O OSZCZĘDZANIU I DŁUGACH Z EXCELEM

26
NAUCZANIE MATEMATYKI
Mirosław Majewski
O OSZCZĘDZANIU
I DŁUGACH Z EXCELEM
Niewiele mamy programów komputerowych tak bardzo użytecznych i tak mało docenianych przez nauczycieli matematyki jak arkusz kalkulacyjny, np. Excel. Mamy go na prawie
każdym komputerze, jest więc zawsze dostępny do użycia,
a stosujemy go niezmiernie rzadko lub wcale.
Na początek zauważmy, że ponieważ Excel zawsze operuje na
wartościach liczbowych dyskretnych, to funkcja w Excelu jest
reprezentowana przez dyskretny ciąg wartości dla wybranych
elementów z dziedziny funkcji. W ten sposób modele funkcji
w Excelu będą bardzo podobne do modeli ciągów. Jedyna subtelna różnica może polegać na tym, że modele ciągów bedą
zawsze używały jako argumentów liczb całkowitych, podczas
gdy modele funkcji mogą używać jako argumentów dowolnych liczb wymiernych przedstawionych w postaci dziesiętnej.
Zacznijmy od prostego przykładu.
Przykład 1
Pewnego dnia Jaś Malutki, uczeń szkoły podstawowej, zastanawiał się, jak zdobyć pieniądze na smakołyki. Zauważył, że
uczniowie używają zakładek do książek. Mama poradziła więc
Jasiowi, aby zaczął robić takie zakładki i sprzedawał je w klasie. W ten sposób Jaś mógłby zarobić na łakocie. Tu pojawił
się jednak problem: Czy takie zakładki to rzeczywiście dobry
interes? Jak to sprawdzić?
Jaś postanowił przeanalizować przedsięwzięcie. Korzystał
z Excela, bo tam są takie wygodne kratki.
Na początek mamy wydatki:
1. pędzelek: 6 zł,
2. farby: 12 zł,
3. karton na wyprodukowanie 1 zakładki: 0,08 zł.
Dalej następuje to, co dobre, czyli zyski:
1. sprzedaż jednej zakładki: 0,50 zł.
A teraz pojawia się najważniejsze pytanie: Od jakiego momentu Jaś zacznie zarabiać?
MAGENTA BLACK
(ml37) str. 26
NAUCZANIE MATEMATYKI
Aby sobie na nie odpowiedzieć, Jaś stworzył
dwa wzory:
wzór wydatków: 6 + 12 + 0,08n,
wzór przychodów: 0,5n,
gdzie n jest liczbą sprzedanych przez niego
zakładek.
Teraz wystarczy zrobić wykres i zobaczyć,
jak wyglądają obie funkcje.
Rys. 1. Wykres wydatków i przychodów Jasia.
Teraz Jaś wiedział już, że po sprzedaniu
około 40 zakładek przychody będą większe
niż wydatki i zacznie się zarabianie pieniędzy. No dobrze, a kiedy dokładnie? A ile
trzeba sprzedać zakładek, aby zarobić kwotę
5,50 zł potrzebną na lody? Tu Jaś poszperał
w Excelu i znalazł dość ciekawe narzędzie
– goal seek. Należało gdzieś na boku utworzyć sobie pomocniczy warsztat i zastosować goal seek (w polskiej wersji Excela narzędzie to ma nic nieznaczącą nazwę „szukaj wyniku”). Wynik pokazuje, że po sprzedaniu 43 zakładek ich wytwarzanie zacznie
przynosić zysk.
Zauważmy, ilu rzeczy uczniowie nauczą się
z tak prostego przykładu. Mamy tu umiejętności natury ekonomicznej – poznajemy, co
to są koszty stałe, koszty zmienne, funkcja
kosztów, funkcja przychodów oraz funkcja
zysku. Poznajemy również bardzo istotne
pojęcie ekonomiczne, tzw. break-even point,
czyli punkt, w którym się zaczyna rzeczywisty zysk. Uczniowie nabywają też umiejętności matematyczne – dowiadują się, jak
zbudować model funkcji w Excelu, jak znaleźć punkt przecięcia się wykresów dwóch
funkcji.
Do tego dochodzą jeszcze umiejętności innej natury – model utworzony w Excelu,
w zależności od tego, jak zostanie skonstruowany, może posłużyć do wielu ciekawych
eksperymentów. W naszym przykładzie Jaś
może sprawdzić, co się stanie, gdy uda mu
się kupić tańsze nożyczki, lepszy, ale droższy karton czy kredki innej firmy. Każda taka zmiana w modelu pokaże, co się stanie
z obiema funkcjami, gdzie się przetną w nowych warunkach. Tylko obliczenia wykonane za pomocą narzędzia goal seek trzeba będzie powtórzyć, ponieważ Excel ich automatycznie nie przeliczy.
Z dydaktycznego punktu widzenia możemy
zaobserwować funkcjonowanie zasady białej
i czarnej skrzynki, tym razem nawet w różnych odcieniach. To, co się dzieje w Excelu, gdy tworzymy funkcje i experymentujemy nimi, jest bardzo przezroczystą skrzynką
– możemy obserwować mechanizmy działania procesów obliczeniowych. Gdybyśmy tu
zastosowali zwykłe matematyczne rozwiązanie równania
6 + 12 + 0,08n = 0,5n,
Jak wynika z dalszych obliczeń, na pierwsze
lody Jaś zarobi, gdy sprzeda 56 zakładek, co
znowu goal seek policzył w mgnieniu oka.
MAGENTA BLACK
to otrzymalibyśmy znacznie mniej przezroczystą skrzynkę niż model w Excelu. Wreszcie to, co zrobi dla nas goal seek, jest już
typową czarną skrzynką, ale w tej sytuacji raczej nie ma lepszego rozwiązania,
(ml37) str. 27
27
28
NAUCZANIE MATEMATYKI
jeśli nie chcemy wyjść z obliczeniami poza Excel. Tu zdecydowanie warto zaznaczyć,
że z dydaktycznego punktu widzenia Excel
jest znacznie mniej kłopotliwy w użyciu dla
nauczyciela niż na przykład dowolny program CAS (Computer Algebra System). Tam
większość poleceń to typowe czarne skrzynki i nauczyciel musi się nieźle napracować,
aby proces nauczania nie stracił na wartości.
Pójdźmy teraz kawałek dalej.
Przykład 2
Po jakimś czasie Jaś Malutki stwierdził, że
ma w szufladzie 1000 zł zarobionych na zakładkach i zaczął się zastanawiać, co zrobić,
aby te pieniądze też przynosiły mu zysk. Słyszał od rodziców o inflacji i wiedział, że jego
zarobki tracą na wartości, jeśli leżą w szufladzie. Przy kolacji podczas rozmowy z rodzicami i bratem dostał od nich następujące
propozycje:
Brat zaoferował Jasiowi, że pożyczy od
niego te pieniądze, żeby kupić sobie ro-
wer, a po 3 latach zwróci Jasiowi jego pieniądze i dołoży mu jeszcze 120 zł za każdy rok pożyczki.
Tata zaproponował Jasiowi podobny układ, również na 3 lata, z tym że co roku
dołoży Jasiowi 12% aktualnej wartości pożyczki.
Mama zaproponowała nieco zmienioną
ofertę taty, dokładając Jasiowi co miesiąc
1% aktualnej wartości pożyczki.
Którą ofertę Jaś powinien wybrać?
Każda z tych ofert wygląda bardzo podobnie, prawie identycznie.
Jak przedtem, tak i teraz Jaś postanowił
sprawdzić w Excelu, która oferta jest najkorzystniejsza. Po utworzeniu w arkuszu
trzech kolumn z odpowiednimi wzorami
otrzymał model problemu wraz z rozwiązaniem. Poniżej pokazujemy to rozwiązanie
oraz wzory w nim użyte. Okazuje się, że
oferta mamy była najlepsza.
Rys. 2. Tabela zysków Jasia z pożyczki (z prawej strony wzory użyte w tym modelu).
MAGENTA BLACK
(ml37) str. 28
NAUCZANIE MATEMATYKI
Rys. 3. Wykres zysków Jasia z pieniędzy pożyczonych rodzicom i bratu.
Czego tym razem nauczą się uczniowie? Mamy tu do czynienia
z ciągami zadanymi w postaci rekurencyjnej. Pojęcie rekursji
jest dość trudne do wytłumaczenia w szkolnej matematyce,
podczas gdy tutaj występuje w sposób zupełnie naturalny
i właściwie niczego nie trzeba tłumaczyć. Wystarczy zwrócić
uwagę, jak te trzy ciągi zostały utworzone, aby uczeń zrozumiał istotę rzeczy.
Możemy pójść jeszcze dalej i jeszcze bardziej skomplikować
nasz problem. Ale o tym w następnym numerze.
LIST OD CZYTELNIKA
W poprzednim numerze Danuta Zaremba wspominała o problemach otwartych („Po artykułach o maturze 2010”, s. 3)
i pisze, że otwarty jest problem zdefiniowania wzorem ciągu
liczb pierwszych. Takie wzory są jednak znane. Na przykład
kolejne liczby pierwsze można obliczać ze wzoru podanego
przez J. M. Gandhi’ego. Można o tym przeczytać m.in. na stronie: http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html. Niestety, ten wzór (podobnie jak inne wzory na liczby pierwsze)
jest nieprzydatny obliczeniowo.
Piotr Zarzycki
(Gdańsk)
Od redakcji: Więcej na temat wzorów na liczby pierwsze napiszemy w kolejnym numerze.
MAGENTA BLACK
(ml37) str. 29
29