
V̇ (x) = 2c1 x1 ẋ1 + 2c2 x2 ẋ2 =
2c1 x1 (x2 − ūx1 (x21 + x22 )) + 2c2 x2 (−x1 − ūx2 (x21 + x22 ))
c1 = c2 = c ⇒ −2cū(x21 + x22 )2 < 0.
Ponieważ funkcja V spelnia warunek promieniowej nieograniczoności
lim
||x||→+∞
c(x21 + x22 ) = +∞,
wiȩc uklad jest globalnie asymptotycznie stabilny.
8
Przyklad 3: Równania stanu ukladu maja̧ postać
ẋ1 = −ūx2 + x31 , ẋ2 = x1 + x32 .
Przewidujemy funkcjȩ Lapunowa w postaci formy kwadratowej
V (x) = c1 x21 + c2 x22 , ci > 0, i = 1, 2.
ci > 0, i = 1, 2 ⇒ V (x) > 0.
V̇ (x) = 2c1 x1 ẋ1 + 2c2 x2 ẋ2 =
2c1 x1 (−ūx2 + x21 ) + 2c2 x2 (x1 + x32 ))
c1 = 1, c2 = ū ⇒ 2x41 + 2ūx42 > 0.
Tak wiȩc funkcja V okazala siȩ antyfunkcja̧ Lapunowa określona̧ w calej
przestrzeni Rn , a wiȩc uklad jest globalnie niestabilny.
• Dobór funkcji Lapunowa w postaci uogólnionych form kwadratowych
(metoda Krasowskiego).
Przewidujemy funkcjȩ Lapunowa w postaci uogólnionej formy kwadratowej
bezpośrednio powia̧zanej z równaniami stanu ukladu
.
V (x) = f T (x)M f (x),
gdzie f (x) oznacza prawa̧ stronȩ równania stanu zredukowanego ukladu sterowania tj. równania ẋ = f (x).
.
Niech J(x) = ∂f (x)/∂x oznacza macierz Jacobiego. W tym zapisie uzyskujemy
f˙(x) = ∂f (x)/∂ ẋ = J(x)f (x), f˙T (x) = f T (x)J T (x)
oraz
V̇ (x) = f˙T (x)M f (x) + f T (x)M f˙(x) = f T (x)J T (x)M f (x) + f T (x)M J(x)f (x)
.
= f T (x)(J T (x)M +M J(x))f (x) = −f T (x)N (x)f (x), −N (x) = J T (x)M +M J(x).
Zakladamy dodatnio określona̧ macierz M np. M = I i wyznaczamy macierz N (x). Jeśli ta ostatnia macierz jest dodatnio określona w obszarze D, to
uklad jest stabilny asymptotycznie w tym obszarze.
9
Przyklad: Równania stanu zredukowanego nieliniowego ukladu sterowania maja̧ postać
ẋ1 = ū(−x31 − x2 ), ẋ2 = ū(x1 − x52 ),
gdzie ū > 0 jest statycznym sterowaniem. Przyjmuja̧c M = I uzyskujemy
V (x) = f T (x)f (x) = ū2 ((x31 + x2 )2 ) + (x1 − x52 )2 ) ⇒ V (x) > 0.
−3x21 −1
J(x) = ū
1
−5x42
!
!
2
0
6x
1
.
, N (x) = −(J T (x) + J(x)) = ū
0 10x42
Macierz N (x) jest dodatnio określona w calej przestrzeni stanu, a wiȩc uklad
jest globalnie asymptotycznie stabilny.
Stabilność zamkniȩtych nieliniowych ukladów sterowania - metoda Lurie
Urza̧dzenie steruja̧ce
-
ϕ()
sterowanie -
Obiekt sterowania
G(s)
wyjście-
Zalożenia:
• Funkcja ϕ() jest nieliniowa̧ funkcja̧ taka̧, że ϕ(0) = 0, ϕ() > 0 dla
6= 0,
• Transmitancja czȩści liniowej ukladu jest wymierna G(s) = L(s)/M (s) i
równanie M (s) = 0 ma pojedyncze rzeczywiste i ujemne pierwiastki s1 , s2 , ..., sn .
Stosujemy rozklad transmitancji na ulamki proste
G(s) =
n
X
i=1
10
ci
.
s − si
Przechodzimy od operatorowego opisu ukladu do jego opisu za pomoca̧
wektora stanu.
1
U (s) ⇒ ẋi (t) = si xi (t) + u(t)
s − si
n
X
u(t) = ϕ((t)), (t) = −y(t), y(t) =
ci xi (t)
Xi (s) =
i=1
Mamy wiȩc
ẋi (t) = si xi (t) + ϕ(−
n
X
ci xi (t)), i = 1, ..., n
i=1
czyli
ẋ(t) = Ax(t) + Bϕ(−cx(t)),
gdzie
.
.
A = diag1≤i≤n (si ), B = (1, 1, ..., 1)T , c = (c1 , c2 , ..., cn ).
Proponujemy funkcjȩ Lapunowa w postaci sumy dwóch skladowych
V (x) = V1 (x) + V2 (x),
gdzie
n
n
n
X
.
. X X ai aj xi xj
,
V1 (x) = 0.5
αi x2i , V2 (x) = −
s
+
s
i
j
i=1
i=1 j=1
gdzie αi > 0.
Ponieważ
∞
Z
e(si +sj )t dt =
0
1
1
e(si +sj )t |∞
,
0 = −
si + sj
si + sj
wiȩc
V (x) = 0.5
n
X
αi x2i
Z
+
0
i=1
∞
n
X
(
ai xi esi t )2 dt.
i=1
Oznaczamy
R = 0.5diag(αi ), P = (pij ), pij = −
11
ai aj
.
si + sj
Oznacza to, że
V (x) = xT (R + P )x = xT Qx, Q = R + P.
Sta̧d
V̇ (x) = xT (AQ + QA)x + xT (2QB − cT )ϕ() − ϕ().
Uzyskujemy sta̧d nastȩpuja̧ce warunki stabilności ukladu zamkniȩtego:
• Macierz AQ + QA powinna być ujemnie określona,
• Wspólczynniki ai , i = 1, ..., n powinny być dobrane tak, aby bylo spelnione
równanie 2QB − cT = 0.
.
Przyklad: Czȩść nieliniowa ukladu opisywana jest funkcja̧ ϕ() = 3 , zaś
czȩść liniowa opisywana jest transmitancja̧
.
G(s) =
26s + 45
.
3(s2 + 3s + 2)
Z rozkladu transmitancji na ulamki proste uzyskujemy
G(s) =
19/3
7/3
+
,
s+1 s+2
a wiȩc s1 = −1, s2 = −2, c1 = 19/3, c2 = 7/3, A = diag(−1, −2). Niech
α1 = 1, α2 = 1/2 tj. V1 (x) = 12 x21 + 14 x22 . Określamy macierz Q = R + P , gdzie
!
1/2 0
R=
,
0 1/4
P =
!
a21 /2 a1 a2 /3
.
a1 a2 /2 a22 /4
Równanie 2QB − cT = 0 przybiera postać
! !
1 + a21 2a31 a2
1
=
2
a
2a1 a2
1
2
1
+
3
2
2
!
19/3
.
7/3
Określamy rozwia̧zanie ostatniego równania uzyskuja̧c wspólczynniki a1 =
2, a2 = 1 oraz macierze
!
2 2/3
P =
,
2/3 1/4
12
Q=
!
5/2 2/3
,
2/3 1/2
AT Q + QA =
!
−5 −2
.
−2 −2
Sprawdzamy warunek ujemnej określoności ostatniej macierzy tj.
(−1)k ∆k > 0, k = 1, ..., n,
gdzie ∆k sa̧ minorami glównymi macierzy. Ponieważ warunek ten jest spelniony,
wiȩc badany uklad nieliniowy jest stabilny globalnie asymptotycznie.
Metoda funkcji Lapunowa dla liniowych ukladów sterowania
Przyjmujemy dla zredukowanego liniowego ukladu sterowania ẋ = Ax
funkcjȩ Lapunowa w postaci V (x) = xT M x, gdzie macierz M jest dodatnio
określona ( M > 0). Tak wiȩc V (x) > 0 dla x ∈ Rn .
V̇ (x) = ẋT M x + xT M ẋ = xT (AT M + M A)x = −xT N x, −N = AT M + M A.
Oznacza to, że zastosowanie metody funkcji Lapunowa do badania stabilności liniowych ukladów sterowania polega na doborze macierzy dodatnio
określonej M > 0 i macierzy dodatnio określonej N > 0, które powia̧zane sa̧
zależnościa̧ −N = AT M + M A.
Przyklad 3: Niech macierz stanu zredukowanego liniowego ukladu sterowania ma postać
!
−3 −7
A=
.
0 −4
Zdefiniujemy macierz M jako
M=
m1 m2
m2 m3
!
Zalożymy macierz N jako macierz dodatnio określona̧ N = I i rozwia̧żemy
równanie macierzowe.
!
!
!
!
!
−1 0
−3 0
m1 m2
m1 m2
−3 −7
=
+
.
0 −1
−7 −4
m2 m3
m2 m3
0 −4
13
Sta̧d −1 = −6m1 , 0 = −7m2 − 7m1 , −1 = −14m2 − 8m3 tj.
!
1/6 −1/6
M=
.
−1/6 5/12
Macierz M jest dodatnio określona, a wiȩc uklad jest globalnie asymptotycznie stabilny.
Twierdzenie: Jeżeli punkt równowagi xr = 0 liniowego ukladu sterowania
jest asymptotycznie stabilny, to do każdej macierzy N > 0 można dobrać
macierz M > 0 spelniaja̧ca̧ równanie −N = AT M + M A.
Dowód: Rozważmy macierzowe równanie różniczkowe Lapunowa
L̇(t) = AT L(t) + L(t)A, L(0) = N.
Przewidujemy rozwia̧zanie tego równania w postaci
T
L(t) = eA t N eAt .
Weryfikacja rozwia̧zania równania
T
T
L̇(t) = AT eA t N eAt + eA t N eAt A = AT L(t) + L(t)A.
Weryfikacja warunku pocza̧tkowego
T
L(0) = eA 0 N eA0 = N.
Calkujemy równanie różniczkowe Lapunowa od zera do nieskończoności
T
Z
∞
L(∞) − L(0) = A
Z
L(t)dt +
0
∞
L(t)dtA.
0
Ponieważ macierz A ma z zalożenia wartości wlasne w lewej pólplaszczyźnie,
wiȩc limt→∞ eAt = 0 i L(∞) = 0.
Wobec tego zachodzi równość
Z ∞
Z ∞
T
L(t)dt +
L(t)dtA
−N = A
0
0
czyli
Z
M=
∞
Z
L(t)dt =
0
0
Ponieważ
14
∞
T
eA t N eAt dt.
T
X
eA t N eAt = ...
Cij tp e(si +sj )t ... ,
i,j=1,...,n
R∞
a si maja̧ ujemne czȩści rzeczywiste, to 0 L(t)dt zawsze istnieje. Macierz
R∞ T
M = 0 eA t N eAt dt jest dodatnio określona, gdyż
T
T
∞
Z
T
eA t N eAt dt)x
x Mx = x (
0
Z
∞
At
T
Z
At
(e x) N (e x)dt =
=
∞
z T (t)N z(t)dt > 0,
0
0
gdyż macierz N jest dodatnio określona, zaś z(t) > 0 dla x 6= 0.
Linearyzacja ukladów sterowania.
Pośrednia metoda Lapunowa
Pośrednia (pierwsza) metoda Lapunowa badania stabilności nieliniowych ukladów sterowania
Metoda ta określona jest jako pośrednia, gdyż za pomoca̧ tej metody badamy stabilność ukladów nieliniowych pośrednio na podstawie badania stabilności ich liniowych aproksymacji.
Metoda ta polega na linearyzacji zredukowanego nieliniowego równania
stanu ẋ = f (x) w otoczeniu zerowego punktu równowagi: ẋ = Ax + r(x), gdzie
A = (∂fi /∂xj ) jest macierza̧ Jacobiego ukladu, a r(x) jest nieskończenie mala̧
rzȩdu wyższego niż x tj. lim||x||→0 r(x)/x = 0. Uklad nieliniowy zastȩpujemy
jego liniowa̧ aproksymacja̧ ẋ = Ax i formulujemy warunki stabilności lokalnej ukladu nieliniowego (w malym otoczeniu punktu równowagi) wynikaja̧ce z
badania stabilności liniowej aproksymacji tego ukladu.
Jeśli w pierwotnym ukladzie badamy niezerowy statyczny punkt pracy
(x̄, ū), to obliczanie macierzy Jacobiego w zerowym zredukowanym punkcie
równowagi A = (∂fi /∂xj )|x̃=0 jest równoważne z obliczaniem tej macierzy w
statycznym punkcie pracy ukladu pierwotnego A = (∂fi /∂xj )|x=x̄,u=ū , co wy-
15
nika z określenia przeksztalcenia redukcyjnego x = x̃ + x̄.
Pośrednia metoda Lapunowa: Uklad nieliniowy jest lokalnie stabilny
asymptotycznie w zerowym punkcie równowagi, jeżeli jego liniowa aproksymacja jest stabilna asymptotycznie w tym punkcie. Uklad nieliniowy jest niestabilny , jeżeli jego liniowa aproksymacja jest niestabilna. Jeżeli liniowa
aproksymacja ukladu jest stabilna, lecz niekoniecznie asymptotycznie, to o stabilności ukladu nieliniowego nic nie można wnioskować na podstawie badania
stabilności ukladu zlinearyzowanego.
Dowód: Zalóżmy, że dobraliśmy funkcjȩ Lapunowa dla ukladu zlinearyzowanego:
V (x) = xT M x, V̇ (x) = −xT N x, M > 0, N > 0.
Uwzglȩdniamy resztȩ z liniowej aproksymacji
V̇ (x) = xT (A + r(x))T M + M (A + r(x))
= xT (AT M + M A)x + xT (rT M + M r(x))x = −xT N x + 2r(x)x.
Dla malych x wyrażenie 2r(x)x jest male w porównaniu z wyrażeniem
x N x i o znaku wyrażenia V̇ (x) decyduje czlon −xT N x. Ponieważ jest on
ujemny, wiȩc uklad nieliniowy jest lokalnie asymptotycznie stabilny (lokalnie
w obszarze, w którym ||2r(x)x|| < ||xT N x||.
Podobnie dla dodatniego wyrażenia −xT N x (uklad zlinearyzowany jest
niestabilny) o znaku pochodnej V̇ (x) decyduje lokalnie dodatnie wyrażenie
−xT N x a zatem uklad nieliniowy jest niestabilny w malym otoczeniu punktu
równowagi.
Jeżeli liniowa aproksymacja ukladu jest stabilna, lecz niekoniecznie asymptotycznie, to wyrażenie −xT N x może przyjmować niezerowe wartości dla stanów
niezerowych i o znaku wyrażenia −xT N x + 2r(x)x nic nie można powiedzieć.
Przyklad: Proces mieszania substancji prowadzony jest w mieszalniku,
do którego doprowadzany jest strumień substancji o maym stȩżeniu skladnika
użytecznego c1 z natȩżeniem u1 (t) oraz strumień substancji o dużym stȩżeniu
skladnika użytecznego c2 z natȩżeniem u2 (t). Wyróżniaja̧c w charakterze
zmiennych stanu zapelnienie mieszalnika x1 (t) w chwili t oraz ilość substancji użytecznej x2 (t) w mieszalniku w chwili t można równania stanu procesu
przedstawić w postaci
T
16
√
ẋ1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − α x1 (t),
√
ẋ2 (t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) − αx2 (t)/ x1 (t).
Zakladamy,że proces prowadzony jest w statycznym punkcie pracy ukladu
spelniaja̧cym równania
√
√
0 = ū1 + ū2 − α x̄1 , 0 = c1 ū1 + c2 ū2 − αx̄2 / x̄1 .
Linearyzujemy uklad sterowania obliczaja̧c macierz Jacobiego w statycznym
punkcie pracy
α
∂f1 (x̄, ū)/∂x1 = − √ , ∂f1 (x̄, ū)/∂x2 = 0,
2 x̄1
∂f2 (x̄, ū)/∂x1 =
αx̄2
3/2
2x̄1
α
, ∂f2 (x̄, ū)/∂x2 = − √ .
x̄1
Tak wiȩc

− 2x̄α0.5
1

A=
αx̄
2
3/2
2x̄1
0
− √αx̄1

 , sI − A =
√α
2 x̄1
2
− αx̄3/2
2x̄1
s+
0
s+
!
√α
x̄1
i
α
α
det(sI − A) = (s + √ )(s + √ ).
2 x̄1
x̄1
Wartości wlasne ukladu zlinearyzowanego s1 = − 2√αx̄1 i s2 = − √αx̄1 leża̧
w lewej pólplaszczyźnie zmiennej zespolonej, a zatem uklad zlinearyzowany
jest asymptotycznie stabilny dla dowolnych dodatnich wartości parametru α.
Oznacza to, że uklad nieliniowy jest lokalnie asymtotycznie stabilny dla dowolnych dodatnich wartości parametru α.
Przyklad: Chemiczny proces produkcyjny A + B → C polegaja̧cy na
syntezie substancji użytecznej C ze skladników surowcowych A i B opisywany
jest za pomoca̧ równań stanu
ẋ1 (t) = u1 (t) − x1 (t) − x1 (t)xα2 (t),
ẋ2 (t) = u2 (t) − x2 (t) − xβ1 (t)x2 (t).
Zakladamy, że proces prowadzony jest w statycznym punkcie pracy ukladu
(x̄1 , x̄2 ) = (1, 1) wymuszanym przez statyczne sterowanie (ū1 , ū2 ) = (2, 2).
Równania punktu pracy ukladu przybieraja̧ postać
17
0 = ū1 − x̄1 − x̄1 x̄α2 ,
0 = ū2 − x̄2 − x̄β1 x̄2 .
Linearyzujemy uklad sterowania obliczaja̧c macierz Jacobiego w statycznym punkcie pracy
= −α,
∂f1 (x̄, ū)/∂x1 = −1 − x̄α2 = −2, ∂f1 (x̄, ū)/∂x2 = −x̄1 αx̄α−1
2
∂f2 (x̄, ū)/∂x1 = −β x̄β−1
x̄2 , ∂f2 (x̄, ū)/∂x2 = −1 − x̄β1 = −2.
1
Tak wiȩc
A=
!
−2 −α
, sI − A =
−β −2
s+2
α
β
s+2
!
i
det(sI − A) = (s + 2)2 − αβ = s2 + 4s + 4 − αβ.
Stosuja̧c kryterium Hurwitza stabilności ukladów liniowych uzyskujemy
warunek stabilności parametrycznej αβ < 4.
Dla poprawy wlasności stabilnościowych procesu wprowadzamy sprzȩżenie
zwrotne
u1 (t) = ū1 − κ1 (x1 (t) − x̄1 ), u2 (t) = ū2 − κ2 (x2 (t) − x̄2 ),
gdzie κ1 i κ2 sa̧ dodatnimi wspólczynnikami sprzȩżenia zwrotnego
Jeśli stȩżenie skladnika xi jest wiȩksze od zadanego poziomu, to sprzȩżenie
zwrotne zapewni jego zmniejszenie, jeśli zaś stȩżenie to jest mniejsze od zadanego poziomu, to sprzȩżenie zwrotne zapewni jego zwiȩkszenie.
Równania stanu po wprowadzeniu sprzȩżenia zwrotnego przybiora̧ postać
ẋ1 (t) = ū1 − κ1 (x1 (t) − x̄1 ) − x1 (t) − x1 (t)xα2 (t),
ẋ2 (t) = ū2 − κ2 (x2 (t) − x̄2 ) − x2 (t) − xβ1 (t)x2 (t).
Uzyskujemy w tym przypadku
A=
−2 − κ1
−α
−β
−2 − κ2
!
, sI − A =
18
s + 2 + κ1
α
β
s + 2 + κ2
!
i
det(sI − A) = (s + 2 + κ1 )(s + 2 + κ2 ) − αβ
= s2 + (4 + κ1 + κ2 )s + 4 + 2(κ1 + κ2 ) + κ1 κ2 − αβ > 0.
Na podstawie kryterium Hurwitza uzyskujemy nowy warunek stabilności
parametrycznej
αβ < 4 + 2(κ1 + κ2 ) + κ1 κ2 .
Wprowadzenie sprzȩżenia zwrotnego poprawilo wlasności stabilnościowe ukladu
rozszerzaja̧c jego obszar stabilności parametrycznej.
19
Stabilność okresowych procesów sterowania
Niech wyróżniony proces sterowania bȩdzie procesem τ -okresowym tj.
x(t + τ ) = x(t), u(t + τ ) = u(t)
spelniaja̧cym równanie stanu z warunkiem okresowości
ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [0, τ ], x(τ ) = x(0),
przy czym funkcja f może bezpośrednio zależeć okresowo od czasu tj.
f (x, u, t + τ ) = f (x, u, t)
dla każdej dopuszczalnej pary (x, u) (okresowy przebieg procesu jest wymuszany przez okresowo zmienne warunki funkcjonowania obiektu sterowania)
albo funkcja ta może pośrednio okresowo zależeć od czasu ze wzglȩdu na okresowy przebieg sterowania
f (x, u(t + τ )) = f (x, u(t))
(okresowy przebieg procesu wymuszany jest przez stosowanie okresowego sterowania).
Zredukowany uklad sterowania dla wyróżnionego okresowego procesu sterowania przybiera postać
˙
x̃(t)
= f˜(x̃(t), t),
f˜(x̃(t), t) = f (x̃(t) + x(t), u(t), t) − f (x(t), u(t), t)
Uklad zlinearyzowany bȩdzie wiȩc w tym przypadku ukladem niestacjonarnym z macierza̧ stanu zależna̧ od czasu
A(t) = fx (x(t), u(t)), A(t + τ ) = A(t).
Zastosowanie pośredniej (pierwszej) metody Lapunowa do badania stabilności okresowych procesów sterowania sprowadza siȩ do badania stabilności
niestacjonarnego ukladu liniowego
ẋ(t) = A(t)x(t), A(t + τ ) = A(t).
20
Lemat: Znormalizowana macierz fundamentalna Φ(t) = Φ(t, 0) liniowego
okresowego ukladu sterowania posiada reprezentacjȩ
Φ(t) = Γ (t)eΛt , t ∈ [0, +∞),
gdzie Γ (t) jest nieosobliwa̧ macierza̧ okresowa̧, zaś Λ jest macierza̧ stala̧.
Dowód: Macierz Φ(t) spelnia z definicji równanie
Φ̇(t) = A(t)Φ(t), Φ(0) = I.
Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że każda macierz fundamentalna Φ̃(t)
może być uzyskana ze znormalizowanej macierzy fundamentalnej Φ(t) za pomoca̧ nieosobliwego przeksztalcenia liniowego C tj. Φ̃(t) = Φ(t)C. Ponieważ
dla ukladu okresowego Φ(t + τ ) jest jego macierza̧ fundamentalna̧
d(t + τ )
dΦ(t + τ )
= Φ0 (t + τ )
= A(t + τ )Φ(t + τ ) = A(t)Φ(t + τ ),
dt
dt
wiȩc Φ(t + τ ) = Φ(t)C i Φ(τ ) = C (t = 0). Oznacza to, że Φ(t + τ ) = Φ(t)Φ(τ ).
Z teorii macierzy wiadomo, że każda macierz nieosobliwa posiada reprezentacjȩ logarytmiczna̧ tj.
Φ(τ ) = eΛτ
.
Jeśli macierz Φ(τ ) posiada jednokrotne wartości wlasne s1 , s2 , ..., sn , to reprezentacjȩ taka̧ można latwo uzyskać stosuja̧c nieosobliwe przeksztalcenie diagonalizuja̧ce P :
P −1 Φ(τ )P = diag1≤i≤n (si ).
Macierz P jest określona przez wektory wlasne Pi , i = 1, ..., n macierzy
Φ(τ ) zwia̧zane z poszczególnymi wartościami wlasnymi. Wektory te spelniaja̧
równania
Φ(τ )Pi = si Pi , i = 1, ..., n
i moga̧ być wyznaczone przez rozwia̧zanie tych równań. Ponieważ det(si I −
Φ(τ )) = 0, wiȩc jedna̧ wspólrzȩdna̧ wektora Pi zakladamy jako dowolna̧ wartość
niezerowa̧, a pozostale wspólrzȩdne tego wektora obliczamy z ukladu n − 1
21
równań liniowo niezależnych. Wartości wlasne si przedstawiamy w postaci
wykladniczej
1
si = eλi τ , λi = (ln|si | + (argsi + 2kπ)).
τ
i uzyskujemy zależności
Φ(τ ) = P diag1≤i≤n (si ) P −1 = P diag1≤i≤n (eλi τ ) P −1
= P (I + diag1≤i≤n (λi τ ) + diag1≤i≤n ((λi τ )2 /2!) + ...) P −1
1
= I+P diag1≤i≤n (λi τ ) P −1 + P diag1≤i≤n (λi τ ) P −1 P diag1≤i≤n (λi τ ) P −1 +...
2!
P diag1≤i≤n (λi τ ) P −1
P diag1≤i≤n (λi ) P −1 τ
=e
=e
= eΛτ , Λ = P diag1≤i≤n (λi ) P −1
Mamy wiȩc
Φ(t) = Φ(t)e−Λt eΛt = Γ (t)eΛt , Γ (t) = Φ(t)e−Λt .
Z zależności
Γ (t + τ ) = Φ(t + τ )e−Λ(t+τ ) = Φ(t)Φ(τ )e−Λτ e−Λt = Φ(t)e−Λt = Γ (t)
wynika,że macierz Γ (t) jest macierza̧ τ -okresowa̧. Elementy tej macierzy sa̧
jednostajnie ograniczone na osi czasu jako cia̧gle funkcje okresowe.
Twierdzenie: Liniowy okresowy uklad sterowania jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości wlasne macierzy Φ(τ ) leża̧
wewna̧trz kola jednostkowego |si | < 1, i = 1, ..., n.
Dowód: Skladowa rozwia̧zania liniowego ukladu okresowego pochodza̧ca
od zaburzenia warunku pocza̧tkowego ma postać
x(t) = Γ (t)eΛt δx0 .
Ze wzglȩdu na jednostajna̧ ograniczoność macierzy Γ (t) na osi czasu zachodzi
oszacowanie
||x(t)|| ≤ c||eΛt ||.
Oznacza to, że badany uklad jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy,
gdy wartości wlasne λi macierzy Λ leża̧ w lewej pólplaszczyźnie zmiennej zespolonej. Warunek ten jest jednak równoważny z polożeniem wartości wlasnych
macierzy Φ(τ ) wewna̧trz kola jednostkowego z uwagi na zwia̧zek
si = eλi τ .
22
Przyklad: Niech macierz A(t) bȩdzie określona jak nastȩpuje:
!
!
0 1
a1 0
A(t)t∈[0,π) = Ā =
, A(t)t∈[π,2π) = Ā¯ =
−1 0
0 a2
Mamy wiȩc
Φ(t) = eĀt
!
cos t sin t
, Φ(π) =
−sin t cos t
!
−1 0
, Φ(2π) =
0 −1
−ea1 π
0
0
−ea2 π
!
.
Sta̧d wynika, że si = −eai π i warunek stabilności ukladu okresowego przybiera postać ai < 0, i = 1, 2..
23