Pierścienie
Transkrypt
Pierścienie
Logika i Teoria Mnogości Wykład 9 – Pierścienie 1 Pierścienie Def. 1. Algebrę (P, +P , ·P ) nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki: • (P, +P ) jest grupą przemienną, • działanie ·P jest łączne, • działanie ·P jest rozdzielne względem +P . Jeśli działanie ·P jest przemienne, to P nazywamy pierścieniem przemiennym. Jeżeli ·P posiada element neutralny, to nazywamy go jedynką, a P jest pierścieniem z jedynką. Przykłady pierścieni: • (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·); • (Zn , +n , ·n ) – pierścień klas reszt modulo n; • (Mn , +, ·) – pierścień macierzy kwadratowych rzędu n z dodawaniem i mnożeniem macierzy; • (P X , +, ·) – pierścień funkcji f : X → P , gdzie X 6= ∅, P – pierścień; • ({0}, +, ·) – pierścień zerowy (0 = 1). Def. 2. Niech (P, +P , ·P ), (S, +S , ·S ) – pierścienie, wtedy zbiór P × S z działaniami: (p1 , s1 ) + (p2 , s2 ) = (p1 +p p2 , s1 +s s2 ) oraz (p1 , s1 ) · (p2 , s2 ) = (p1 ·p p2 , s1 ·s s2 ) jest pierścieniem. Nazywamy go iloczynem prostym (sumą prostą) pierścieni P i S. Def. 3. Niech (P, +P , ·P ) – pierścień. Element a 6= 0 pierścienia P nazywamy dzielnikiem zera, jeśli istnieje element b 6= 0 taki, że a · b = 0. Def. 4. Pierścień przemienny nie posiadający dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym lub dziedziną całkowitości. Własności pierścieni Stw. 1. Jeśli (P, +, ·) jest pierścieniem, to: 1. a · 0 = 0 · a = 0 ∀a ∈ P ; 2. (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) ∀a, b ∈ P ; 3. (−a) · (−b) = a · b ∀a, b ∈ P ; 4. Jeżeli a 6= 0 nie jest dzielnikiem zera, to zachodzi prawo skracania dla a, czyli ∀ b, c ∈ P (a · b = a · c ⇒ b = c) ∧ (b · a = c · a ⇒ b = c); 5. Jeżeli a i b nie są dzielnikami zera w P , to a · b też nie jest dzielnikiem zera. Logika i Teoria Mnogości Wykład 9 – Pierścienie 2 Uwaga: Element m ∈ Zn nie jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m, n) = 1. Wniosek: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to Zn jest pierścieniem całkowitym. Uwaga: Jeżeli P 6= 0 jest pierścieniem z jedynką, to 1 nie jest dzielnikiem zera. Def. 5. Niech (P, +, ·) – pierścień z jedynką. Mówimy, że element a 6= 0 pierścienia P jest odwracalny w P , jeśli istnieje element b 6= 0 taki, że a · b = b · a = 1 i wtedy b nazywamy odwrotnością a i stosujemy oznaczenie b = a−1 . Uwaga: Jeżeli a ∈ P jest elementem odwracalnym, to a nie jest dzielnikiem zera. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi na przykład w pierścieniu (Z, +, ·). Uwaga: Zbiór P ∗ składający się z elementów odwracalnych pierścienia P tworzy grupę ze względu na mnożenie (P ∗ , ·), którą nazywamy grupą multiplikatywną pierścienia P . Stw. 2. Jeżeli P jest skończonym pierścieniem przemiennym z jedynką, to element a 6= 0 jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest dzielnikiem zera. Algorytm Euklidesa na znajdowanie NWD(k, n) Aby wyznaczyć największy wspólny dzielnik liczb n i k, wykonujemy skończoną procedurę dzieleń z resztą. Zakładamy, że n > k, wykonujemy kolejne kroki: ri−1 ; y x αi ri−1 + ri ; r1 = n mod k; r2 = k mod r1 ; r3 = r1 mod r2 ; .. . n = α 1 k + r1 ; k = α2 r1 + r2 ; r1 = α3 r2 + r3 ; .. . ri = ri−2 mod ri+1 = 0. ri−2 = Algorytm zatrzymuje się, gdy reszta ri+1 = 0 i wtedy NWD(k, n) = ri . Odwracając algorytm można zapisać NWD(k, n) = αn + βk, czyli jako kombinację liniową n i k. Przykład: Wyznaczyć odwrotność 13 w pierścieniu Z50 . 50 = 3 · 13 + 11 13 = 11 + 2 11 = 5 · 2 + 1 2=2·1+0 Z powyższych równości dostajemy: 1 = 11 − 5 · 2 = 11 − 5 · (13 − 11) = 6 · 11 − 5 · 13 = 6 · (50 − 3 · 13) − 5 · 13 = 6 · 50 − 23 · 13, czyli 1 = 6 · 50 − 23 · 13, dalej redukując modulo 50 mamy ostatecznie w Z50 1 ≡ −23 · 13, więc 13−1 ≡ −23 ≡ 27 . Logika i Teoria Mnogości Wykład 9 – Pierścienie 3 Pierścienie wielomianów Niech (P, +, ·) – pierścień przemienny. Wielomianem jednej zmiennej nad pierścieniem P nazywamy dowolny ciąg nieskończony f = (a0 , a1 , a2 , . . .) elementów P , w którym wszystkie wyrazy od pewnego miejsca są równe zero. Porównywanie wielomianów: f = (a0 , a1 , a2 , . . .) g = (b0 , b1 , b2 , . . .) ) ⇒ f = g ⇔ (ai = bi ∀i ∈ N ∪ {0}) Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad P oznaczamy P [x] i określamy w tym zbiorze naturalne działania: f + g = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , . . .); f · g = (c0 , c1 , c2 , . . .), ck = k X ai · bk−i , k ∈ N ∪ {0} i=0 Algebra (P [x], +, ·) jest pierścieniem przemiennym. Jeśli P jest pierścieniem z jedynką 1P , to również P [x] ma jedynkę, 1P [x] = (1P , 0, 0, . . .). Wielomian f = (a0 , a1 , a2 , . . .) często zapisujemy w postaci algebraicznej a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . Uwaga: Każdemu wielomanowi f ∈ P [x] można przypisać funkcję wielomianową f¯ : P → P , ale obiekty te nie są równoważne. Przykład: f, g ∈ Z2 [x], f (X) = 1 + X, g(X) = 1 + X 3 , f 6= g, gdyż f = (1, 1, 0, 0, . . . ), g = (1, 0, 0, 1, 0, . . .), ale f¯(0) = ḡ(0), f¯(1) = ḡ(1), to znaczy, że funkcje wielomianowe f¯ i ḡ są równe. Badanie istnienia całkowitych rozwiązań równań algebraicznych Niech U oznacza równanie algebraiczne o wspólczynnikach całkowitych, czyli równanie postaci w(x) = 0, gdzie w ∈ Z[x]. Dla ustalonego naturalnego m 2 oznaczmy przez Um równanie powstałe z U przez zastąpienie jego wszystkich współczynników przez ich reszty modulo m. Tw. 1. Jeżeli równanie U ma rozwiązanie w Z, to równanie Um ma rozwiązanie w Zm , gdzie m jest dowolną liczbą naturalną, m 2. Wniosek: Jeżeli równanie Um nie ma rozwiązań w Zm dla pewnego m 2, to U nie posiada rozwiązań całkowitych. Podpierścienie i ideały Def. 6. Podzbiór P1 ⊆ P nazywamy podpierścieniem pierścienia (P, +, ·), gdy algebra (P1 , +|P1 , ·|P1 ) jest pierścieniem. Logika i Teoria Mnogości Wykład 9 – Pierścienie 4 Stw. 3. Następujące warunki są równoważne: 1. P1 ⊆ P jest podpierścieniem pierścienia (P, +, ·); 2. ∀ a, b ∈ P1 a − b ∈ P1 ∧ a · b ∈ P 1 ; 3. (P1 , +) < (P, +) oraz zbiór P1 jest zamknięty ze względu na mnożenie. Def. 7. Podpierścień I ⊆ P nazywamy ideałem w pierścieniu (P, +, ·), jeśli ∀x ∈ P ∀z ∈ I x · z ∈ I ∧ z · x ∈ I. Def. 8. Niech a - dowolny element pierścienia przemiennego (P, +, ·). Zbiór aP = {a·p : p ∈ P } nazywamy ideałem glównym generowanym przez element a. Pierścień, w którym każdy ideał jest ideałem glównym nazywamy dziedziną ideałów głównych. Uwaga: Pierścień R[x] jest dziedziną ideałów glównych. Homomorfizmy pierścieni Def. 9. Niech (P, +P , ·P ),(S, +S , ·S ) - pierścienie. Odwzorowanie ϕ : P → S nazywamy homomorfizmem pierścieni jeśli: ∀ a, b ∈ P ϕ(a +P b) = ϕ(a) +S ϕ(b) ∧ ϕ(a ·P b) = ϕ(a) ·S ϕ(b). Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest bijekcją. Stw. 4. Jeśli ϕ : P → S jest homomorfizmem pierścieni, to: 1. ϕ(0P ) = 0S ; 2. ϕ(−a) = −ϕ(a) ∧ ϕ(a −P b) = ϕ(a) −S ϕ(b); 3. ϕ(na) = ϕ (a +P a +P . . . +P a) = ϕ(a) +S ϕ(a) +S . . . +S ϕ(a) = nϕ(a) n ∈ N; | {z n składników } | {z n składników } 4. ϕ(an ) = [ϕ(a)]n n ∈ N. Tw. 2. Jeśli ϕ : P → S jest homomorfizmem pierścieni, to: • jeśli P1 jest podpierścieniem P , to ϕ(P1 ) jest podpierścieniem S, w szczególności Imϕ jest podpierścieniem S; • jeśli S1 jest podpierścieniem S, to ϕ−1 (S1 ) jest podpierścieniem P , w szczególności Kerϕ jest podpierścieniem P . Uwaga: Jeśli ϕ : P → S - homomorfizm pierścieni, to: ∀a ∈ Kerϕ ∀ b ∈ P a · b ∈ Kerϕ, co oznacza, że Kerϕ jest ideałem w P .