1 + z2, y

Analiza II ∗
Egzamin
20 stycznia 2003r.
1. Dla (x, y, z) ∈ R3 przyjmijmy
√
√
F (x, y, z) = x/ 1 + z 2 , y/ 1 + z 2
oraz
V (x, y, z) = (xz, yz, 1 + z 2 ).
Niech f : R3 −→ R bedzie funkcja klasy C ∞ . Udowodnić równoważność nastepujacych
‘
‘
‘
‘
warunków:
(1) Istnieje taka funkcja g : R2 −→ R klasy C ∞ , że f = g ◦ F .
(2) Dla każdego p ∈ R3 mamy ∇f (p)⊥V (p).
2. Dana jest skończona miara µ określona na σ-ciele M podzbiorów przestrzeni Ω.
Atomem nazwiemy taki zbiór A ∈ M, że µ(A) > 0 oraz
M 3 B ⊆ A =⇒ µ(B) ∈ {µ(A), 0}.
Udowodnić istnienie rozbicia Ω = Ω1 ∪ Ω2 spelniajacego nastepujace warunki:
‘
‘
‘
(1) Zbiór Ω1 jest skończona lub przeliczalna suma parami rozlacznych atomów (lub jest
‘
‘
‘
‘
pusty).
(2) Zbiór Ω2 nie zawiera atomów.
3. Zbiór M (t) ⊆ R3 dla t ∈ R jest dany nastepujacym ukladem równań:
‘
‘
(
x2 + y 2 + z 2 = 1
x2 − y 2 + tz 3 = 0.
Dla jakich wartości t zbiór M (t) jest rozmaitościa klasy C ∞ , dyfeomorficzna z okregiem?
‘
‘
‘
4. Niech X = C[0, 1] = (przestrzeń funkcji rzeczywistych, ciaglych na odcinku [0, 1], z
‘
norma supremum). Określmy zbiór
‘
S = {f ∈ X :
1
Z
f 4 (x)dx = 1/5}
0
i weźmy funkcje p ∈ S, p(x) = x. Udowodnić, że stożek styczny Tp S jest domknieta
‘
‘ ‘
podprzestrzenia liniowa nastepujacej postaci:
‘
‘
‘
‘
Tp S = {h ∈ X :
Z
1
h(x1/4 )dx = 0}.
0
5. Niech n ∈ N \ {0} i T = S 1 ≈ R/Z, tak wiec T n ⊆ Cn jest n-wymiarowym torusem.
‘
Opisać wszystkie izometrie τ : T n −→ T n zachowujace orientacje.
‘
‘
1