dwa zera

 Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
1/14
ĆWICZENIE 4
Projektowanie filtrów metodą doboru rozkładu zer i biegunów transmitancji
1. Cel ćwiczenia
Transmitancja systemu DLS ma określony rozkład osobliwości, czyli zer i biegunów.
Każdemu zeru i biegunowi odpowiadają charakterystyki częstotliwościowe o kształcie
zależnym od położenia osobliwości na płaszczyźnie zmiennej zespolonej względem okręgu
jednostkowego. Znając reguły rządzące kształtem charakterystyk częstotliwościowych w
zależności od położenia osobliwości, projektant może tak zestawić zera i bieguny w
transmitancji systemu, aby zaprojektować system o pożądanych właściwościach. W
ćwiczeniu będzie badany kształt charakterystyk częstotliwościowych w zależności od
położenia zer i biegunów. System służący do kształtowania charakterystyk
częstotliwościowych nazywa się filtrem. Będą projektowane filtry o zadanych właściwościach
poprzez dobór rozkładu zer i biegunów.
2. Wprowadzenie
Transmitancja systemu DLS
rozkład zer z i i biegunów pi
ma postać funkcji wymiernej, której odpowiada określony
M
b + b z −1 + K + bN z − M
H ( z ) = 0 1 −1
= H0
a 0 + a1 z + K + a N z − N
∏ (z − z )
i
i =1
N
∏ (z − p )
i
,
H0 =
b0
a0
(1)
i =1
W badaniach wpływu rozkładu zer i biegunów na charakterystyki częstotliwościowe
będzie przydatny interfejs graficzny zerbieg. Okno tego interfejsu pokazano na rys. 1.
Interfejs pozwala wprowadzać zera i bieguny, przy czym osobliwości są albo parami
zespolone sprzężone, albo pojedyncze rzeczywiste. Wprowadzone osobliwości można
przesuwać na płaszczyźnie zmiennej zespolonej poprzez użycie suwaków lub wpisując
wartości w polach edycyjnych. Mamy do wyboru posłużenie się współrzędnymi
prostokątnego układu współrzędnych (układ kartezjański) lub współrzędnymi biegunowymi.
Przycisk Usuń pozwala usunąć, a przycisk Odwróć odwrócić osobliwość. Dla zadanego
rozkładu zer i biegunów interfejs podaje jaka jest transmitancja H ( z ) , wykreśla
charakterystyki czasowe i charakterystyki częstotliwościowe amplitudową, fazową i
opóźnienia grupowego.
Przykład 1. Wprowadzając w interfejsie graficznym zerbieg parę zer z1, 2 = re ± jω 0 i
zmieniając suwakiem wartość r możemy obserwować jak zmieniają się charakterystyki
częstotliwościowe w zależności od położenia zer względem okręgu jednostkowego. Jeżeli r
osiągnie wartość r = 1 , to zera znajdą się na okręgu jednostkowym, charakterystyka
amplitudowa wyzeruje się na częstotliwościach ± f 0 i będziemy mieli do czynienia z filtrem
wycinającym. Jeżeli r > 1 , to zera znajdą się na zewnątrz okręgu jednostkowego, filtr jest
maksymalno-fazowy i jak widać na rys. 1 ( z1, 2 = 1 ± j ) charakterystyka fazowa jest ujemna
dla pulsacji dodatnich 0 < ω < π .
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
2/14
Rys. 1. Okno interfejsu graficznego zerbieg z charakterystykami filtru maksymalno-fazowego
Przykład 2. System z parą biegunów znajdujących się na okręgu jednostkowym p1, 2 = e ± jω 0
ma następującą transmitancję
H (z ) =
1
z − 2 z cos ω 0 + 1
2
(2)
i jest generatorem drgań sinusoidalnych o pulsacji ω 0 . Na rys. 2 pokazano kształt
wygenerowanego przebiegu sinusoidalnego dla ω 0 = π 4 (posłużono się interfejsem
graficznym response, mamy 8 próbek na okres, sinusoida opóźniona o jeden takt).
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
3/14
Rys. 2. Wyniki dla generatora drgań sinusoidalnych o częstotliwości f 0 = 0,125 , uzyskane z
użyciem interfejsu graficznego response
Ewentualne zera wprowadzone do transmitancji (2) nie będą miały wpływu na
pulsację drgań, ale będą wpływały na amplitudę i fazę drgań. Na przykład realizując dwa
systemy o transmitancjach
z 2 − z cos ω 0
H (z ) = 2
z − 2 z cos ω 0 + 1
z sin ω 0
H (z ) = 2
,
z − 2 z cos ω 0 + 1
(3)
wygenerujemy przebieg sinusoidalny i kosinusoidalny (sygnały w kwadraturze).
Dobierając właściwie rozkład zer i biegunów można skonstruować wiele typów
filtrów. I tak, umieszczając N zer okresowo na okręgu jednostkowym i N biegunów w
początku układu współrzędnych skonstruujemy filtr grzebieniowy typu 1 o transmitancji
( )
H 1 e jω = 1 − z − N
z =e
jω
= 2 je
− jω
N
2
 N
sin  ω 
 2
(4)
lub filtr grzebieniowy typu 2 o transmitancji
( )
H 2 e jω = 1 + z − N
z = e jω
= 2e
− jω
N
2
 N
cos ω 
 2
(5)
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
4/14
Filtry grzebieniowe wycinają częstotliwości z równomiernym odstępem 1 N , są liniowo
fazowe i mają opóźnienie grupowe równe N 2 .
Filtr grzebieniowy typu 1 ma odpowiedź impulsową h1 [n] = δ [n] − δ [n − N ] , wycina
składową stałą widma sygnału, częstotliwość 1 N i kolejne częstotliwości co 1 N . Jest on
stosowany do eliminacji zakłócenia o częstotliwości 1 N i jego harmonicznych.
Filtr grzebieniowy typu 2 ma odpowiedź impulsową h2 [n] = δ [n] + δ [n − N ] ,
wzmacnia składową stałą widma sygnału dwukrotnie, wycina częstotliwość 1 2 N i kolejne
częstotliwości co 1 N . Jest on stosowany do eliminacji zakłócenia o częstotliwości 1 2 N i
jego nieparzystych harmonicznych.
Przykład 3. Zaprojektujemy filtr grzebieniowy typu 1 z N = 3 , służący do wyeliminowania z
widma sygnału przydźwięku sieciowego wraz z harmonicznymi: 50 Hz, 100 Hz, 150 Hz, ... .
Filtr ma następującą transmitancję
H 1 ( z ) = 1 − z −3
(6)
Jego schemat blokowy jest taki jak na rys. 3a. Odpowiedź impulsową filtru, rozkład zer i
biegunów i charakterystyki częstotliwościowe filtru uzyskane za pomocą interfejsu response
pokazano na rys. 3b.
a)
20 ms
H 1 (z ) = 1 − z − 3
b)
x [n ]
z −3
−1
y [n ] = x [n ] − x [n − 3 ]
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
5/14
Rys. 3. Filtr grzebieniowy typu 1: a) schemat blokowy; b) charakterystyki filtru
Pamiętamy, że charakterystyki częstotliwościowe systemów dyskretnych są okresowe
i wykreślono tutaj tylko jeden okres tych charakterystyk w przedziale − 0,5 < f ≤ 0,5 . Zer
charakterystyki amplitudowej jest nieskończenie wiele: 0, 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , K . Pierwsze
zero wypada na częstotliwości unormowanej 1 3 , tj. przy jednostkowym okresie próbkowania
T = 1 s . Rzeczywista częstotliwość pierwszego zera ma wynosić 50 Hz, co odpowiada
okresowi próbkowania T = 1 (3 ⋅ 50Hz) . Ponieważ linia opóźniająca na schemacie blokowym
na rys. 3a ma transmitancję z −3 odpowiadającą opóźnieniu o trzy takty, to jej opóźnienie ma
wynosić 3T = 1 50Hz = 20 ms .
Innym przykładem filtrów projektowanych poprzez właściwy dobór rozkładu zer i
biegunów są rezonatory cyfrowe. Rezonator cyfrowy spełnia podobną rolę jak obwód
rezonansowy w układach analogowych. Ma on realizować prosty, łatwy do przestrajania filtr
środkowo-przepustowy z charakterystyką amplitudową o dzwonowym kształcie. Wyróżnia
się dwa typy rezonatorów cyfrowych w zależności od położenia zer.
Rezonator cyfrowy typu 1 ma parę biegunów p1, 2 = re ± jω 0 , r < 1 i dwa zera
usytuowane w początku układu współrzędnych, czyli jego transmitancja jest następująca
H 1 (z ) =
(1 − re
jω 0
1
1
=
− jω 0 −1
1 − 2r cos ω 0 z −1 + r 2 z − 2
z 1 − re
z
−1
)(
)
(7)
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
6/14
Charakterystyka amplitudowa rezonatora ma kształt krzywej dzwonowej z maksimum
wypadającym na pulsacji

1+ r 2
cos ω 0 

 2r
ω r = cos −1 
(8)
Wadą tego rezonatora jest to, że przy jego przestrajaniu (zmianie parametru ω 0 ) silnie
zmienia się wzmocnienie w środku pasma przepustowego jak też i na krańcach
charakterystyki amplitudowej filtru, tj. na pulsacjach ω = 0 i ω = π .
Wad rezonatora typu 1 jest pozbawiony rezonator typu 2 posiadający parę biegunów
p1, 2 = re ± jω 0 , r < 1 i dwa zera z1, 2 = ±1 . Transmitancja rezonatora cyfrowego typu 2 jest
następująca
H2
(1 − z )(1 + z )
(z ) =
(1 − re z )(1 − re
jω 0
−1
−1
−1
− jω 0
(1 − z )(1 + z )
−1
z −1
) = 1 − 2r cos ω
−1
0
z −1 + r 2 z − 2
(9)
Dla tego rezonatora nie istnieje prosty wzór wyrażający zależność pulsacji ω r maksimum
krzywej dzwonowej od parametrów r , ω 0 . Charakterystyka amplitudowa rezonatora osiąga
wartości 0 dla krańcowych wartości pulsacji, tj. na pulsacjach ω = 0 i ω = π , co jest bardzo
korzystne dla filtrów środkowo-przepustowych. Wzmocnienie rezonatora w środku pasma
jest praktycznie stałe w trakcie przestrajania, tj. przy zmianie parametru ω 0 . W obydwu
typach rezonatorów im bliżej okręgu jednostkowego znajdują się bieguny, tym bardziej
selektywny jest filtr (węższa krzywa dzwonowa charakterystyki amplitudowej).
Do badania rezonatorów cyfrowych opracowano interfejs graficzny rezonator. Okno
tego interfejsu pokazano na rys. 4. Wartości parametrów r , ω 0 dla rezonatorów typu 1 i 2
można wprowadzać posługując się suwakami lub wpisując wartości do pól edycyjnych.
Uzyskujemy wykresy: rozkładu zer i biegunów, odpowiedzi impulsowej, charakterystyk
częstotliwościowych amplitudowej i fazowej. Jest też podawana częstotliwość środka pasma
przepustowego f r i 3-decybelowe pasmo przepustowe B3dB .
Przykład 4. Zaprojektujemy rezonatory cyfrowe typu 1 i 2 o parametrach r = 0,5 , f 0 = 0,25 .
Transmitancje rezonatorów typu 1 i 2 to odpowiednio
H 1 (z ) =
1
1 + 0.25 z − 2
(10)
H 2 (z ) =
1 − z −2
1 + 0.25 z − 2
(11)
Charakterystyki rezonatorów mogłyby być zbadane z użyciem interfejsu graficznego
response, ale łatwiej jest posłużyć się interfejsem graficznym rezonator. Wyniki są takie jak
na rys. 4. Z kształtu charakterystyk amplitudowych wynika, że rezonator typu 2 lepiej spełnia
rolę filtru środkowoprzepustowego niż rezonator typu 1. Jeżeli rezonator ma służyć do
filtrowania sygnałów dźwiękowych, to naciskając przycisk filtered.wav możemy posłuchać
brzmienia sygnału na wyjściu filtru.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
7/14
Rys. 4. Charakterystyki rezonatorów cyfrowych typu 1 i 2
Duże możliwości kształtowania charakterystyk częstotliwościowych daje system z
parą zer z1, 2 = rz e ± jω 0 i parą biegunów p1, 2 = rp e ± jω 0 umieszczonych na płaszczyźnie
zmiennej zespolonej pod takimi samymi kątami (takie same pulsacje ω 0 ). System taki ma
następującą transmitancję
1 − 2rz cos ω 0 z −1 + rz2 z −2
H (z ) =
1 − 2rp cos ω 0 z −1 + rp2 z − 2
(12)
gdzie pulsacja ω 0 odpowiada kątom ± ω 0 , pod którymi są umieszczone zera i bieguny, a rz i
rp są promieniami (odległościami od początku układu współrzędnych) odpowiednio zer i
biegunów. Bieguny muszą być ulokowane wewnątrz okręgu jednostkowego ( 0 ≤ rp < 1 ), aby
zapewnić BIBO stabilność systemu. Zmieniając promień zer rz względem promienia
biegunów rp uzyskuje się różnego kształtu charakterystyki częstotliwościowe. Jeżeli
rp < rz <
1
1
, to system jest filtrem środkowozaporowym. Jeżeli rz < rp lub rz > , to
rp
rp
system jest filtrem środkowoprzepustowym. Jeżeli rz =
1
, to system jest filtrem
rp
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
8/14
wszechprzepustowym. Jeżeli rz = 1 , to zera są umieszczone na okręgu jednostkowym i
system jest filtrem wycinającym (ang. notch filter).
Przykład 5. Zaprojektujemy filtr wycinający przydźwięk sieciowy o częstotliwości 100 Hz z
sygnału próbkowanego z częstotliwością f p = 800 Hz .
Zera muszą być umieszczone na okręgu jednostkowym pod kątami odpowiadającymi
100 Hz
pulsacji ω 0 = 2π
= 2π 0,125. Szerokość pasma zaporowego filtru wycinającego jest
800 Hz
tym mniejsza im bliżej okręgu jednostkowego znajdują się bieguny (im wartość rp jest
bliższa jedności). W przypadku, gdy rp = 0,8 , to charakterystyki filtru są takie jak to
pokazano na rys. 5, przy czym wykresy uzyskano posługując się interfejsem graficznym
notch.
Rys. 5. Charakterystyki filtru wycinającego
W kształtowaniu charakterystyk częstotliwościowych ważną rolę odgrywają pary
osobliwości odwrotne sprzężone. Dla liczby zespolonej z i = re jω 0 liczba zespolona odwrotna
1 1
sprzężona jest zdefiniowana jako liczba Z i = ∗ = e jω 0 . Jeżeli liczba z i znajduje się
r
zi
wewnątrz okręgu jednostkowego, to liczba odwrotna sprzężona znajduje się na zewnątrz
okręgu jednostkowego, pod tym samym kątem co liczba oryginalna. Liczby znajdujące się na
okręgu jednostkowym są same w sobie liczbami odwrotnymi sprzężonymi.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
9/14
Jeżeli filtr ma bieguny wewnątrz okręgu jednostkowego i biegunom tym odpowiadają
zera odwrotne sprzężone, to jest to filtr wszechprzepustowy (filtr o stałej charakterystyce
amplitudowej
( )
H e jω
2
( ) ( )
= H e jω H ∗ e jω = const ). Filtry wszechprzepustowe znajdują
zastosowanie jako układy korygujące charakterystykę fazową i grupowego opóźnienia
systemu bez wpływania na charakterystykę amplitudową systemu. Inna właściwość związana
z filtrem wszechprzepustowym jest taka, że każdy nieminimalno-fazowy filtr BIBO stabilny
bez zer na okręgu jednostkowym może być poddany dekompozycji. Dekompozycja polega na
przedstawieniu filtru jako kaskadowe połączenie dwóch filtrów: filtru minimalno-fazowego i
filtru wszechprzepustowego
( )
( )
H e jω = H min −faz (e jω ) H w − p e jω = H min −faz (e jω ) e
[
( )]
j arg H min − faz ( e jω ) + arg H w − p e jω
(13)
Ten filtr ma charakterystykę amplitudową taką jak jego część minimalno-fazowa, a
charakterystyka fazowa jest fazą części minimalno-fazowej powiększoną o fazę części
wszechprzepustowej filtru.
Przykład 6. System o transmitancji
H (z ) =
z 2 − 2z + 2
z 2 + 0.5 z + 0.25
(14)
jest systemem nieminimalno-fazowym (ma zera znajdujące się na zewnątrz okręgu
jednostkowego) i BIBO stabilnym (ma wszystkie bieguny wewnątrz okręgu jednostkowego).
Ten system można przedstawić jako kaskadowe połączenie filtru minimalno-fazowego i filtru
wszechprzepustowego o następujących transmitancjach
z 2 − z + 0.5
z 2 − 2z + 2
H ( z ) = H min -faz ( z ) ⋅ H w -p (z ) = 2
z + 0.5 z + 0.25 z 2 − z + 0.5
(15)
System o transmitancji H ( z ) chcemy skorygować tak, aby cały system był
wszechprzepustowy (miał stałą charakterystykę amplitudową). W tym celu należy włączyć
kaskadowo człon korekcyjny o transmitancji odwrotnej do transmitancji części minimalnofazowej, czyli o transmitancji
H kor ( z ) =
1
H min -faz ( z )
=
z 2 + 0.5 z + 0.25
z 2 − z + 0.5
(16)
Ostatecznie skorygowany system ma następującą transmitancję
H d ( z ) = H ( z )H kor ( z ) = H w -p ( z ) =
z 2 − 2z + 2
z 2 − z + 0.5
(17)
czyli jest systemem wszechprzepustowym (stała charakterystyka amplitudowa)
charakterystyce fazowej takiej jaką ma część wszechprzepustowa korygowanego systemu.
o
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
10/14
Charakterystyki systemu przed korekcją, po korekcji i poszczególnych członów
systemu można zbadać za pomocą interfejsu graficznego response. Na przykład
charakterystyki systemu skorygowanego są takie jak na rys. 6
Rys. 6. Charakterystyki systemu skorygowanego w taki sposób, że stał się on systemem
wszechprzepustowym
Wszystkie przyczynowe, BIBO stabilne filtry liniowo fazowe mają transmitancje o
postaci wielomianowej
H ( z ) = h[0] + h[1]z −1 + K + h[M ]z − M
(18)
z M zerami odwrotnymi sprzężonymi i M biegunami w zerze.
Istnieją cztery typy filtrów liniowo fazowych klasyfikowanych w zależności od tego czy ich
odpowiedzi impulsowe są symetryczne czy antysymetryczne i czy opóźnienie α jest
całkowite czy połówkowe (liczba naturalna plus 0,5). Filtry liniowo fazowe mają skończone
odpowiedzi impulsowe h[n] składające się z M + 1 próbek.
Filtr liniowo fazowy typu I ma odpowiedź impulsową h[n] symetryczną i opóźnienie
całkowite.
Filtr liniowo fazowy typu II ma odpowiedź impulsową h[n] symetryczną i opóźnienie
połówkowe. Suma próbek h[n] z co drugą próbką o zmienionym znaku równa się 0, a więc
musi istnieć zero transmitancji równe –1. Charakterystyka częstotliwościowa zeruje się na
częstotliwościach f = ±0,5 , co jest bardzo korzystne przy projektowaniu filtrów
dolnoprzepustowych.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
11/14
Filtr liniowo fazowy typu III ma odpowiedź impulsową h[n] antysymetryczną i
opóźnienie całkowite. Suma próbek h[n] równa się 0, a więc musi istnieć zero transmitancji
równe 1. Suma próbek h[n] z co drugą próbką o zmienionym znaku równa się 0, a więc musi
istnieć zero transmitancji równe –1. Charakterystyka częstotliwościowa zeruje się na
częstotliwościach f = 0 , f = ±0,5 , co jest bardzo korzystne przy projektowaniu filtrów
środkowoprzepustowych.
Filtr liniowo fazowy typu IV ma odpowiedź impulsową h[n] antysymetryczną i
opóźnienie połówkowe. Suma próbek h[n] równa się 0, a więc musi istnieć zero transmitancji
równe 1. Charakterystyka częstotliwościowa zeruje się na częstotliwości f = 0 , co jest
bardzo korzystne przy projektowaniu filtrów górnoprzepustowych.
Przykład 7. Zbadamy właściwości filtru liniowo fazowego typu III o odpowiedzi impulsowej
{h[n]} = {− 1, − 2, − 3, 0, 3, 2, 1}. Transmitancja filtru jest następująca
H ( z ) = −1 − 2 z −1 − 3 z −2 + 3z −4 + 2 z −5 + z −6
(19)
Charakterystyki filtru wyznaczono za pomocą interfejsu graficznego response i pokazano je
na rys. 8.
Rys. 8. Charakterystyki filtru liniowo fazowego typu III
Ponieważ wartość parametru M = 6 , to istnieje 6 biegunów w zerze i 6 zer. Dwie pary zer
odwrotnych sprzężonych mają r < 1 . Zero w punkcie –1 i zero w punkcie 1 leżą na okręgu
jednostkowym i są same w sobie odwrotne sprzężone. Charakterystyka amplitudowa zeruje
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
12/14
się na częstotliwościach f = 0 , f = ±0,5 i filtr jest filtrem środkowoprzepustowym.
Charakterystyka fazowa jest liniowa, skoki charakterystyki (oprócz skoku w zerze) wynikają
z zawinięcia fazy do przedziału ± 180 0 . Opóźnienie grupowe jest stałe, równe α = M 2 = 3 .
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Używając interfejsu graficznego zerbieg zbadaj jak zmieniają się charakterystyki
częstotliwościowe filtru z parą zer z1, 2 = re ± jω 0 w zależności od parametrów r, ω 0 (podobnie
jak w przykładzie 1). Narysuj przykładowy rozkład zer i charakterystyki częstotliwościowe.
Przedyskutuj uzyskane wyniki.
2. Zaprojektuj generator drgań sinusoidalnych o określonej częstotliwości podobnie jak w
przykładzie 2. Narysuj rozkład biegunów i odpowiedź czasową. Przedyskutuj wyniki. Ile
próbek przypada na okres drgań?
3. Zaprojektuj filtr grzebieniowy typu 1 lub 2 z określonym parametrem N podobnie jak w
przykładzie 3. Niech będzie to np. filtr tłumiący składowe przydźwięku sieciowego 100 Hz ,
300 Hz , 500 Hz , ... , albo filtr tłumiący składową podstawową i harmoniczne przydźwięku
pochodzącego od przetwornicy pracującej z częstotliwością 25 kHz . Narysuj schemat
blokowy, rozkład zer i biegunów i charakterystyki filtru. Przedyskutuj wyniki.
4. Zaprojektuj rezonator cyfrowy typu 1 lub 2 z wybranymi wartościami parametrów r i f 0
(podobnie jak w przykładzie 4). Narysuj rozkład zer i biegunów i charakterystyki rezonatora.
Przedyskutuj wyniki.
5. Zaprojektuj filtr wycinający zakłócającą częstotliwość przetwornicy 17 kHz z sygnału
próbkowanego z częstotliwością f p = 44,1 kHz (podobnie jak w przykładzie 5). Narysuj
rozkład zer i biegunów i charakterystyki rezonatora. Przedyskutuj wyniki.
6. Wybierz transmitancję H ( z ) pewnego systemu nieminimalno-fazowego i skoryguj ten
system tak, aby stał się on systemem wszechprzepustowym (podobnie jak w przykładzie 6).
Narysuj rozkłady zer i biegunów i charakterystyki potrzebne do przedyskutowania projektu.
7. Zaprojektuj filtr liniowo fazowy typu I, II, III lub IV podobnie jak w przykładzie 7.
Wykreśl rozkład zer i biegunów i charakterystyki (czasowe i częstotliwościowe)
zaprojektowanego filtru. Przedyskutuj wyniki.
4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany
1. Zaprojektuj dyskretny generator drgań sinusoidalnych o zadanej częstotliwości drgań:
1
a) f 0 = 1 6 , przy czym H ( z ) = 2
;
z − 2 z cos ω 0 + 1
z
.
b) f 0 = 1 / 12 , przy czym H ( z ) = 2
z − 2 z cos ω 0 + 1
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
13/14
Podaj transmitancję H ( z ) . Narysuj rozkład zer i biegunów. Oblicz i narysuj odpowiedź
impulsową h[n] . Narysuj sinusoidę na tle h[n] . Czy liczba próbek na jeden okres drgań jest
poprawna? Zmodyfikuj licznik transmitancji dla wygenerowania przebiegu o określonej fazie
i amplitudzie.
2. Zaprojektuj filtr grzebieniowy eliminujący z sygnału składowe o częstotliwościach:
a) 1 MHz, 3 MHz, 5 MHz, ...
b) 1 MHz, 2 MHz, 3 MHz, ...
Wyznacz transmitancję filtru H ( z ) . Oblicz i narysuj odpowiedź impulsową h[n] i skokową
g [n] filtru. Narysuj rozkład zer i biegunów i charakterystyki częstotliwościowe filtru. Narysuj
schemat blokowy filtru, jakie jest opóźnienie linii opóźniającej? Jeżeli sygnał wejściowy
x(t ) = cos(2π 500kHz t ) , to jaki jest sygnał wyjściowy y (t ) ?
3. Zaprojektuj rezonator cyfrowy:
a) typu 1, r = 0,75 , f 0 = 1 6 ;
b) typu 2, r = 0,75 , f 0 = 1 6 ;
c) typu 1, r = 1
2 , f0 = 1 8 ;
d) typu 2, r = 1
2 , f0 = 1 8 ;
e) typu 1, r = 1
3 , f 0 = 1 12 ;
f) typu 2, r = 1
3 , f 0 = 1 12 .
Wyznacz transmitancję rezonatora H ( z ) . Narysuj rozkład zer i biegunów i charakterystyki
częstotliwościowe rezonatora. Narysuj schemat blokowy rezonatora. Jeżeli sygnał wejściowy
x[n] = cos(2πf 0 n ) , to jaki jest sygnał wyjściowy y[n] ?
5. Zaprojektuj filtr wycinający zadaną pasożytniczą częstotliwość przy określonej
częstotliwości próbkowania sygnału:
a) 50 Hz, f p = 800 Hz ;
b) 100 Hz, f p = 8 kHz ;
c) 15 kHz, f p = 44,1 kHz .
4. Zbadaj właściwości systemu o transmitancji:
z−2
a) H ( z ) =
;
− 2z + 1
1 + 2 z −1 + 2 z −2
b) H ( z ) =
.
2 + 2 z −1 + z − 2
Narysuj rozkład zer i biegunów i charakterystyki częstotliwościowe systemu. Co jest
charakterystycznego w tym rozkładzie i charakterystykach? Jakiego typu jest to system i czy
jest on odwracalny? Narysuj schemat blokowy systemu. Jeżeli sygnał wejściowy
π 
x[n] = cos n  , to jaki jest sygnał wyjściowy y[n] ?
2 
5. System o transmitancji:
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 4
14/14
z−2
;
1
z+
2
b) H ( z ) = 1 − 2 z −1 + 2 z −2 ;
skoryguj tak, aby powstał system wszechprzepustowy. W toku obliczeń zapisuj transmitancje,
rysuj rozkłady zer i biegunów, charakterystyki częstotliwościowe. Jeżeli w systemie
π 
skorygowanym sygnał wejściowy x[n] = cos n  , to jaki jest sygnał wyjściowy y[n] ?
2 
a) H ( z ) =
6. Zaprojektuj filtr liniowo fazowy o odpowiedzi impulsowej:
a) {h[n]} = {1, − 2, 1} ;
b) {h[n]} = {1, − 2, − 2, 1};
c) {h[n]} = {− 1, 0, 1};
d) {h[n]} = {1, 2, − 2, − 1}.
Narysuj odpowiedź impulsową, zaznacz na rysunku punkt symetrii (antysymetrii). Czy jest to
filtr liniowo fazowy typu I, II, III czy IV? Zapisz transmitancję filtru H ( z ) . Narysuj rozkład
zer i biegunów. Co jest charakterystycznego w tym rozkładzie? Wykreśl charakterystyki
π 
częstotliwościowe. Narysuj schemat blokowy filtru. Jeżeli sygnał wejściowy x[n] = cos n  ,
2 
to jaki jest sygnał wyjściowy y[n] ? Wyjaśnij, czy filtr liniowo fazowy może być minimalnofazowy? Wyjaśnij, czy filtr liniowo fazowy może być odwracalny?