Politechnika Śląska w Gliwicach Ćwiczenie laboratoryjne z

Politechnika Śląska w Gliwicach Ćwiczenie laboratoryjne z

Politechnika l ska w Gliwicach
Instytut Maszyn i Urz dze Energetycznych
Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych
wiczenie laboratoryjne z Wytrzymało ci Materiałów
Temat wiczenia:
Tensometria oporowa – stała tensometru k
Opracował:
Marian Lipka
Gliwice, 2001
1. WPROWADZENIE
Odkształcenie ciała stałego poddanego obci eniu charakteryzuje si
wzgl dna zmian poło enia poszczególnych jego punktów. Do pomiaru tych
przemieszcze na powierzchni ciała, jako wielko ci bardzo małych w zakresie
spr ystym (cz sto niezauwa alnych nieuzbrojonym okiem) słu przyrz dy zwane
tensometrami. Pozwalaj one na okre lenie napr e w badanym obiekcie poprzez
pomiar jego odkształce .
W materiałach podlegaj cych prawu Hooke’a, gdy wyst puje jednokierunkowy
stan napi cia, napr enia wynosz :
gdzie:
σ = E·ε
(1)
E – moduł Younga,
ε - jednostkowe odkształcenie mierzone w kierunku działania napr
W przypadku dwukierunkowego stanu napi cia , napr
σx =
E
(ε x + νε y ) ,
1− ν2
σy =
enia.
enia σ x i σ y wynosz :
E
(ε y + νε x )
1− ν2
(2)
gdzie:
εx - odkształcenie wzgl dne w kierunku osi x,
εy - odkształcenie wzgl dne w kierunku osi y,
ν - liczba Poissona.
Odległo mi dzy dwoma punktami, której wzgl dn zmian nale y zmierzy ,
nazywa si baz pomiarow tensometru. Celem zwi kszenia dokładno ci pomiaru
przy niejednorodnym stanie odkształcenia ciała nale y stosowa małe bazy
pomiarowe (0,5 – 5) [mm]. Przy jednorodnym stanie odkształcenia, jaki mo na
przyj np. przy rozci ganiu i ciskaniu, stosowa nale y wi ksze bazy pomiarowe
(10 – 100) [mm].
Wa niejsze przypadki stosowania tensometrii:
- wyznaczanie stałych spr ystych tworzyw,
- eksperymentalne okre lanie składowych stanu odkształcenia i wielko ci z nimi
zwi zanych (napr enia, siły, momenty, ci nienia, itp.),
- analiza stanu napr e w cz ciach maszyn i konstrukcji.
2. CEL WICZENIA
Celem wiczenia jest:
a) zapoznanie si z tensometri i ró nymi rodzajami tensometrów,
b) poznanie obsługi mostka tensometrycznego,
c) poznanie sposobu wyznaczenia stałej tensometru.
3. TENSOMETRY
Tensometrami nazywamy przyrz dy pozwalaj ce na pomiar odkształce .
Mo na je podzieli na:
a) mechaniczne,
b) optyczne,
c) elektryczne,
2
d) pneumatyczne,
e) hydrauliczne,
f) strunowe.
3.1. Tensometry mechaniczne
Nale
one do najprostszej grupy tensometrów. W tego typu tensometrach
wydłu enie mierzy si
miedzy dwoma ostrzami i odczytuje na skali,
gdzie przekazywane jest do wskazówki za pomoc układu d wigni mechanicznych
daj cych z reguły 1000-krotne powi kszenie. Rysunek 1 przedstawia najbardziej
rozpowszechniony tensometr mechaniczny – tensometr Huggenbergera.
Rys. 1. Schemat tensometru Huggenberger’a
1. Ostrze ruchome, 2. Ostrze nieruchome, 3. Wskazówka z układem d wigni,
4. Podziałka, l – baza pomiarowa.
Zmiana odległo ci mi dzy ostrzami (odkształcenie ∆l) powoduje uruchomienie układu
d wigni, które powi kszaj rzeczywiste wydłu enie od 300 – 3000 razy. Baza
tensometru Huggenbergera wynosi od 5 do 100 [mm]. Najbardziej czułe tensometry
mierz wydłu enie rz du 1 [µm], a ich masa wynosi ok. 50 [g].
Prostszym tensometrem jest tensometr Martensa–Kennedy’ego, zbudowany
z dwóch bli niaczych cz ci. Zmiana długo ci jest redni arytmetyczna obu
wskaza . Baza tego tensometru ma zwykle długo 100 [mm], a przeło enie m = (25
– 30), co pozwala mierzy przyrosty rz du (0,05 – 0,02) [mm]. Schemat działania
tego tensometru przedstawia Rysunek 2.
3
Rys. 2. Schemat tensometru Martensa-Kennedy’ego
1. Ruchomy pryzmat poł czony sztywno ze wskazówk , 2. Zacisk, 3. Stałe ostrze,4. Próbka
Podobnie rozwi zane s tensometry Schoppera i rosyjskie tensometry Mił’y,
które maj dodatkow przekładni zwi kszaj c dziesi ciokrotnie czuło .
Podgrup tensometrów mechanicznych stanowi tensometry d wigniowo –
zegarowe, ró ni ce si tylko od wska nikowych tylko elementem mierz cym, którym
jest czujnik zegarowy. Schemat działania takiego tensometru przedstawia
Rysunek 3.
Rys. 3. Schemat tensometru d wigniowo-zegarowego
1. Ruchomy trzpie .
4
Tensometry mechaniczne s niewygodne w u yciu, nie nadaj
pomiaru odkształce szybkozmiennych.
si
te
do
3.2. Tensometry optyczne
Tensometry optyczne maj wi ksze przeło enie m, a zatem umo liwiaj
prowadzenie bada przy niewielkich odkształceniach, nie mieszcz cych si
w zakresie pomiarowym tensometrów mechanicznych. Zasada ich działania polega
na tym, e wraz ze zmian długo ci pocz tkowej elementu mierzonego, nast puje
obrót zwierciadła poł czonego z ruchomym pryzmatem tensometru. Rzucona wi zka
wiatła ulega obrotowi, a przesuni cie odbitej wi zki odczytuje si na skali specjaln
lunetk . Tensometry te s bardzo wra liwe na wstrz sy, wi c praca nimi ogranicza
si zwykle do bada laboratoryjnych.
Z szeregu istniej cych tensometrów optycznych w badaniach laboratoryjnych
stosowany jest w zasadzie tylko tensometr lusterkowy Martensa, przypominaj cy
budow mechaniczny tensometr Martensa-Kennedy’ego. Schemat tensometru wraz
z zasad działania przedstawia Rysunek 4.
Rys. 4. Schemat tensometru lusterkowego Martens’a.
1. Luneta, 2. Ruchome ostrze, 3. Lusterka, 4. Podziałka.
3.3. Tensometry pneumatyczne
Tensometry te, cho
rzadko dzi
stosowane, wyró niaj
si
du
dokładno ci i znaczn czuło ci . Przy dobrych warunkach pracy przeło enie mo e
wynosi nawet do 200 000. Zasada ich działania opiera si na liniowej zale no ci
pomi dzy odkształceniem, a zmian pola przekroju dyszy, które z kolei zwi zane jest
z wysoko ci słupa cieczy pomiarowej. Wysoko ta odniesiona do skali pozwala na
bezpo rednie odczytanie odkształce .
5
3.4. Tensometry strunowe
Stosowane s w budownictwie przy badaniach prowadzonych na powierzchni
i w masie badanego elementu. Zasadniczym elementem pomiarowym jest napi ta
struna (rys. 5.), której cz sto drga własnych f zale y od warto ci siły napinaj cej
P wg zale no ci:
f=
gdzie:
1 Pg
21 A s γ
(3)
l – długo struny,
g – przy pieszenie ziemskie,
As – pole powierzchni przekroju poprzecznego struny,
γ - ci ar wła ciwy materiału struny.
Rys. 5. Schemat budowy tensometru strunowego
1. Ostrze stałe, 2. Ostrze ruchome, 3,4. ruby napinaj ce, 5. Struna.
Napr enie rozci gaj ce mo na wyznaczy
podstaw do napisania zwi zku:
σ = f2
z zale no ci σ = P·As-1, co stanowi
4 γl 2
g
(4)
Wykorzystuj c te wyra enia mo na napisa wzór okre laj cy zale no pomi dzy
odkształceniami wzgl dnymi, a cz sto ciami drga własnych struny mierzonymi
przed odkształceniem (f1) i po odkształceniu (f2):
ε=
gdzie:
K – wielko
σ 2 − σ1
= K f 22 − f12
ES
(
)
(5)
stała
K=
4 γl 2
ES g
(5a)
Pomiar zatem cz sto ci drga struny daje obraz stanu odkształcenia i stanu
napr enia. Mierzenie tych cz sto ci przeprowadza si najcz ciej metod drga
zanikaj cych i metod rezonansu.
6
3.5. Tensometry elektryczne
W tensometrach elektrycznych wykorzystuje si relacje zachodz ce pomi dzy
pewnymi wielko ciami elektrycznymi, a odkształceniami. Zale nie do tego,
która z wielko ci jest mierzona, dokonuje si
podstawowego podziału tych
tensometrów na:
a) elektrooporowe,
b) indukcyjne,
c) pojemno ciowe,
d) piezoelektryczne,
e) fotoelektryczne,
f) magnetostrykcyjne.
Tensometry te cechuje du a dokładno
i mo liwo
pomiaru bardzo małych
odkształce . Pomiary te mog by dokonywane nawet w znacznej odległo ci od
elementu badanego, a ponadto istnieje mo liwo
równoczesnego pomiaru
odkształce w wielu punktach konstrukcji.
W układzie urz dzenia pomiarowego mo na wyró ni zasadnicze jego elementy
składowe:
- czujnik słu cy do przenoszenia i zamiany wielko ci mechanicznej
(odkształcenia) na wielko elektryczn ,
- układ zasilaj cy, tj. mostek pomiarowy wraz z generatorem pr du zmiennego lub
ródłem pr du stałego,
- układ wzmacniaj cy słu cy do wzmacniania impulsów pochodz cych
z czujników lub z mostka,
- urz dzenie rejestruj ce zmiany warto ci mierzonej wielko ci elektrycznej.
4. TENSOMETRY ELEKTRYCZNE OPOROWE
4.1. Podstawowe zale no ci
W tensometrach elektrycznych oporowych wykorzystuje si zjawisko zmiany
oporu elektrycznego drutu na skutek zmiany jego długo ci:
R=ρ
gdzie:
l
A
(6)
R – opór elektryczny drutu,
ρ - opór wła ciwy materiału,
l – długo drutu,
A – pole przekroju poprzecznego drutu czujnika pomiarowego.
Ró niczka zupełna oporu R wynosi
dR =
∂R
∂R
∂R
dρ +
dl +
dA
∂ρ
∂l
∂A
(6a)
Po wykorzystaniu zale no ci wynikaj cych ze zró niczkowania wzoru (6) otrzymuje
si :
7
dR =
ρ
ρl
l
dρ + dl − 2 dA
A
A
A
(6b)
Dla sko czonych przyrostów powy szy wzór przyjmie posta :
∆R =
ρ
ρl
l
∆ρ + ∆l − 2 ∆A
A
A
A
(6c)
Wzgl dny przyrost oporu czujnika jest równy
∆R ∆R ∆ ρ ∆l ∆A
= l =
+ −
R
ρA
ρ
l
A
gdzie:
(7)
∆ρ/ρ - wzgl dny przyrost oporno ci wła ciwej,
∆l/l – wzgl dne odkształcenie wzdłu ne drutu,
∆A/A – wzgl dna zmiana pola przekroju poprzecznego drutu.
Rys. 6. Przekrój poprzeczny druta czujnika oporowego
W celu okre lenia wzgl dnej zmiany pola przekroju poprzecznego ∆A/A
rozpatruje si przekrój poprzeczny drutu czujnika prostopadły do jego osi (wg rys. 6).
Poniewa drucik czujnika w czasie rozci gania znajduje si w jednokierunkowym
stanie napr enia (wektor siły rozci gaj cej jest równoległy do kierunku poło enia
drucika), odkształcenie jednostkowe w kierunku x, y i z (rys. 6) wynosz
odpowiednio:
εx = ε,
εy = - νεx = - νε,
εz = - νεx = - νε
(8)
Wydziela si z przekroju poprzecznego drutu kwadrat ABCD (rys. 6). Niech
długo ci boków tego kwadratu przed przyło eniem obci enia b d równe jednostce.
8
Po przyło eniu obci enia długo ci boków ulegn zmianie. Wynosz one (1 + εy)
oraz (1 + εz). W zwi zku z tym pole przekroju wynosz ce pocz tkowo AABCD = 1·1 = 1
wyniesie teraz
(8a)
A’ABCD = (1 + εy)(1 + εz)
Wzgl dny przyrost pola powierzchni b dzie równy
∆A A'ABCD − A ABCD (1 + ε y )(1 + ε z ) − 1
=
=
= εy + εz + εyεz
A
A ABCD
1
(8b)
Po pomini ciu iloczynu εyεz jako wielko ci małej wy szego rz du – w
porównaniu z εy i εz oraz wykorzystaniu zale no ci (8) otrzymuje si ostatecznie
∆A
= −2νε
A
(8c)
Wstawiaj c to wyra enie do zwi zku (7), otrzymuje si wzór na wzgl dny przyrost
oporu w postaci:
(∆ρ / ρ ) + 1 + 2ν
∆R
=
R
ε
(9)
∆R
∆ρ / ρ R
1 + 2ν +
ε
(10)
ε
Odkształcenie wzgl dne ε jest wi c równe
ε=
Okazuje si , e warto
1
wyra enia
k = 1 + 2ν +
∆ρ / ρ
ε
(11)
do pewnej warto ci odkształcenia wzgl dnego ε jest wielko ci stał . Ostateczny
zwi zek mi dzy odkształceniem ε, a wzgl dnym przyrostem (∆R/R) jest nast puj cy:
lub
∆R
= k·ε
R
(12)
1 ∆R
k R
(13)
ε=
gdzie:
k – stała tensometru,
∆R
- wzgl dna zmiana oporu,
R
ε - odkształcenie.
9
Odkształcenie wzgl dne ε jest wi c wprost proporcjonalne do wzgl dnego przyrostu
oporu (∆R/R).
Wzory (12) i (13) s podstawowymi zale no ciami tensometrii oporowej.
Stała tensometru k jest okre lana do wiadczalnie i zale y od rodzaju
materiału, z którego wykonany jest drucik czujnika, a jej warto
waha si
w granicach od 1,6 do 3,6 dla najcz ciej stosowanych stopów. Stał k nazywa si
równie
współczynnikiem czuło ci odkształceniowej lub współczynnikiem
tensoczuło ci.
Tensometry elektryczne oporowe charakteryzuj si tym, e w przenoszeniu
odkształce z obci onego elementu uczestniczy cały tensometr zespolony
z badanym klejem1. Miejsce naklejenia musi by dokładnie oczyszczone zarówno
mechanicznie jak i chemicznie. Proces przygotowania do prowadzenia bada jest
stosunkowo długi, gdy obok naklejania tensometrów trzeba starannie przygotowa
przewody ł cz ce je z aparatur pomiarow .
Tensometria elektrooporowa ma szereg zalet, które decyduj o jej szerokim
zastosowaniu. Nadaje si jednakowo do prowadzenia bada przy obci eniach
statycznych i dynamicznych oraz do bada elementów znajduj cych si w ruchu.
Tensometry s czułe, a ich bardzo mały ci ar nie ma wpływu na dokładno
pomiarów. Bezpo redni przekaz odkształce na drut oporowy eliminuje bł dy
niedokładno ci przekładni czy te po lizgów, które mog wyst powa w innych
tensometrach. Pomiary nie zale od przyj tej bazy ze wzgl du na to, e odczyty s
bezwymiarowe. Poniewa do jednego układu pomiarowego mo e wchodzi kilka lub
kilkana cie tensometrów czynnych, badania mo na prowadzi zdalnie, kontroluj c
jednocze nie przebieg odkształce .
na wilgo i zmiany temperatury mog by prawie całkowicie
Wra liwo
wyeliminowane.
4.2. Typy tensometrów oporowych
Stosuje si trzy typy tensometrów:
w ykowe,
kratowe,
foliowe.
Tensometry w ykowe wykonane s z odpowiednio ukształtowanego jednego
kawałka drutu (rys. 7), pokrytego obustronnie bardzo cienkim papierem lub foli .
-
Rys. 7. Schemat tensometru w
1
Sposób zamocowania za pomoc
ewentualnym jego oderwaniu).
ykowego
kleju uniemo liwia ponowne wykorzystanie tensometru (po
10
Do ko ca drutu doł czona jest ocynkowana ta ma miedziana ł cz ca tensometr
z przewodami
obwodu
elektrycznego.
Drut,
najcz ciej
konstantanowy,
chromonikielinowy lub nichromowy ma rednic od 0,02 [mm] do 0,05 [mm].
Tensometry kratowe, opracowane przez Gustafssona, składaj si z szeregu
pojedynczych odcinków drutów poł czonych ze sob w obwód ta ma o wi kszym
przekroju wykonan z materiału o małej oporno ci wła ciwej. Ł czniki takie
zapewniaj , e zmiany oporu spowodowane ich odkształceniem s o dwa rz dy
mniejsze ni w drucikach podłu nych i w zwi zku z tym znajduj si poza zakresem
pomiarowym stosowanej aparatury. Druciki w tych tensometrach s konstantanowe
o rednicy nie wi kszej ni 50 [µm] i ł czone s ta mami miedzianymi poprzez
lutowanie cyn .
Rys. 8. Schemat tensometru kratowego
Fakt ł czenia cyn czyni je mniej przydatnymi do bada zm czeniowych oraz
ogranicza mo liwo
stosowania do warunków, w których temperatura nie
przekracza 180 [°C]. Bazy tych tensometrów i tensometrów w ykowych
produkowanych w Polsce wynosz (5 – 70) [mm].
Tensometry foliowe (rys. 9) wykonuje si z folii metalowej o grubo ci od
(0,0025 do 0,025) [mm] sposobem podobnym do tego, jakim wytwarza si obwody
drukowane.
Rys. 9. Schemat tensometrów foliowych
Coraz cz ciej obok tensometrów drucikowych (w ykowe, kratowe)
i foliowych korzysta si z tensometrów półprzewodnikowych. Podstawow cech
odró niaj c te tensometry od tensometrów metalowych jest ich du y współczynnik
czuło ci odkształceniowej K. Dla tensometrów półprzewodnikowych krzemowych lub
11
germanowych K = (40 – 300). Prowadzi to do mo liwo ci stosowania znacznie
prostszej i ta szej aparatury pomiarowej. Tensometry te dobrze pracuj zarówno w
układach obci onych statycznie jak i dynamicznie. Istotn wad tych tensometrów
jest zale no współczynnika K od temperatury i wydłu enia wzgl dnego.
W przypadku pomiaru płaskiego stanu odkształcenia u ywa si tzw. rozet
tensometrycznych, czyli zestawów tensometrów ustawionych wzajemnie pod
okre lonymi k tami (rys. 10). Ilo tensometrów w tym przypadku wynika z ilo ci
mierzonych składowych stanu odkształcenia.
Rys. 10. Rozety tensometryczne
4.3. Zasada pomiaru
Najcz ciej stosowan metod pomiaru odkształce w tensometrii oporowej
jest metoda zerowa. Zasad pomiaru pokazano na rysunku 11.
Rys. 11. Schemat układu pomiarowego mostka Wheatstone’a
12
Dla zmierzenia odkształce próbki I (w kierunku działania siły P) nakleja si na
próbk tensometryczn czujnik oporowy (pomiarowy) o oporze RI.
Dla okre lenia zmian jego oporu ∆RI nale y czujnik wł czy w gał
AD mostka
Wheatstone’a. Badana próbka odkształca si
nie tylko wskutek działa
mechanicznych, lecz równie na skutek mog cych wyst powa w trakcie bada
ewentualnych zmian temperatury. Aby wyeliminowa wpływ zakłóce na pomiary
wł cza si w gał
BD drugi czujnik oporowy (tzw. kompensacyjny) o oporze RII
(RII≅RI). Czujnik ten powinien by naklejony na nieobci onej próbce II wykonanej z
tego samego materiału co badana próbka I i znajduj cej si w tych samych
warunkach termicznych.
Najcz ciej pomiaru przyrostu oporu dokonuje si metoda zerow , polegaj c
na zrównowa eniu mostka przed obci eniem, a nast pnie po obci eniu i
odczytaniu ró nicy wskaza . Zrównowa enie mostka oznacza, e w gał zi CD nie
ma przepływu pr du. Do zrównowa enia mostka słu y specjalny opornik regulacyjny.
5. WYZNACZANIE STAŁEJ TENSOMETRU k
Badanie przeprowadza si na belce jak w układzie przedstawionym na rys. 12.
Rys. 12. Schemat stanowiska do wyznaczania stałej tensometru
Strzałka w rodku ugi cia belki wynosi:
f=
gdzie:
I=
St d:
Pal 2
8·EI
(14)
bh 3
12
Pa = 8·EI
f
l2
(14a)
Na odcinku BC belka podlega zginaniu równomiernemu. Oznacza to, e
moment gn cy Mg, napr enia σ, a zatem i odkształcenia ε s jednakowe we
wszystkich punktach na odcinku BC belki i wynosz :
13
M g = Pa
σ=
gdzie:
W=
Mg
W
(16)
bh 2
6
ε=
Mg
σ
6·Pa 4hf
=
=
= 2
E W·E bh 2 E
l
Uwzgl dniaj c (13) otrzymuje si :
l2
k=
gdzie:
= E·ε
(15)
∆R
R
4·hf
(17)
(18)
h – wysoko przekroju [mm],
l – rozstaw podpór [mm],
f – strzałka ugi cia w rodku belki [mm].
Chc c obliczy stał k nale y obci y belk zginan dowolna sił P,
zmierzy odpowiadaj c jej strzałk ugi cia f i wzgl dn zmian oporno ci ∆R/R.
Strzałk ugi cia mierzy si czujnikiem zegarowym (dokładno pomiaru 0,01 mm),
za wzgl dna zmian rezystancji – za pomoc mostka tensometrycznego
i sprz onego z nim analogowego miernika tensometrycznego typu 1904.
Zakres pomiarowy miernika wynosi (∆R/R) = 0,005 / .
5.1. Przebieg wiczenia
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Dokona poł czenia aparatury pomiarowej,
Zmierzy wielko ci charakteryzuj ce przekrój belki,
Wyzerowa mostek pomiarowy dla strzałki ugi cia f = 0,
Wyzerowa czujnik zegarowy dla strzałki ugi cia f = 0,
Obci a belk
rub napinaj c , a tym samym zwi ksza strzałk ugi cia f
co 0,25 mm, dokonuj c odczytu przyrostu oporno ci wzgl dnej (dopuszczalne
ugi cie belki wynosi fdop = 3,0 mm),
Podobnie jak w pkt. 5, czynno ci przeprowadzi przy odci aniu belki,
Wyniki zamie ci w tablicy karty pomiarowej,
Dokona potrzebnych przelicze , tj.:
a) wyznaczy stał tensometru,
b) obliczy odkształcenia (wg wzoru 13) oraz napr enia maksymalne w belce,
Wyniki zapisa w tablicy pomiarowej.
14
6. OPRACOWANIE WYNIKÓW
W sprawozdaniu nale y zamie ci :
1. Okre lenie celu wiczenia,
2. Krótki wst p teoretyczny,
3. Schemat układu pomiarowego,
4. Wyznaczenie stałej tensometru,
5. Obliczenia odkształce i napr e maksymalnych w belce,
6. Uwagi i wnioski ko cowe.
7. BIBLIOGRAFIA
1. Jakubowicz A., Orlo Z.: Wytrzymało materiałów. WNT, Warszawa 1978.
2. Boruszak A., Sygulski R., Wrze niowski K.: Wytrzymało
materiałów.
Do wiadczalne metody bada . PWN, Warszawa – Pozna 1984.
3. Praca zbiorowa pod red. Banasika M.: wiczenia laboratoryjne z wytrzymało ci
materiałów. Wyd. III, PWN, Warszawa, 1985.
4. Praca zbiorowa pod red. Lambera T.: wiczenia z wytrzymało ci materiałów.
Laboratorium. Skrypt Pol. l. nr 1527, Gliwice 1990.
15
KARTA POMIAROWA
Data wykonania wiczenia:
Wydział:
Kierunek:
Rok:
Semestr:
Grupa dzieka ska:
Skład sekcji:
Dane pomiarowe:
a) długo
b) grubo
pomiarowa belki:
belki:
l = 390 mm,
h = 8 mm.
Tablica pomiarowa
L.p.
∆R/R [ / ]
f [mm]
ki [-]
k
r
=
1 n
ki
n i =1
[-]
[MPa]
Doci
anie belki
Doci
anie belki
Odci
anie belki
Odci
anie belki
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
16