Twierdzenie Cantora–Bernsteina. Mówimy, że moc zbioru A nie

Twierdzenie Cantora–Bernsteina. Mówimy, że moc zbioru A nie przekracza mocy zbioru B i piszemy |A| ¬ |B|, jeśli A = ∅, względnie istnieje injekcja
f : A → B. Nietrudno zauważyć, że w przypadku zbiorów skończonych A, B
zachodzi implikacja: (|A| ¬ |B| ∧ |B| ¬ |A|) ⇒ |A| = |B|. Jak wynika z
twierdzenie Cantora-Bernsteina, ma ona miejsce dla dowolnych zbiorów.
Twierdzenie 1 (Cantor–Bernstein) Dla dowolnych zbiorów A i B, jeśli
istnieją injekcje f : A → B oraz g: B → A, to istnieje bijekcja h: A → B.
Udowodnimy najpierw następujący
Lemat 2 Jeśli funkcja s: X → X jest injekcją oraz zbiór C ⊆ X spełnia
zależność s(X) ⊆ C, to istnieje bijekcja t: X → C
Dowód. Określmy dwa podzbiory zbioru X:
U = (C \ s(X)) ∪ s(C \ s(X)) ∪ s2 (C \ s(X)) ∪ · · · =
∞
[
sj (C \ s(X))
j=0
(gdzie, jak zawsze, przyjęliśmy konwencję s0 = id) oraz
V = X \ U.
Zauważmy, że funkcja s przekształca V w siebie, to znaczy, s(V ) ⊆ V . Gdyby
tak nie było, to znaleźlibyśmy element v ∈ V , że s(v) 6∈ V . Innymi słowy,
s(v) ∈ U . Oczywiście s(v) nie może należeć do pierwszego składnika C \ s(X)
sumy składającej się na U . W takim razie musiałaby istnieć liczba naturalna
k ­ 1, że s(v) ∈ sk (C \s(X)). Stąd, wobec tego że s jest injekcją, wynikałoby,
że v ∈ sk−1 (C \ s(X)). Ale ten ostatni zbiór zawiera się w U , więc v ∈ U , co
przeczy założeniu, że v ∈ V , bo V i U są przecież rozłączne.
Wykażmy teraz, że C = U ∪ s(V ). Zauważmy najpierw, że z definicji V i
stąd, iż s jest injekcją wnosimy, że
s(V ) = s(X \ U ) = s(X) \ s(U ).
(1)
Natomiast z definicji zbioru U i z faktu, że obraz sumy mnogościowej rodziny
zbiorów, otrzymany za pomocą jakiejkolwiek funkcji, jest równy sumie mnogościowej obrazów tych zbiorów wynika, że
U = (C \ s(X)) ∪ s(U ).
1
Łącząc obie równości otrzymamy tak jak oczekiwaliśmy
U ∪ s(V ) = (C \ s(X)) ∪ s(U ) ∪ (s(X) \ s(U )) = C.
Określmy teraz odwzorowanie t wzorem
(
t(x) =
x,
jeśli x ∈ U ;
s(x), jeśli x ∈ V .
Wprost z definicji odwzorowania t oraz poprzedzającej równości otrzymamy
t(X) = t(U ∪ V ) = t(U ) ∪ t(V ) = U ∪ s(V ) = C.
W takim razie t jest surjekcją z X na C. Ponadto, wobec tego że t odwzorowuje różnowartościowo zbiory U i V a obrazy tych zbiorów są rozłączne,
bo t(U ) = U a t(V ) = s(V ) ⊆ V , więc t jest injekcją. W konsekwencji,
t: X → C jest bijekcją.
Dowód twierdzenia C–B. Przypomnijmy, że złożenie dwu injekcji jest znowu
injekcją. W takim razie odwzorowanie g ◦ f jest injekcją ze zbioru A w siebie.
Ponadto, wobec tego, że f (A) ⊆ B mamy g(f (A)) ⊆ g(B). Przyjmując w
naszym lemacie X = A, s = g ◦ f , C = g(B) widzimy więc, że spełnione są
jego założenia. W takim razie istnieje bijekcja q : A → g(B). Ponieważ g jest
bijekcją z B na g(B), więc odwzorowanie g 0 – odwrotne do tej bijekcji jest
bijekcją z g(B) na B. W rezultacie złożenie h := g 0 ◦ q jest szukaną bijekcją
między zbiorami A i B.
Twierdzenie 3 Jeśli istnieją surjekcje F : A → B i G: B → A, to |A| = |B|.
Wyodrębnijmy lemat, który przyda się w jeszcze innym miejscu.
Lemat 4 Jeśli istnieje surjekcja F : A → B, to istnieje injekcja g : B → A.
Dowód. Dla każdego y ∈ B, określmy F −1 (y) := {x ∈ A : F (x) = y}.
Ponieważ F jest na, więc zbiory F −1 (y) są wszystkie niepuste; są one także
parami rozłączne. Niech C ⊆ A oznacza selektor rodziny {F −1 (y) : y ∈ B},
to znaczy, wszystkie zbiory F −1 (y) ∩ C są jednoelementowe. W takim razie,
dla każdego y ∈ B istnieje jedyny element g(y) ∈ A, że
{g(y)} = F −1 (y) ∩ C.
2
Zdefiniowaliśmy w ten sposób funkcję g: B → A. Rozłączność zbiorów F −1 (y),
y ∈ B, prowadzi do stwierdzenia, iż jest ona injekcją.
Dowód twierdzenia. Na mocy lematu istnieje nie tylko injekcja g: B → A,
ale także, wobec tego że G jest surjekcją, istnieje injekcja f : A → B. Odwzorowania f : A → B i g: B → A spełniają założenia twierdzenia C–B, więc
|A| = |B|
Uwaga W dowodzie lematu, a więc pośrednio także w dowodzie twierdzenia
3, wykorzystaliśmy aksjomat wyboru. Zwróćmy jednak uwagę, że nie jest on
wykorzystywany w dowodzie twierdzenia B–C. Tam dowód polega na skonstruowaniu bijekcji z zadanych injekcji w ścisłym sensie. Jest to więc dowód
konstruktywny. W przeciwieństwie do niego, dowód lematu 4 jest dowodem
egzystencjalnym. Wykorzystujemy w nim istnienie selektora C gwarantowanego właśnie przez aksjomat wyboru, a nie przez konstrukcję.
3