Fizyka dla Informatyków Wykład 7 [0.3cm] Mechanika Osrodków

Transkrypt

Fizyka dla Informatyków
Wykład 7
Mechanika Ośrodków Ciągłych
Romuald Kotowski
Katedra Informatyki Stosowanej
PJWSTK 2009
Spis treści
Spis treści
1
Wstęp
2
Podstawowe równania MOC
Odkształcenie
Deformacja
3
Kinematyka ośrodków ciągłych
4
Pochodna lokalna i substancjalna
5
Dynamika ośrodków ciągłych
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Mechanika ośrodków ciągłych
Spis treści
Spis treści
1
Wstęp
2
Odkształcenie
Deformacja
3
4
5
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Spis treści
Spis treści
1
Wstęp
2
Odkształcenie
Deformacja
3
4
5
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Spis treści
Spis treści
1
Wstęp
2
Odkształcenie
Deformacja
3
4
5
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Spis treści
Spis treści
1
Wstęp
2
Odkształcenie
Deformacja
3
4
5
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Wstęp
Wstęp
O czym dzisiaj będziemy opowiadać?
O mechanice ośrodków ciągłych!
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Spis treści
1
Wstęp
2
Odkształcenie
Deformacja
3
4
5
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Odkształcenie
Wektor przemieszczenia
z
Q’
dr’
P’
dr
ρ
P
r
0
dr
ρ
dρ
ρQ
Q
y
x
Rys. 1: Położenie dwu punktów przed i po przemieszczeniu
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Wektor przemieszczenia
Oznaczenia
r(x, y , z) – wektor położenia punktu P;
−→
d r = PQ = (dx, dy , dz) – wektor względnego położenia punktu Q
względem punktu Q;
r + d r = (x + dx, y + dy , z + dz) – wektor położenia punktu Q
względem początku układu współrzędnych;
−−→
ρ = PP 0 = (ξ, η, ζ) – wektor przemieszczenia punktu P;
−−→
ρQ = QQ 0 = ρ + d ρ – wektor przemieszczenia punktu Q;
−−→
d r0 = P 0 Q 0 = d r + d ρ – wektor położenia względnego punktu Q 0
względem punktu P 0 .
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Odkształcenie
Z Rys. 1 widać, że |d r| =
6 |d r0 | . Takie zjawisko nazywamy
odkształceniem ośrodka materialnego.
Tensor przemieszczenia względnego
∂ξ
∂ξ
∂ξ
dx +
dy +
dz ,
∂x
∂y
∂z
∂η
∂η
∂η
dη = dx +
dy +
dz ,
∂x
∂y
∂z
∂ζ
∂ζ
∂ζ
dζ = dx +
dy +
dz ,
∂x
∂y
∂z
(1)
dρ = T dr ,
(2)
dξ =
T – tensor przemieszczenia względnego.
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Tensor położenia względnego
Z Rys. 1 widać, że
d r0 = d r + d ρ ,
(3)
d r0 = d r + T d r = (1 + T )d r ,
(4)
"1" rozumiemy jako tensor jednostkowy
1 0 0
kδµν k = 0 1 0
0 0 1
.
(5)
Oznaczenie: T 0 = 1 + T , i wtedy
d r0 = T 0 d r .
Romuald Kotowski
(6)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Odkształcenie
Tensor przemieszczenia względnego T – jest na ogół tensorem
niesymetrycznym. Rozłóżmy go na część symetryczną T (s) i część
niesymetryczną T (a) :
T = T (s) + T (a) ,
Txx
1
T (s) = 2 (Txy + Tyz )
1
(Txz + Tzx )
2
0
1
T (a) = − 2 (Txy − Tyz )
1
− (Txz − Tzx )
2
1
1
2 (Txy + Tyz )
2 (Txz + Tzx ) 1
Tyy
2 (Tyz + Tzy ) 1
Tzz
2 (Txz + Tzx )
1
1
2 (Txy − Tyz )
2 (Txz − Tzx ) 1
0
2 (Tyz − Tzy ) 1
0
2 (Tyz − Tzy )
Romuald Kotowski
(7)
(8)
(9)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Odkształcenie
Wprowadźmy wektor
1
1
1
T(a) = i (Tzy − Tyz ) + j (Txz − Tzx ) + k (Tyz − Txy )
2
2
2
(10)
Korzystając z definicji tensora T (porównaj (1) i (2))
∂ζ
∂η
∂ξ
∂ζ
∂η
∂ξ
(a)
2T = i
−
−
−
+j
+k
(11)
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Oznaczenie: T(a) = u
u=
Romuald Kotowski
1
rot ρ
2
(12)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Spis treści
1
Wstęp
2
Odkształcenie
Deformacja
3
4
5
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Deformacja
Oznaczenie: T(s) = T(d) –
deformacja)
εxx
T(d) = εyx
εzx
tensor odkształcenia czystego (d jak
∂ξ
,
∂x
∂η
εy =
,
∂y
∂ζ
εz =
,
∂z
εx =
εxy
εyy
εzy
εxz
εyz
εzz
εx
= γz
γy
γz
εy
γx
γy
γx
εz
1 ∂η
∂ζ
+
2 ∂z
∂y
1 ∂ζ
∂ξ
γy =
+
2 ∂x
∂z
1 ∂ξ
∂η
γz =
+
2 ∂y
∂x
(13)
γx =
Romuald Kotowski
(14)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
εx , εz , εz – odkształcenie podłużne (wzdłużne, właściwe,
jednostkowe)
γx , γy , γz – odkształcenie poprzeczne
Można łatwo pokazać, że dla dowolnego wektora a i
niesymetrycznego tensora T
T (a) a = T(a) × a
(15)
gdzie wektor T(a) ma postać (10)
1
1
1
T(a) = i (Tzy − Tyz ) + j (Txz − Tzx ) + k (Tyz − Txy )
2
2
2
czyli
d ρ = T (d) d r + u × d r .
Romuald Kotowski
(16)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Geometryczna interpretacja tensora symetrycznego
Każdy tensor symetryczny można sprowadzić na osie główne
Ta
A’
a
n
||
a
A
0
Rys. 2: Konstrukcja geometryczna wektora T a za pomocą kwadryki tensorowej
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Równanie kwadryki
Rozważmy wszystkie wektory a spełniające równanie
a T a = F (ax , ay , az ) = const 6= 0 .
(17)
F = Txx ax2 + Tyy ay2 + Tzz az2 + 2Txy ax ay + 2Tyz ay az + 2Tzx az ax . (18)
Jest to równanie powierzchni drugiego stopnia, ze środkiem w
początku wektora a – kwadryka tensorowa – geometryczna
reprezentacja tensora symetrycznego T .
1 ∂F
∂F
∂F
1
T a = (i
+j
+k
) = grad F ,
2 ∂ax
∂ay
∂az
2
czyli wektor T a jest równoległy do wektora normalnego n.
Romuald Kotowski
(19)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
W ogólności wektory a i T a mają różne kierunki, ale jak widać z Rys. 2,
oba wektory są równoległe, jeśli wektor a leży na jednej z trzech osi
głównych kwadryki tensorowej. Jeśli wybierzemy prostokątny układ
współrzędnych u, v , w z osiami wzdłuż osi głównych kwadryki i z
wersorami iu , jv , kw , to
2
aT a = Tuu au2 + Tvv av2 + Tww aw
.
(20)
T a = iu Tuu au + jv Tvv av + kw Tww aw ,
(21)
Wektor T a
czyli wektor T a ma składowe na osiach głównych wydłużone w stosunku
do wektora a {Tuu , Tvv , Tww } - krotnie. Stąd pochodzi słowo tensor, od
(łac. tendo, tentendi, tentum) lub poetycznie tensum – wydłużać.
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Wydłużenie główne
T(d)
εu 0
=
0 εv
0 0
0
0
εw
.
(22)
εu , εv , εw – wydłużenia główne.
d r = iu du + jv dv + kw dw .
(23)
d ρd = T (d) d r = iu εu du + jv εv dv + kw εw dw .
(24)
Z (22) i (23)
Kwadryka tensora T
drT (d) dr = εu du 2 + εv dv 2 + εw dw 2 .
Romuald Kotowski
(25)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Wydłużenie główne
Interpretacja wydłużeń głównych
Z (24)
d ξd = εu du, d ηd = εv dv , d ζd = εw dw ,
(26)
czyli
εu =
d ηd
d ζd
d ξd
, εv =
, εw =
.
du
dv
dw
(27)
Tak więc, np. wydłużenie główne εu oznacza względną zmianę odległości,
czyli zmianę odległości na jednostkę długości.
Jeżeli przed odkształceniem odległość dwu punktów wynosiła du, to po
odkształceniu wynosi ona
du + d ξd = (1 + εu )du .
Analogicznie dla pozostałych kierunków.
Romuald Kotowski
(28)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Właściwe odkształcenie objętościowe
w
l
v
u
Rys. 3: Zmiana objętości kostki na skutek odkształcenia
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Objętość kostki
V = l3 .
(29)
Wskutek odkształcenia krawędzie kostki ulegną wydłużeniu:
∆lu = l(1 + εu ), ∆lv = l(1 + εv ), ∆lw = l(1 + εw ) .
(30)
Nowa objętość kostki:
V 0 = l 3 (1 + εu )(1 + εv )(1 + εw ) ≈ l 3 (1 + εu + εv + εw ) . .
(31)
bo εi – małe. Zmiana objętości: ∆V = V 0 − V . Względna zmiana objętości (na
jednostkę objętości):
∆V
= εu + εv + εw .
(32)
V
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Suma wyrazów na głównej przekątnej tensora jest niezmiennikiem ze
względu na zmianę układu współrzędnych (ślad), więc
ale
∆V
= εx + εy + εz ,
V
(33)
∆V
∂ξ
∂η
∂ζ
=
+
+
,
V
∂x
∂y
∂z
(34)
czyli właściwe odkształcenie objętościowe θ
∆V
= div ρ ,
V
(35)
θ = εx + εy + ε z .
(36)
θ=
gdzie
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Odkształcenie poprzeczne
z
γx
0
y
Rys. 4: Ścinanie kwadratu w płaszczyźnie y , z
Romuald Kotowski
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Z określenia tensora T (d) (wzór (13))
d ξd = εx dx + γz dy + γy dz ,
d ηd = γz dx + εy dy + γx dz ,
(37)
d ζd = γy dx + γx dy + εz dz .
Załóżmy, że tylko γx 6= 0, reszta znika. Wtedy:
d ξd = 0 , d ηd = γx dz , d ζd = γx dy .
Romuald Kotowski
(38)
Wstęp
Odkształcenie
Deformacja
Punkty leżą na osi x:
dy = dz = 0 – punkty leżące na osi x
nie zmieniają położenia;
Punkty leżą na osi y :
dx = dz = 0 – w kierunku osi z
mamy przesunięcie proporcjonalne do dy , a oś y doznaje
obrotu w kierunku osi z o kąt γx (tg γx ≈ γx );
Punkty leżą na osi z:
osi y o kąt γx .
dx = dy = 0 – obrót osi z w kierunku
W szczególności, kwadrat leżący w płaszczyźnie prostopadłej do osi
x, przyjmuje kształt rombu (por. Rys. 4). Mamy zmianę kształtu
bez zmiany objętości.
Romuald Kotowski
Wstęp
Definicja prędkości
Prędkością punktu ośrodka nazywamy w mechanice ośrodków
ciągłych wektor:
∂ξ ∂η ∂ζ
∂ρ(x, y , z, t)
=
,
,
(x, y , z, t) . (39)
v(x, y , z, t) =
∂t
∂t ∂t ∂t
Definicja przyspieszenia
Przyspieszeniem punktu ośrodka nazywamy w mechanice ośrodków
ciągłych wektor:
∂v
.
(40)
a = (v grad)v +
∂t
Romuald Kotowski
Wstęp
Rozważmy pewną wielkość fizyczną ϕ – skalar, wektor lub tensor:
ϕ = ϕ(r, t) = ϕ(x, y , z, t) .
Można postąpić dwojako:
1
albo rozpatrywać zmianę ϕ w ustalonym punkcie przestrzeni;
2
albo badać zmiany ϕ dla ustalonego, poruszającego się punktu
ośrodka.
Romuald Kotowski
Wstęp
Pochodna lokalna
Ad 1. Zmianę ϕ w ustalonym punkcie przestrzeni r opisuje
pochodna lokalna wielkości ϕ.
ϕ(r, t + ∆t) − ϕ(r, t)
∂ϕ
= lim
.
∆t→0
∂t
∆t
(41)
Pochodna materialna
Ad 2. ϕ(r, t) – wartość w chwili t w punkcie r.
dϕ
ϕ(r + v∆t, t + ∆t) − ϕ(r, t)
= lim
.
∆t→0
dt
∆t
Romuald Kotowski
(42)
Wstęp
Pochodna materialna
Po rozwinięciu w szereg i odrzuceniu wyrazów wyższego rzędu
dϕ
∂ϕ
= (v grad)ϕ +
.
dt
∂t
(43)
Wnioski
1
Prędkość v jest pochodną lokalną wektora przesunięcia względem
czasu (por. (39)):
∂ρ
v=
.
∂t
2
Przyspieszenie a jest pochodną substncjalną wektora prędkości
v (r , t) względem czasu (por. (40)):
dϕ
∂v
a=
= (v grad)v +
.
dt
∂t
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Wektor napięcia
Sn
f
n
R
Rys. 5: Wektor napięcia
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Wektor napięcia
Wektor napięcia Sn df – opisuje wzajemne oddziaływanie dwu
części ośrodka ciągłego rozdzielonych myślowo dowolną
powierzchnią; stanowi on siłę powierzchniową, z jaką część
elementu df , wskazanej przez wektor normalny n, działa na część
ciała znajdującą się po przeciwnej stronie df . Charakter tego
oddziaływania, niezależnie od właściwości stykających się
materiałów, jest taki sam.
Wymiar napięcia:
[siła]
[cm]2
Wymiar siły: ????????
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Twierdzenie Gaussa
Z
Z
div Tdv =
R
T ndf .
(44)
S
Wektor napięcia
Wektor napięcia można zapisać tensorowo:
Sn = S n .
(45)
gdzie
Sxx
S =
Sxy
Sxz
Romuald Kotowski
Syx
Syy
Syz
Szx
Szy
Szz
(46)
Wstęp
Ciało sprężyste
Z
Z
Z
Sn df =
F
Sndf =
F
div Sd τ .
(47)
R
Równanie ruchu
Z
ρm
R
dv
=
dt
Z
Z
Sn df ,
ρm Fd τ +
R
(48)
F
ρm – gęstość masy ośrodka; F – siła zewnętrzna działająca na
jednostkę masy, siła masowa; Sn – napięcie powierzchniowe.
Z dv
ρm
− ρm F − div S d τ = 0 .
(49)
dt
R
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Równanie ruchu
ρm
dv
= ρm F + div S .
dt
Romuald Kotowski
(50)
Wstęp
Ciało sprężyste
Spis treści
1
Wstęp
2
Odkształcenie
Deformacja
3
4
5
Ciało sprężyste
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Ciało sprężyste
Ciało idealnie sprężyste
to takie, dla którego napięcia Sµν są jednoznacznymi funkcjami
odkształceń εmn :
Sµν = fµν (εmn ) .
(51)
Można pokazać, że tensor napięć
zapisać
σx
S =
τz
τy
Romuald Kotowski
Sµν jest symetryczny, co można
τz
σy
τx
τy
τx
σz
.
(52)
Wstęp
Ciało sprężyste
Ciało sprężyste
Prawo Hooke’a
Robert Hooke ogłosił swe prawo w roku 1676 w postaci anagramu:
ceiiinosssttvu
co oznacza ut tensio sic vis
co oznacza jakie rozciąganie, taka siła
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Ciało sprężyste
Ciało idealnie sprężyste
Rozwijamy wyrażenie (53) w szereg, pomijamy wyrazy wyższego
rzędu, otrzymujemy uogólnione prawo ruchu: składowe tensora
napięć są funkcjami liniowymi składowych tensora odkształceń w
każdym punkcie ciała sprężystego: σij = cijkl εkl . Np. (gdy nie ma
napięć wstępnych, wtedy wielkości stałe znikają):
σx = c11 εx + c12 εy + c13 εz + c14 2γx + c15 2γy + c16 2γz
(53)
τx = c41 εx + c42 εy + c43 εz + c44 2γx + c45 2γy + c46 2γz
(54)
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Ciało sprężyste
Energia
Podczas odkształcenia ośrodka siły zewnętrzne masowe i
powierzchniowe wykonują na ogół pewną pracę, która częściowo
jest zmieniana na energię kinetyczną, a częściowo na energię
potencjalną. Mamy więc
δU + δEk = δA + δQ ,
(55)
δU – przyrost energii potencjalnej; δEk – przyrost energii kinetycznej; δQ
– dostarczone ciepło; δA = δAS + δAp : Ap – praca wykonana przez siły
masowe, AS – praca wykonana przez siły powierzchniowe.
Gdy ciepło nie jest dostarczane, to δV jest różniczką zupełną (wniosek z
rozważań termodynamicznych)
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Ciało sprężyste
Redukcja stałych sprężystości
W ogólności liczba stałych sprężystości wynosi 81. Jeśli nie ma
napięć początkowych i cµν = cνµ , liczba stałych redukuje się do 21.
Ciało izotropowe
to takie, dla których potencjał sprężysty nie zależy od zmiany
układu współrzędnych, czyli da się wyrazić przez niezmienniki.
Romuald Kotowski
Wstęp
Ciało sprężyste
Ciało sprężyste
Ciało izotropowe – niezmienniki
ε
J2 = x
γz
J1 = εx + ε y + εz ,
γz εy γx εz
+
+
εy γ x εz γ y
εx γ z γ y J3 = γz εy γy γ y γ x εz Romuald Kotowski
(56)
γy εz Mechanika ośrodków ciągłych
(57)
(58)
Wstęp
Ciało sprężyste
Ciało sprężyste
Ciało izotropowe – niezmienniki
Ciało sprężyste izotropowe bez napięć początkowych
v (J1 , J2 ) = AJ12 + BJ2 > 0
(59)
(tylko dwie stałe sprężystości, J3 nie ma, bo trzeciego rzędu).
Ciało sprężyste izotropowe z napięciami początkowymi
v (J1 , J2 ) = −PJ1 + AJ12 + BJ2 > 0
(60)
A = 0, B = 0 napięcia tworzą tensor kulisto-symetryczny, czyli jednakowy w
każdym kierunku. Taka sytuacja zachodzi w cieczach:
σx = σy = σz = −P ,
τx = τy = τz = 0 .
Romuald Kotowski
(61)
Wstęp
Ciało sprężyste
Koniec? :-(
Koniec wykładu 7
Romuald Kotowski

Fizyka dla Informatyków Wykład 7 [0.3cm] Mechanika Osrodków

Transkrypt

Podobne dokumenty

Raport bieżący nr 14/2010 Data sporządzenia: 2010-07-01

adiunkt 2015-01-27 00:00:00 - Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa

nabór 2013/2014

Teoria tensorów i mechanika ośrodków ciągłych 2

Kierownik Produkcji Główne zadania: Doświadczenie w

ZASADY KORZYSTANIA Z SALI PRACY ZESPOŁOWEJ BIBLIOTEKI

PYTANIE Jak poradzić sobie z wprowadzeniem zmiany w

zamówienie oryginałów kodów kreskowych