Algebra 1 - Piotr Rzonsowski

Algebra 1
Wydział Matematyki i Informatyki UAM
dr Piotr Rzonsowski
Wszelkie uwagi, propozycje zmian jak i pytania proszę przesyłać na adres
[email protected], wersja z dnia 9 maja 2015
Rozdział 1
Teoria Grup
Zadanie 1. Sprawdź przemienność, łączność, poszukaj elementu neutralnego i odwrotnego,
które istnieją dla działania
a) a ∗ b = a + b + 100 w zbiorze liczb całkowitych;
b) a ∗ b = 5log5 a·log5 b
c) A = {f : R → R : f (x) = ax + b ; a ∈ R \ {0}, b ∈ R} gdzie działanie jest określone
następująco
∀x∈R
(f ◦ g) (x) = f (g(x))
d)
∀a,b∈Z
(
a+b
a∗b=
a−b
dla a = 2k
dla a = 2k + 1
e) a ∗ b = 2 − a + ab − b w zbiorze A = (1, ∞)
Zadanie 2. Wykazać, że w dowolnym zbiorze A, działanie a∗b := a jest działaniem łącznym.
Zadanie 3. Sprawdzić, czy podane operacje definiują działania wewnętrzne w zadanym zbiorze. Jeśli tak, to zbadać ich podstawowe własności tj. łączność, przemienność oraz istnienie
elementu neutralnego. Następnie wyznaczyć elementy odwracalne względem tego działania.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Dodawanie w zbiorze {−1, 0, 1}.
Mnożenie w zbiorze {−1, 0, 1}.
Dodawanie w zbiorze N ∪ {0, 1}.
Mnożenie w zbiorze (0, 1].
Odejmowanie w zbiorze R.
Mnożenie w zbiorze Z.
g) Funkcja min w zbiorze Z.
h) Funkcja max w zbiorze N.
i) Operacje logiczne OR, AND, XOR w
zbiorze wszystkich skończonych ciągów
binarnych.
Zadanie 4. Napisać tabelki działań dla grup
a) Z/4;
b) Z×
5;
Zadanie 5. Sprawdzić czy dane pary tworzą grupy
a) ({5k ∈ R : k ∈ Z}, ·);
b) ({1, −1, i, −i}, ·);
c) (µn , ·), gdzie µn = {z ∈ C : z n = 1};
Zadanie 6. Udowodnić, że zbiór GLn (R) := {A ∈ Mn×n (R) : det A 6= 0} z mnożeniem jest
grupą nieabelową.
1
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
Zadanie 7. Udowodnij, że zbiór SLn (R) := {A ∈ GLn (R) : det A = 1} jest podgrupą grupy
GLn (R).
Zadanie 8. Utworzyć tabelkę działania w grupach Z6 , Z5 , Φ(10) i Φ(12). Następnie wyznaczyć wszystkie podgrupy tych grup.
Zadanie 9. Niech D = R \ {0, 1} i niech dla i = 1, 2, . . . , 6 funkcje fi : D → R będą
określone wzorami:
f1 (x) = x,
f4 (x) =
1
,
x
f2 (x) =
1
,
1−x
f5 (x) = 1 − x,
x−1
x
x
f6 (x) =
.
x−1
f3 (x) =
Sprawdzić, czy zbiór G = {f1 , f2 , . . . , f6 } ze składaniem funkcji tworzy grupę (zbudować
tabelkę). Jeśli tak, to wyznaczyć wszystkie podgrupy.
Zadanie 10. Niech macierze 1, (i), j, k będą określone następująco:
1 0
i 0
0 1
0 i
1=
,i =
,j =
,k =
0 1
0 −i
−1 0
i 0
Pokazać, że zbiór {±1, ±i, ±j, ±k} z działaniem mnożenia macierzy tworzy grupę(kwaternionów).
Zadanie 11. Udowodnij, że para (R \ {0} × R, ∗) jest grupą, gdzie działanie jest określone
w następujący sposób
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + b)
Zadanie 12. Niech D = R i niech dla i = 1, 2, . . . , 6 funkcje fi : D → D będą określone
f (x) = x, f2 (x) = −x,
wzorami: 1
Sprawdzić, że składanie funkcji jest działaniem w G =
f3 (x) = ix f4 (x) = −ix.
{f1 , f2 , f3 , f4 } (zbudować tabelkę). Czy para < G, ◦ > jest grupą?
Zadanie 13. Wykazać, że w grupie G równość a2 = a zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
a=e
Zadanie 14. Znajdź wszystkie podgrupy grupy (Z, +12 ).
Zadanie 15. Niech G będzie grupą G0 - zbiór tych elementów grupy G, które są przemienne
z każdym elementem grupy G. uzasadnić, że G0 jest podgrupą grupy G.
Zadanie 16. Pokazać, że przekrój dwóch podgrup G1 i G2 grupy G jest podgrupą grupy G.
Zadanie 17. Niech H będzie podgrupą grupy G oraz g ∈ G będzie ustalonym elementem.
Pokazać, że zbiór gHg −1 = {ghg −1 , h ∈ H} jest podgrupą grupy G.
Zadanie 18. Nich H1 , H2 będą podgrupami grupy abelowej G. Pokazać, że H1 + H2 :=
{h1 + h2 : h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 } jest podgrupą grupy G.
Zadanie 19. Pokazać, że SLn (R) jest podgrupą GLn (R).
Zadanie 20. Wyznacz wszystkie warstwy grupy Z/16 względem jej podgrupy
a) {0}
b) {0, 8}
c) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
2
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
Definicja 1 (Rząd elementu).
Niech G będzie grupą, a ∈ G. Jeśli istnieje taka liczba naturalna k, że ak = e to najmniejszą
taką liczbę nazywamy rzędem elementu a w grupie G i oznaczamy rz(a). Jeśli nie istnieje
taka liczba to mówimy, że element ma rząd nieskończony.
Przykład 1.
Mamy grupę Z/6 i element g = 2, wtedy
2 + 2 + 2 = 0 a więc rz(2) = 3
Zadanie 21. Znaleźć rzędy danych elementów w danych grupach:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
g
g
g
g
= 2 G = Z/16
= 5 G = Z/12
= 3 G = (Z/11)×
= O120 G = D6
g=
1 2 3 4 5
3 5 1 2 4
G = S5
Zadanie 22. Udowodnić, że dla każdego a ∈ G zachodzi równość rz(a) = rz(a−1 )
Zadanie 23. Udowodnić, że dla każdego a, b ∈ G zachodzi równość rz(ab) = rz(ba)
Definicja 2 (Homomorfizm).
Funkcję ϕ : G1 → G2 (G1 , G2 grupy) nazywamy homomorfizmem grup jeśli
∀g1 ,g2 ∈G2 ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 )ϕ(g2 )
Definicja 3.
Imϕ := {g ∈ G2 : g = ϕ(g1 ), g1 ∈ G1 } obraz ϕ
kerϕ := {g1 ∈ G1 : ϕ(g1 ) = 1G2 } jądro ϕ
Definicja 4.
Niech ϕ : G1 → G2 będzie homomorfizmem grup, wtedy
i)
ii)
iii)
iv)
v)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
jest
jest
jest
jest
jest
monomorfizmem jeśli kerϕ = 1G1
epimorfizmem jeśli Imϕ = G2
izomorfizmem jeśli ϕ jest bijekcją
endomorfizmem jeśli G1 = G2
automorfizmem jeśli jest izomorfizmem i endomorfizmem
Zadanie 24. Czy następujące przekształcenia są homomorfizmami, jeśli tak to wyznaczyć
jądro i obraz:
i) ϕ : R+ → R, ϕ(x) = ln(x)
ii) ϕ : R → R+ , ϕ(x) = ex
iii) ϕ : R → R, ϕ(x) = x2
iv) ϕ : R+ → R+ , ϕ(x) = x2
v) ϕ : C× → C× , ϕ(x) = |x|
vi) ϕ : Z → Z/n, ϕ(x) = (x)n
vii) ϕ : M (2, R) → R, ϕ(X) = trX
R1
viii) ϕ : C[0,1] → R ϕ(f ) = 0 f (x)dx
Twierdzenie 1.
Niech ϕ : G1 → G2 będzie homomorfizmem, wtedy
3
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
i) Imϕ jest podgrupą w G2
ii) kerϕ jest dzielnikiem normalnym w G1
iii) ∀N EG ∃ϕ:G→G0 N = kerϕ
Lemat 1.
Homomorfizm grup ϕ : G1 → G2 jest iniekcją (1:1) ⇐⇒ kerϕ = {1G1 }
Lemat 2.
Niech ϕ : G1 → G2 będzie homomorfizmem grup.
i) Jeśli H jest podgrupą w G1 to ϕ(H) jest podgrupą w G2 .
Jeśli N jest dzielnikiem normalnym w G1 i ϕ jest epimorfizmem to ϕ(N ) jest dzielnikiem normalnym w G2
ii) Jeśli K ⊂ G2 jest podgrupą w G2 to ϕ−1 (K) ⊂ G1 jest podgrupą w G1 .
Jeśli K jest dzielnikiem normalnym w G2 to ϕ−1 (K) jest dzielnikiem normalnym w
G1 .
Zadanie 25. Udowodnić, że funkcja ϕ : G → G określona wzorem ϕ(x) = x2 jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.
Definicja 5 (Dzielnik normalny).
Niech H ⊂ G wtedy podgrupę H nazywamy podgrupą normalną(dzielnikiem normalnym) jeżeli:
∀a∈G aH = Ha
i oznaczamy wtedy H G
Lemat 3.
Dla podgrupy H ⊂ G następujące warunki są równoważne
1) H jest dzielnikiem normalnym grupy G;
2) Dla każdego a ∈ G zachodzi a−1 Ha ⊂ H;
3) Dla każdego c, d ∈ G zachodzi (cH)(dH) = (cd)H
Zadanie 26. Dla danych grup sprawdzić czy dane podgrupy są dzielnikami normalnymi:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
G = Z/35 H = {0, 7, 14, 21, 28}
G = Z/24 H = {0, 6, 12, 18}
G = (Z/15)× H = {1, 2, 4, 8}
G = D4 H = {Id, O90 , O180 , O270 }
G = D3 H = {Id, O120 , O240 }
Zadanie 27. Udowodnić, że SLn (K) GLn (K).
Definicja 6.
Niech G będzie grupą, wtedy C(G) = {g ∈ G : gg 0 = g 0 g ∀g0 ∈G } nazywamy centrum
grupy G.
Zadanie 28. Niech G będzie grupą pokazać, że:
i) C(G) G
ii) C(G) jest abelowa
iii) G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy C(G) = G
Zadanie 29. Pokazać, że w grupie abelowej każda podgrupa jest dzielniekim normalnym
swojej grupy.
4
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
Twierdzenie 2 (I tw o izomorfizmie).
Jeżeli ϕ : G1 → G2 jest homomorfizmem grup to istnieje izomorfizm grup
ϕ
e : G1 /kerϕ → Imϕ.
Zadanie 30. Udowodnić, że grupa ilorazowa GLn (R)/SLn (R) jest izomorficzna z grupą R× .
Zadanie 31. Korzystając z twierdzenia 2 udowodnić, że:
i) Z/nZ w Z/n
ii) D4 /{Obroty} w Z/2
iii) GLn (K)/SLn (K) w K ×
iv) C/R w R
v) R4 /H w R2 gdzie H = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 − 2x2 = x3 + x4 = 0}
vi) R∞ /H w R∞ gdzie H = {(a1 , a2 , . . .) ∈ R∞ : ∀i∈Z a2i = 0}
vii) C[0,∞] /H w R∞ gdzie H = {f ∈ C[0,∞] : ∀n∈N f (n) = 0}
Definicja 7 (Grupa cykliczna).
Grupę G nazywamy cykliczną, gdy istnieje taki element g ∈ G, że dla każdego g 0 ∈ G
istnieje k ∈ Z takie, że g 0 = g k , taki element g nazywamy generatorem grupy G.
Zadanie 32. Pokazać, że:
i) każda grupa cykliczna jest abelowa.
ii) każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna
Zadanie 33. Wypisać wszystkie generatory następujących grup cyklicznych:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Z/24
Z/35
(Z/11Z)×
(Z/25Z)×
Z
Zadanie 34. Dla każdego a ∈ Φ(9) wyznaczyć podgrupę < a > i określić rząd a. Czy Φ(9)
jest grupą cykliczną?
m
+ Z, gdzie m ∈ Z, n ∈ N i
Zadanie 35. W grupie Q/Z określić rząd elementu
n
N W D(n, m) = 1.
Zadanie 36. Udowodnić, że
i) jeśli n > 1 to grupa Z/n × Z/n nie jest cykliczna;
ii) jeśli (n, m) > 1 to grupa Z/n × Z/m nie jest cykliczna;
iii) jeśli (n, m) = 1 to grupa Z/n × Z/m jest cykliczna i (a, b) jest generatorem jeśli
(n, a) = (m, b) = 1;
iv) liczba różnych generatorów grupy G jest równa Φ(|G|);
v) jeśli (n, m) = 1 to Φ(nm) = Φ(n)Φ(m).
Definicja 8.
T
Niech X ⊂ G będzie podzbiorem grupy G < X >:= H⊂G,X⊂H H jest najmniejszym
podzbiorem w G zawierający zbiór X. Mówimy wtedy, że zbiór X generuje grupę < X >.
Przykład 2.
Niech G = Z/10 natomiast X = {2}. Wtedy jeśli 2 jest generatorem to dostajemy podgrupę
{0, 2, 4, 6, 8}.
5
Rozdział 2
Teoria Pierścieni
Definicja 9. Niech będzie dany nie pusty zbiór A, zawierający 0, określmy na nim 2 działania wewnętrzne.
·, + : A × A → A
tak zdefiniowany zbiór z dwoma działaniami nazywamy pierścieniem jeśli spełnione są
warunki:
(P1) (A, +, 0) jest grupą abelową
(P2) ∀a,b,c∈A (ab)c = a(bc)
(P3) a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + ab
Jeśli ponadto:
(P4) ∃1∈A ∀a∈A 1a = a1 = a
to A nazywamy pierścieniem z jedynką
(P5) ∀a,b∈A ab = ba
to A nazywamy pierścieniem przemiennym
Zadanie 37. Udowodnić, że jeśli A jest pierścieniem, oraz a ∈ A to a0 = 0a = 0.
Zadanie 38. Wykazać, że jeśli A jest pierścieniem, oraz a, b ∈ A, to a(−b) = (−a)b = −ab.
Zadanie 39. Sprawdzić, że dany zbiór jest pierścieniem :
i)
ii)
iii)
iv)
(R, +, ·)
(Z, +, ·)
(Z[i], +, ·), gdzie Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}
(C[0,1] , +, ∗), gdzie (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x)
Zadanie 40. Sprawdzić, że dany zbiór macierzy tworzy pierścień z dodawaniem i mnożeniem
macierzy:
i) M (n, R)
ii) M (n, Z)
Zadanie 41. Niech (A, +·) będzie pierścieniem i niech działania ⊕, w zbiorze A × Z będą
określone wzorami
(a, k) ⊕ (b, l) = (a + b, k + l), (a, k) (b, l) = (ab + la + kb, kl)
Wykazać, że trójka (A × Z, ⊕, ) jest pierścieniem z jedynką. Udowodnić, że pierścień A × Z
jest przemienny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień A jest przemienny.
6
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
Zadanie 42. Niech (R[X], +, ◦), gdzie + jest zwykłym dodawaniem a ◦ jest składaniem
odwzorowań, czy tak zdefiniowany zbiór z działaniami tworzy pierścień.
Zadanie 43. Sprawdzić, że jeśli (A, +) jest grupą abelową i działanie · w zbiorze A jest dla
wszystkich a, b ∈ A określone wzorem a · b = 0, to zespół (A, +, ·) jest pierścieniem.
Definicja 10.
Niech A będzie pierścieniem(przemiennym, z 1), B nie pustym podzbiorem A. Mówimy,
że B jest podpierścieniem jeśli z działaniami ·, + z A, (B, +, ·, 0, 1) jest pierścieniem(odp.
przemiennym, z 1).
Zadanie 44. Zbadać, czy dany podzbiór B jest podpierścieniem pierścienia C[0,1]
i) B = {f ∈ C[0,1] : f (1) = 0}
ii) B = {f ∈ C[0,1] : f (0) = f (1)}
R1
iii) B = {f ∈ C[0,1] : 0 f (x)dx = 0}
Zadanie 45. Zbadać, czy dany zbiór B jest podpierścieniem pierścienia M (2, R)
a b
i) B = {
∈ M (2, R) : a, b, c ∈ R}
0 c
ii) B = M (2, Q)
iii) B = {A ∈ M (2, R) : detA = 0}
iv) B = {A ∈ M (2, R) : detA = 1}
Definicja 11.
Niech A będzie pierścieniem z 1, wtedy
i) element a ∈ A nazywamy elementem odwracalnym jeśli ∃b∈A ab = ba = 1;
ii) element a ∈ A nazywamy dzielnikiem zera jeśli ∃b∈A\{0} ab = 0;
iii) element a ∈ A nazywamy elementem nilpotentnym jeśli ∃n∈N an = 0.
Zadanie 46. Czy w pierścieniu Z × Z istnieją dzielniki zera?
Zadanie 47. Wyznacz dzielniki zera i elementy odwracalne w pierścieniu:
a) Z/12
b) Z/4 × Z/5
Definicja 12.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1. Podzbiór J ⊂ A nazywamy ideałem w
A(ozn. J E A) jeśli spełnione są warunki:
(J1) ∀x,y∈J x − y ∈ J
(J2) ∀a∈A ∀x∈J ax ∈ J
Zadanie 48. Niech A będzie pierścieniem przemiennym i niech c ∈ A. Sprawdzić, że zbiór
cA := {ca : a ∈ A} jest ideałem pierścienia A.
Zadanie 49. Sprawdzić, czy zbiór tych funkcji f ∈ C(0,1) , które spełniają podany warunek,
jest ideałem w pierścieniu C(0,1) :
lim f (x) = 0
a) x→0
b) f (x) jest ograniczona
+
Zadanie 50. Udowodni, że każdy ideał pierścienia Z jest postaci nZ, gdzie n ∈ N ∪ {0}
Definicja 13.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1.
7
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
F M E A nazywamy ideałem maksymalnym jeśli
∀JEA M
J ⇒J =A
F p E A nazywamy ideałem Pierwszym jeśli
∀a,b∈A ab ∈ p ⇒ a ∈ p lub b ∈ p
Zadanie 51. Niech A = M ap(R, [a, b]) i niech x0 ∈ [a, b]. Wykazać, że zbiór Ix0 = {f ∈
A : f (x0 ) = 0} jest ideałem maksymalnym pierścienia A.
Zadanie 52. Niech n ∈ N ∪ {0}. Sprawdzić, że ideał nZ pierścienia Z jest pierwszy wtedy
i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą lub zerem.
Zadanie 53. Niech ℘ będzie ideałem pierwszym pierścienia przemiennego z jedynką i niech
I1 , I2 będą takimi ideałami pierścienia A, że I1 ∩ I2 ⊂ ℘. Wykazać, że I1 ⊂ ℘ lub I2 ⊂ ℘.
Zadanie 54. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką i niech ϕ : A → B
będzie epimorfizmem pierścieni. Udowodnić, że pierścień B jest dziedziną całkowitości wtedy
i tylko wtedy, gdy kerϕ jest ideałem pierwszym.
Zadanie 55. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką i niech ϕ : A → B
będzie epimorfizmem pierścieni. Udowodnić, że pierścień B jest ciałem wtedy i tylko wtedy,
gdy kerϕ jest ideałem maksymalnym.
Twierdzenie 3.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1 a J1 , J2 E A takimi, że J1 + J2 = A wtedy
i) J1 J2 = J1 ∩ J2
ii) homomorfizm ϕ : A → A/J1 ⊕ A/J2 indukuje izomorfizm pierścieni z 1
ϕ : A/J1 J2 → A/J1 ⊕ A/J2
Wniosek 1.
Jeśli J1 , J2 , . . . , Jn E A i Ji + Jj = A ∀j6=i to
A/J1 J2 ...Jn ∼
= A/J1 ⊕ A/J2 ⊕ . . . ⊕ A/Jn
Definicja 14.
Niech A będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach z pierścienia A
nazywamy taki ciąg (a0 , a1 , a2 , a3 , . . .) elementów pierścienia A, w począwszy od pewnego
miejsca wszystkie elementy są równe 0.
W zbiorze wszystkich wielomianów wprowadzamy dwa działania dodawania(po współrzędnych) i mnożenia(jak znane mnożenie "wielomianów"). Zbiór wielomianów z tymi działaniami tworzy pierścień i oznaczamy go A[X].
Definicja 15.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką, f ∈ A[X], f = (a1 , a2 , . . . , an , 0, 0, . . .),
wtedy:
deg f = n, jeśli f = (0, 0, 0, . . .) to deg f = ∞ nazywamy stopniem wielomianu
Lemat 4.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1
i) A[X] jest pierścieniem przemiennym z 1
ii) A[X] jest dziedziną całkowitości ⇔ A jest dziedziną całkowitości
iii) ϕ : A → A[X] , ϕ(a) = (a, 0, 0, 0, . . .) jest homomorfizmem pierścieni z 1
8
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
Lemat 5.
Niech f (x), g(x) ∈ A[X] to
i) deg[f (x) + g(x)] 6 max(deg f (x), deg g(x))
ii) geg[f (x)g(x)] 6 deg f (x) + deg g(x)
K jest dziedziną ideałów głównych
Twierdzenie 4.
Jeśli f (x), g(x) ∈ K[X], g(x) 6= 0, to ∃ q(x), r(x) ∈ K[X] takie, że f (x) = g(x)q(x) + r(x)
i r(x) = 0 lub deg r(x) < deg g(x)
Zadanie 56. Wykonać następujące dzielenia z resztą :
i)
ii)
iii)
iv)
X 4 − 9X 3 + 23X 2 − 16X + 13 przez X − 5 w Z[X]
2X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 3 przez 3X 2 + X + 4 w Z/5[X]
X 5 + 4X 4 + 3X 2 + 2 przez 2X 3 + X + 4 w Z/5[X]
2X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 przez 3X 3 + 7X 2 + 5X + 1 w Z/10[X]
Zadanie 57. Dany niech będzie wielomian f = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ A[X]
oraz g = X −c ∈ A[X]. Znaleźć wzory rekurencyjne na współczynniki ilorazu q = bn−1 X n−1 +
bn−2 X n−2 + · · · + b1 X + b0 oraz resztę r ∈ A z dzielenia z resztą wielomianów f przez g.
Zadanie 58. Stosując metodę Hornera wykonać następujące dzielenia z resztą :
i)
ii)
iii)
iv)
X 5 + 2X 4 + 5X 3 + 13 przez X + 1 w Z[X]
3X 5 + 7X 4 − 5X 3 − 14X 2 − 12X − 4 przez X + 2 w Z[X]
X 4 + 5X 3 + 2X 2 + 4X + 3 przez X + 2 w Z/6[X]
X 4 + 3X + 2 przez X + 4 w Z/6[X]
Zadanie 59. W pierścieniu ilorazowym Z[X]/I, gdzie I = X 2 Z[X], rozwiązać równanie
((1 + 2X) + I)t = (5 + 9X) + I o niewiadomej t.
Zadanie 60. W pierścieniu ilorazowym Z[X]/I, gdzie I = X 3 Z[X], rozwiązać dane równanie z niewiadomą t:
i) ((1 + 2X − 4X 2 ) + I)t = (2 + 5X − X 2 ) + I
ii) (X + I)t = I
Zadanie 61. Zbadać, czy pierścień ilorazowy Z/5[X]/f (X)Z/5 jest dziedziną całkowitości,
jeśli f (X) jest następującej postaci:
i) X 2 + 1
ii) X 2 + 4X + 1
Twierdzenie 5.
K[X] jest dziedziną ideałów głównych.
Definicja 16.
Niech f (x) ∈ K[X]. Mówimy, że wielomian f (x) jest nierozkładalny jeśli deg f (x) > 0 i
f (x) = g(x)h(x) to deg g(x) = 0 lub deg h(x) = 0.
Lemat 6.
Niech p(x) ∈ K[X] będzie wielomianem nierozkładalnym i f (x), g(x) ∈ K[X]. Jeśli p(x)|f (x)g(x)
to p(x)|f (x) lub p(x)|g(x).
9
Algebra 1, dr Piotr Rzonsowski
Twierdzenie 6.
Dla każdego f (x) ∈ K[X], deg f (x) > 0 mamy
f (x) = pe11 (x)pe22 . . . pekk
gdzie ei ∈ N ∪ {0}, pi ∈ K[X] wielomiany nierozkładalne. Rozkład f (x) na iloczyn potęg
wielomianów nierozkładalnych jest określony z dokładnością do kolejności składników.
Pn
i
Definicja 17. Niech
Pan ∈ A. iMówimy, że a jest pierwiastkiem wielomianu f (x) = i=0 ai x ∈
A[X] jeżeli f (a) = i=0 ai a = 0
Twierdzenie 7.
Niech f (x) ∈ A[X] wtedy
f (a) = 0 ⇔ (x − a) dzieli f (x) w A[X]
Twierdzenie 8.
Jeżeli A jest dziedziną całkowitości, f (x) ∈ A[X] i deg f (x) = n, to f ma co najwyżej n
pierwiastków w A.
Twierdzenie 9.
Jeśli f (x) ∈ C[X] i deg f (x) = n to f ma dokładnie n pierwiastków w C przy uwzględnieniu
pierwiastków wielokrotnych
Definicja 18. Wielomian f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · a1 X + a0 ∈ A[X] nazywamy
wielomianem pierwotnym, jeśli 1 = N W D(a0 , a1 , . . . , an ).
Lemat 7 (Kryterium Eisensteina). Niech f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · a1 X + a0 ∈ Z[X],
gdzie n ∈ N. Jeśli istnieje taka liczba pierwsza p, że p|ai , i = 1, 2, . . . n−1 oraz p - an , i p2 - a0 ,
to wielomian f jest nierozkładalny w pierścieniu Q[X]. Jeśli ponadto f jest wielomianem
pierwotnym, to f jest nierozkładalny w Z[X].
Zadanie 62. W podanych pierścieniach rozłożyć na czynniki nierozkładalne wielomian X 6 −
1
i)
ii)
iii)
iv)
v)
R[X]
C[X]
Z/2[X]
Z/3[X]
Z/7[X]
Zadanie 63. W podanych pierścieniach rozłożyć na czynniki nierozkładalne wielomian X 3 +
3X + 1
i) Z/5[X]
ii) Z/7[X]
iii) Z/11[X]
Zadanie 64. Stosując kryterium Eisensteina, wykazać, że poniższe wielomiany są nierozkładalne w pierścieniu Q[X]
i)
ii)
iii)
iv)
v)
X 3 − 3X 2 − 6X + 3
X 4 − 6X 3 + 18X 2 + 12X − 10
X5 − 5
2X 4 − 51X 2 + 57X − 66
X 5 − 18X 2 + 30
10