analiza porównawcza wybranych modeli ruchu cząstki sferycznej w

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
36, s. 387-394, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
ANALIZA PORÓWNAWCZA WYBRANYCH MODELI RUCHU
CZĄSTKI SFERYCZNEJ W JEDNOWYMIAROWYM PRZEPŁYWIE
DWUFAZOWYM
ANDRZEJ J. PANAS, TOMASZ FAFIŃSKI
Instytut Techniki Lotniczej, Wojskowa Akademia Techniczna
e-mail:[email protected]
Streszczenie. W pracy porównano wybrane modele ruchu kropli traktowanej
jako nieodkształcalna cząstka sferyczna w polu przepływu gazu. Bezpośrednim
celem prezentowanej analizy było określenie róŜnic pomiędzy rozwiązaniami
zagadnienia ruchu kropli uzyskiwanymi przy zastosowaniu róŜnych przybliŜeń dla
wyraŜenia składowej sił aerodynamicznych w równaniach ruchu. Analizowano
wybrane przybliŜenia aproksymacyjne dla współczynnika oporu kropli w
szerokim zakresie zmienności liczby Reynoldsa oraz rozwiązania analityczne i
numeryczne zagadnienia przyspieszania kropli w przepływie jednowymiarowym.
1. WSTĘP
W badaniach oblodzenia statków powietrznych jednym z podstawowych analizowanych
problemów jest zagadnienie przepływu dwufazowego gazowo-cieczowego. Zagadnienie to
rozwaŜa się w róŜnych kontekstach, najczęściej jednak przy analizach dotyczących wychwytu
kropel aerozolu wodnego przez zewnętrzne elementy konstrukcyjne statku powietrznego [1]
i przy badaniach przepływów w układach dolotowych zespołów napędowych [2, 3].
W przeciwieństwie do wielu znanych z techniki [4, 5] przypadków przepływów dwufazowych
cechą charakterystyczną zagadnień oblodzeniowych i okołooblodzeniowych1 jest
występowanie duŜych gradientów pola prędkości czynnika podstawowego – gazowego
w obszarach krytycznych. Oznacza to duŜą zmienność liczby Reynoldsa charakteryzującej
ruch fazy skondensowanej i konieczność zwrócenia szczególnej uwagi na problem
modelowania w takich warunkach ruchu zawiesiny aerozolowej. PoniewaŜ w literaturze
przedmiotu (por. np. [4] i [6]), a takŜe w bibliotekach pakietów obliczeń numerycznych (np.
[7] i [8]) są alternatywnie dostępne róŜne opisy fizyczno-matematyczne problemu, powstają
pytania dotyczące wiarygodności i reprezentatywności wyników obliczeń uzyskiwanych przy
ich zastosowaniu.
Celem badań opisywanych w niniejszym opracowaniu było porównanie kilku
podstawowych modeli ruchu kropli aerozolu w unoszącym ją przepływie gazu. RozwaŜano
modele uŜywane do obliczeń analitycznych i stosowane w bibliotekach pakietów obliczeń
numerycznych. Analizowano nie tylko bezpośrednie róŜnice pomiędzy modelami, ale
1
Jak np. przepływ arozolu mieszanki w gaźniku silnika tłokowego, gdzie wychładzanie spowodowane
odparowaniem paliwa tworzy dodatkowy bodziec do powstawania oblodzenia (por. np. [1])
388
A. J. PANAS, T. FAFIŃSKI
odniesiono się równieŜ do róŜnic w charakterystykach ruchu kropli, które otrzymano przy ich
wykorzystaniu.
2. CHARAKTERYSTYKA PROBLEMU
W typowych przypadkach analiz oblodzeniowych rozwaŜane są przepływy aerozolu
cieczowego o stosunkowo małym udziale objętościowym fazy skondensowanej. Dla
przepływu aerozoli zachmurzenia typowo rozwaŜana wodność atmosfery wynosi od 0,2 g⋅m-3
do ok. 2÷4 g⋅m-3 [1, 9], co oznacza proporcje udziałów masowych woda:powietrze sięgające
wartości 3:1000. Przy aerozolach paliwowych proporcje udziałów masowych wynikają ze
stechiometrii procesu spalania i dla typowych paliw węglowodorowych oraz typowych
wartości współczynnika nadmiaru powietrza wynoszą 1:15 (por. [10]). Uwzględnienie róŜnic
gęstości fazy skondensowanej i gazowej przesuwa te proporcje na korzyść gazu o około trzy
rzędy wielkości. MoŜna zatem przyjąć załoŜenie, Ŝe poszczególne krople aerozolu poruszają
się niezaleŜnie od siebie, a takŜe, Ŝe sprzęŜenie ruchu gazu i fazy skondensowanej jest
jednostronne2 (por. [6]).
Średnice kropel aerozoli atmosferycznych zawierają się w przedziale od 2 do 40 µm dla
chmur oraz od 40 µm do ok. 200 µm dla zawiesin szczególnie niebezpiecznych duŜych
przechłodzonych kropel [1]. Jako wartości reprezentatywne przyjęto odpowiednio 10 µm
i 100 µm. Wyniki badań własnych rozkładu widmowego średnic kropel aerozoli rozpylanych
oraz analiza danych literaturowych pozwalają stwierdzić, Ŝe pierwszy z wymienionych
przypadków będzie dobrze charakteryzował równieŜ i aerozole paliwowe.
Drugim z kluczowych parametrów wymiarującym zjawisko jest prędkość. W danym
przypadku będzie to prędkość ruchu kropli względem gazu. Górna granicę dla tego parametru
w typowo rozwaŜanych problemach oblodzeniowych moŜna określić na ok. 300 m⋅s-1.
W przepływach gaźnikowych zmienia się ona od ok kilku m⋅s-1 do ponad 200 m⋅s-1. Dla
zewnętrznych elementów konstrukcyjnych statku powietrznego celowe jest rozwaŜanie
prędkości przepływu do 150 m⋅s-1. Prędkość 40 m⋅s-1 charakteryzuje przepływy w tunelu
aerodynamicznym niskich temperatur opisanym w [1].
RozwaŜając moŜliwie szeroką gamę zjawisk cząstkowych dynamiki ruchu kropli
w procesach oblodzeniowych, oprócz zagadnienia laminarnego przyspieszania /
wyhamowywania kropli traktowanej jako nieodkształcalna sfera, naleŜałoby uwzględnić
równieŜ zjawiska turbulencji opływu zewnętrznego, generacji wirowego przepływu płynu
wewnątrz kropli [6], odkształceń i rozpadu kropli, wychwytu kropel i powstawania przepływu
błonowego, zrywania warstwy cieczy i fragmentacji wtórnej [4, 5], efektów związanych
z napięciem powierzchniowym (np. efekt Marangoniego [11]) itd. Mając na uwadze cel
badań, jakim jest określenie ewentualnych ograniczeń juŜ dla zjawiska podstawowego,
postanowiono zawęzić zakres analizy do rozwaŜenia ruchu kropli traktowanej jako
nieodkształcalna i niepodlegająca przemianom fazowym sfera w opływie laminarnym. W
takich okolicznościach uzasadnione jest równieŜ ograniczenie się do analizy
jednowymiarowej, co prowadzi do następującego równania ruchu kropli w opisie Lagrange'a
[6, 7, 8]
2
Dla pola prędkości załoŜenie to jest tylko w przybliŜeniu spełnione dla aerozolu paliwowego. W przypadku
pola temperatury sytuacja się komplikuje, gdyŜ uwzględnienie zjawisk przemian fazowych narzuca konieczność
włączenia do rozwaŜań sprzęŜenia wzajemnego (por. [6]).
ANALIZA PORÓWNAWCZA WYBRANYCH MODELI RUCHU CZĄSTKI SFERYCZNEJ ...
389
g x (ρ d − ρ g )
dv
= FD (u − v ) +
+ Fx
(1)
ρg
dt
gdzie v jest prędkością ruchu kropli, u – prędkością ruchu gazu, gx – odpowiednią składową
przyspieszenia ziemskiego, ρd i ρg – gęstościami odpowiednio cieczy i gazu, Fx – składową
w rozwaŜanym kierunku ruchu pozostałych sił, a FD opisuje udział sił aerodynamicznych
18 µ g C D Re r
FD =
(2)
ρ d d 2 24
W powyŜszym równaniu występuje współczynnik oporu aerodynamicznego kropli CD –
kluczowy parametr rozwaŜanego modelu, średnica kropli d, lepkość dynamiczna gazu µg oraz
liczba Reynoldsa zdefiniowana dla prędkości względnej
Re r =
d ρg u − v
(3)
µg
Współczynnik oporu aerodynamicznego kropli jest w ogólnym przypadku funkcją liczby
Reynoldsa. Określoną eksperymentalnie standardową krzywą zaleŜności CD = f(Rer)
przedstawiono na rys. 1. Przy analizie wpływu tylko sił aerodynamicznych moŜna pominąć
w rozwaŜaniach dwa ostatnie składniki prawej strony zaleŜności (1). Zagadnienie ruchu kropli
sprowadzi się do problemu odpowiedniego przedstawienia aproksymacyjnego krzywej
CD = f(Rer) i analitycznego lub numerycznego całkowania równania (1). Oceniając uzyskane
rozwiązania, naleŜy mieć na uwadze fakt, iŜ standardowa krzywa eksperymentalna z rys. 1
stanowi jedynie przybliŜenie wielu wyników pomiarowych. WyobraŜenie o skali moŜliwych
indywidualnych odstępstw oraz o zakresach liczb Reynoldsa, przy jakich występują, daje
analiza przykładowych krzywych z badań przepływów turbulentnych pokazanych na rys. 1.
103
Stokes ( CD=24/Rer)
eksp. (p. laminarny)
turb. 1
turb. 2
turb. 3
2
2
10
2
CD
101
2
100
2
10-1
2
10-2 -2
10 2
10-1 2
100 2
101 2
102 2
103 2
104 2
105 2
106
Re r
Rys. 1. Standardowa zaleŜność współczynnika oporu aerodynamicznego cząstki sferycznej od
liczby Reynoldsa dla przepływu laminarnego – linia ciągła [12]. Na rysunku zaznaczono
równieŜ wartości przybliŜenia Stokesa oraz krzywe graniczne odpowiadające zjawiskom
turbulencji (opracowano na podstawie danych z monografii [6])
390
3.
A. J. PANAS, T. FAFIŃSKI
PORÓWNANIE WYBRANYCH MODELI
ZAGADNIENIA PRZYSPIESZANIA KROPLI
I
UZYSKANYCH
ROZWIĄZAŃ
PodłoŜem omawianych w niniejszym opracowaniu badań są róŜnice w wynikach obliczeń
realizowanych przy wykorzystaniu róŜnych pakietów obliczeniowych. Porównaniu poddano
zatem kilka modeli uznanych za reprezentatywne dla trzech sposobów rozwiązania
zagadnienia przyspieszania kropli wrzuconej w przepływ gazu o prędkości bezwzględnej u, a
mianowicie:
• rozwiązania analitycznego,
• rozwiązania numerycznego przy uŜyciu pakietu CFD (NMP - numerycznej mechaniki
płynów) FLUENT [8],
• rozwiązania numerycznego przy uŜyciu pakietu COMSOL [7].
Wykaz - dane porównywanych modeli przedstawiono w tabeli 1. Przy całkowaniu
analitycznym rozwaŜania ograniczono do uzyskania charakterystyki czasowej zmian
prędkości kropli. Nawet i w tym zawęŜonym przypadku klasa przybliŜeń aproksymacyjnych
charakterystyki CD = f(Rer) dających efektywne rozwiązania jest ograniczona. Jawne
rozwiązania moŜna otrzymać dla modeli reprezentowanych w formie waŜonych trzech
pierwszych członów szeregu geometrycznego jak w przypadkach zaleŜności (4), (5), (8) i (11)
(patrz tab. 1). Sposób uzyskania rozwiązań analitycznych przedstawiają publikacje [4] i [12].
Przy analizach numerycznych korzystano ze standardowo wbudowanych procedur.
Tabela 1. Porównywane modele oraz dane dotyczące metodyki rozwiązywania
Model
ZaleŜność
Uwagi / sposób
rozwiązania
Stokes [4, 6]
analitycznie / COMSOL
24
(4)
CD =
Re r
Ossen [6]
24
(5)
CD =
3


Re r 1 + Re r 
 16

Shiller – Naumann
24
0 , 687
(6)
CD =
1 + 0,15 Re r
[6]
Re r
2
Shiller – Naumann
1 < Rer < 800
(7)
24  3 Re r 
bis [4, 6]
CD =
1+
Re r 
6 


Orzechowski –
2 < Rer < 10 000

12,8 
(8)

C D = π  0,128 +
Prywer [4]
analitycznie / COMSOL
Re r 

3, 45
Khan – Richardson
0,01 < Rer < 300 000
 1,84

(9)
0 , 06


C D = 2
+ 0,293 Re 
[8]
COMSOL
0 , 31
 Re r

Morsi – Alexander
FLUENT
a
a
(10)
C D = a1 + 2 + 3 2
[7, 12]
(a
,
a
,
a
1
2
3 – zróŜnicowane
Re r Re r
dla róŜnych zakresów Rer)
(
)
ANALIZA PORÓWNAWCZA WYBRANYCH MODELI RUCHU CZĄSTKI SFERYCZNEJ ...
102
Stokes
Ossen
Shiller-Naumann
S-N 2<Rer<800
Orz-Pr 2<Rer<10000
Khan-Richardson
Cx_Morsi_Alex
Rer<700
13<Re r<70
3
2
391
3
2
CD
101
3
2
100
3
2
10-1
10-1
2
100
2
101
2
102
103
2
2
104
2
105
2
106
Re r
Rys. 2. Porównanie analizowanych modeli współczynnika oporu aerodynamicznego cząstki
sferycznej (por. tab. 1) - pionowymi liniami przerywanymi zaznaczono wartości liczb
Reynoldsa wymiarujących zjawiska
d = 10 µm
40
analitycznie: Stokes (4)
analitycznie: zmienne (8)
FLUENT: Morsi-Alex. (10)
COMSOL: Kh.-Rich. (9)
COMSOL: Stokes (4)
u-v [m/s]
30
20
10
0
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
x [m]
Rys. 3. Porównanie wyników rozwiązań zagadnienia rozpędzania kropli dla wybranych
modeli
Postępowanie polegało na uzyskaniu rozwiązania dla dwuwymiarowego pola przepływu gazu
i jednowymiarowej analizie ruchu kropli ”wrzuconej” w pole przepływu. Wprawdzie na
uzyskiwane wyniki nie powinno to mieć wpływu, ale dla celów porządkowych naleŜałoby
dodać, Ŝe w przypadku FLUENT-a analizowano pola przepływu ściśliwego z uwzględnieniem
turbulencji, a przy wykorzystaniu pakietu COMSOL pola przepływu ściśliwego laminarnego.
Charakterystyki CD dla poszczególnych modeli przedstawia rys. 2. Przy wykorzystaniu
danych dotyczących właściwości fizycznych substancji dla temperatury 0oC ([10], [13]) oraz
przedstawionej uprzednio charakterystyki problemu zakres zmian wymiarującej proces liczby
Reynoldsa moŜna określić na od 0 do ok. 700 (maksimum dla kropli 50 µm w strudze gazu
o prędkości ok. 200 m⋅s-1). Dla potrzeb analizy wyników badań doświadczalnych z tunelu
aerodynamicznego określono jeszcze dwa dodatkowe ograniczenia: dla prędkości 40 m⋅s-1
392
A. J. PANAS, T. FAFIŃSKI
oraz średnic kropel 10 µm i 20 µm. Jak widać, nawet w ograniczonym powyŜszymi
wartościami obszarze, róŜnice dla niektórych modeli są więcej niŜ znaczne - naleŜy mieć
bowiem na uwadze logarytmiczną skalę wykresu. ZauwaŜalne odstępstwa od linii danych
eksperymentalnych wykazuje równieŜ podstawowy dla pakietu COMSOL model KhanaRichardsona. RóŜnice te będą jednak mniej niepokojące, gdy spojrzy się na nie poprzez
pryzmat reprezentatywności krzywej eksperymentalnej (por. rys. 1). W przedziale kluczowych
wartości liczb Reynoldsa – określającym zakres początkowej fazy ruchu kropli „wrzuconej”
w przepływ – moŜna je uznać za mieszczące się w obszarze określającym zróŜnicowanie
wyników badań opływów laminarnych i turbulentnych (por. rys. 1).
Ocena poszczególnych modeli na podstawie bezpośredniego ich zestawienia nie jest w
pełni miarodajna. Efektywne róŜnice mogą być mniejsze ze względu na procedury całkowania
przy rozwiązywaniu zagadnienia przyspieszania kropli (1). Celowe staje się zatem
porównanie rozwiązań uzyskiwanych przy ich wykorzystaniu. Na potrzeby niniejszego
opracowania przyjęto następujące warunki fizyczne i graniczne problemu: prędkość
bezwzględna gazu u = 40 m⋅s-1, obliczeniowa średnica kropli d = 10 µm, dane termofizyczne
mediów dla temperatury 0 oC. W równaniu (1) ograniczono się do uwzględnienia tylko
składowej aerodynamicznej opisanej pierwszym członem wymuszenia (prawej strony).
Uzyskane wyniki w postaci zaleŜności prędkości względnej kropli od przebytej drogi
przedstawiono na rys. 3. Oczywiście kaŜdy inny przypadek wymaga odrębnego
potraktowania, ale rezultaty zobrazowane na wspomnianym rysunku wydają się być
reprezentatywne co najmniej do przeprowadzenia analizy jakościowej. Przedtem warto jednak
określić liczbowo dwa dodatkowe parametry: czas charakterystyczny przyspieszania kropli τv i
czas charakterystyczny nagrzewania kropli τT oraz ich proporcję [6]:
ρ g c pd d 2
ρg d 2
τv
2 cp g 1
,
,
=
(11.a, b, c)
τT =
τv =
18 µ g
18 µ g
τT
3 c p d Pr
gdzie cpd i cpg to ciepła właściwe przy stałym ciśnieniu fazy odpowiednio skondensowanej a
Pr jest liczbą Prandtla ośrodka gazowego. Podane parametry charakteryzują rozwiązania
problemów uproszczonych3 i wyznaczają skalę czasową procesów. Włączenie do analizy
czasu τT jest uzasadnione tym, Ŝe cała analiza słuŜy ocenie właśnie warunków wymiany ciepła
kształtujących zjawiska oblodzeniowe. Dla danych zadania określonych powyŜej dostaje się:
τv = 0,324 s;
τT = 1,430 s;
τv / τT = 0,226
(12.a, b, c)
Jak zatem widać, zjawiska termicznie są, szacunkowo rzecz biorąc, około 4 razy
wolniejsze. Wobec powyŜszego, niewielkie z pozoru róŜnice w rozwiązaniach
przedstawionych na rys. 3 mogą rzutować na pojawianie się istotnych rozbieŜności w miejscu
i czasie zachodzenia procesów wymiany ciepła.
Analizując wyniki z rys. 3 tylko w kontekście dynamiki ruchu kropli warto zwrócić uwagę
na zaskakująco dobrą zgodność rozwiązań dla modelu Khana-Richardsona i MorsiegoAlexandra. Uzyskano ją pomimo komentowanych wcześniej znacznych odstępstw pierwszego
z wymienionych modeli od charakterystyki reprezentatywnej (por. rys. 2). Zgodność ta nie
upowaŜnia jednak do stwierdzenia równowaŜności obu modeli. Oczekiwana zgodność
rozwiązania analitycznego i numerycznego dla modelu Stokesa weryfikuje poprawność
procedur numerycznych. Drugie z rozwiązań analitycznych, dla modelu określonego
równaniem (8), dość dobrze się zgadza z rozwiązaniami numerycznymi w początkowej fazie
3
Dla zagadnienia przyspieszania kropli będzie to problem określony modelem Stokesa – równanie (4).
ANALIZA PORÓWNAWCZA WYBRANYCH MODELI RUCHU CZĄSTKI SFERYCZNEJ ...
393
procesu rozpędzania kropli. Wydaje się zatem, Ŝe zastosowany model moŜe być stosowany do
analiz wstępnych i przybliŜonych. Zgodnie z oczekiwaniami nie moŜna tego powiedzieć
o najprostszym z rozwaŜanych modeli oporu aerodynamicznego sferycznej kropli, jakim jest
model Stokesa. Jego wykorzystanie powinno się ograniczać tylko do określenia skali zjawisk.
Przy ocenach ilościowych róŜnice (por. rys. 3) sięgają ponad 100 % w wartościach
względnych.
Przechodząc do oceny całościowej uzyskanych rezultatów, naleŜy jeszcze raz przypomnieć
fakt poczynienia znacznych uproszczeń JeŜeli w takiej sytuacji obserwuje się róŜnice
pomiędzy rozwiązaniami, to nie moŜna ich wykluczyć dla modeli bardziej rozwiniętych.
Wydaje się zatem uzasadnione stwierdzenie, Ŝe w polach przepływu o duŜej zmienności
czasowej bądź przestrzennej wynikom podobnych analiz moŜna przypisać jedynie charakter
jakościowy. Obliczenia ilościowe będą wymagały dodatkowych studiów.
4. PODSUMOWANIE
Potrzeba analizy ruchu kropli w polu przepływu gazu wystąpiła w związku z
prowadzonymi badaniami oblodzenia statków powietrznych. Dla analizowanego przepływu
dwufazowego zastosowano klasyczne przybliŜenie kropli nieodkształcalną cząstką sferyczną,
której ruch nie wpływa na ruch gazu. Rozwiązania analityczne porównywano są
z wartościami odpowiednich charakterystyk numerycznych wyznaczonych przy zastosowaniu
pakietów numerycznego modelowania przepływów FLUENT i COMSOL. Ze względu na
konieczność uzyskania klarownego obrazu wyników modelowanie ograniczono do przypadku
przepływu jednowymiarowego. Szerokim kontekstem analizy są złoŜone zjawiska wymiany
ciepła i masy w układach dolotowych zespołów napędowych statków powietrznych
w warunkach oblodzenia. Charakterystyczne dla tego przypadku przepływy cechują się duŜą
zmiennością przestrzenną i czasową pól fizycznych oraz sprzęŜeniami zjawisk cząstkowych.
Przeprowadzona analiza nie pozwala na jednoznaczne wyróŜnienie zaleceniem stosowania
któregoś z badanych modeli współczynnika oporu aerodynamicznego. Jest to trudne, tym
bardziej, Ŝe problematyczna pozostaje reprezentatywność charakterystyki eksperymentalnej
w kontekście pełnej gamy procesów cząstkowych. Dotychczas bowiem nie wspomniano
nawet o problemie sprzęŜenia pomiędzy zjawiska wymiany ciepła i masy oraz wymianą pędu
pomiędzy poszczególnymi fazami (por. [6]). Procesy takie, podobnie jak odkształcenia kropli,
wpływają na zmiany wartości sił aerodynamicznych. Wydaje się zatem, Ŝe w analizach
oblodzeniowych wybrane modele mogą być stosowane do wyznaczania trajektorii kropel
i określania miejsc naraŜonych na oblodzenie oraz tzw. współczynników wychwytu (por. [1])
w przepływach o słabo zmiennych polach parametrów fizycznych. Przy duŜych i zmiennych
gradientach moŜliwa jest tylko zgrubna ocena jakościowa. Wnioski z przeprowadzonej
analizy pozwolą na zweryfikowanie wyników modelowania numerycznego dla przypadków
szczególnych o złoŜonej geometrii.
Prezentowane wyniki uzyskano w ramach realizacji pracy finansowanej ze środków na
naukę w latach 2006-2008 jako projekt badawczy nr 4T12D01630
394
A. J. PANAS, T. FAFIŃSKI
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Kowaleczko G., Panas A., Chachurski R. i i.: Oblodzenie statków powietrznych.
Warszawa: Wyd. ITWL, 2005.
Chachurski R.: Analiza moŜliwości wystąpienia oblodzenia lotniczych zespołów
napędowych w warunkach polskich. „ Journal of KONES Powertrain and Transport”
2007, Vol. 14, No 4, p. 131-138.
Panas A.J., Fafiński T., Chachurski R., Frant M: Weryfikacyjna analiza numeryczna
hipotez oblodzeniowych wlotu lotniczego silnika turbinowego TW2-117A. „Journal of
KONES Powertrain and Transport” 2007, Vol. 14, No 4, p. 503-510.
Orzechowski Z., Prywer J.: Rozpylanie cieczy w urządzeniach energetycznych.
Warszawa: WNT, 1994.
Tarnogrodzki A.: Dynamika gazów. Warszawa: WKŁ, 2003.
Crowe C. T. ed.: Multiphase Flow Handbook. Boca Raton: Taylor & Francis, 2006.
FLUENT 6.2 User’s Guide. Lebanon NH: Fluent Inc., 2005.
COMSOL Multiphysics User’s Guide. Stockholm: Comsol AB, 2005.
Chrgian : Fizika atmofiery. Moskva: Gosudarstviennoie Izdatielstvo TiechnikoTieorieticzieskoi Litieratury, 1953.
Wiśniewski S.: Termodynamika techniczna. Warszawa: WNT, 1986.
Skiepko J., Panas A. J.: Instability of the motion of a spherical drop in a vertical
temperature gradient. “Archives of Mechanics” 1989, 41, 6, p. 811-820.
Morsi S.A., Alexander A.J.: An investigation of particle trajectories in two-phase flow
systems. “J. Fluid Mech.” 1972, 55, p. 193-208.
Bejan A., Kraus A.D.: Heat transfer handbook. Hoboken NJ: John Willey & Sons, Inc.,
2003.
COMPARATIVE ANALYSIS OF RESPONSE OF
A SPHERICAL PARTICLE TO ONE DIMENSIONAL TWOPHASE FLUID FLOW
Summary. Modelling results of an aerosol droplet motion in gaseous fluid have
been discussed. The analysis is focused on differences between the results
obtained for different approximations of the aerodynamic force component in the
governing equation of motion. The drag force has been modelled applying
selected expressions for the drag coefficient in a wide range of instantaneous
Reynolds number. The droplet has been considered as a rigid (non – deformable)
spherical particle. Results of analytical calculations have been compared with the
outcomes of numerical calculations. Numerical analysis has been performed using
popular CFD FLUENT and COMSOL packages. Some typical expressions for the
particle drag coefficient have been considered. For the simplicity sake the analysis
has been limited to a particle response to a one-dimensional flow. The main goal
of the whole analysis is to clarify picture of complex heat and mass transfer
phenomena in two-phase duct flows in icing conditions. The obtained results will
enable verification of a CFD analysis for cases of a more complicated flow
geometry.