przedziały ufności i hipotezy

BUDOWA PRZEDZIAŁÓW UFNOŚCI
Zadanie ###
Zakładając, że czas dotarcia studentów na uczelnię [min] jest zgodny z rozkładem N(30,10)
określ prawdopodobieństwo, że:
a) średni czas dojazdu w 25-elementowej próbie losowej będzie krótszy niż 20 minut
b) w grupie 16 wylosowanych studentów średni czas przekroczy 40 [min]
c) średni czas będzie dłuższy od 18, a krótszy od 20 [min] w grupach o podanej powyżej
liczebności
Zadanie ###
Zakłada się, że prędkość pociągu na trasie Katowice – Zabrze można opisać rozkładem
N(m.,10km/h). Zbadano prędkość 26 pociągów na tej trasie i otrzymano średnią prędkość 55
km/h.
a) Jaki jest przedział ufności dla α=0,02?
b) Jaki będzie przedział ufności, gdy zrezygnujemy z założenia o normalności rozkładu?
Zadanie ###
Na 10 poletkach doświadczalnych o powierzchni 4 m2 zasiano eksperymentalne warzywo. Po
przeliczeniu przeciętnego plonu na kwintal z hektara otrzymano X = 7 q/ha oraz
Ŝ 2 ( X ) = 0 ,64 . Zakładając, że plony warzywa mają rozkład normalny, oszacować przedział
ufności dla nieznanego parametru m (przeciętny plon warzywa) na poziomie ufności
1 − α = 0 ,98 . Określić względny stopień precyzji szacunku parametru m.
Zadanie ###
Zbadano wydajność pewnej odmiany ogórków na 90 poletkach doświadczalnych. Otrzymano
przeciętną wydajność w tonach na hektar 25 oraz wariancję wydajności 6,25. Przyjmując, że
rozkład plonów ogórka jest normalny, oszacować metodą przedziałową jego przeciętne plony
na poziomie ufności 1 − α = 0 ,95 .
Zadanie ###
Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzewostanu,
jeśli w 10 wylosowanych kwadratach o powierzchni jednego ara, średnia liczba drzew wynosi
7, zaś wariacja 1. Zakłada się, że rozkład drzew w lesie jest rozkładem normalnym. Przyjąć
współczynnik ufności 1 − α = 0 ,90 .
Zadanie ###
W pewnym eksperymencie chemicznym bada się czas całkowitego zakończenia pewnej
reakcji. Dokonano 60 niezależnych doświadczeń i otrzymano z nich średnią i odchylenie
standardowe równe odpowiednio: 60 i 13 sekund. Przyjmując współczynnik ufności równy
0,99 oszacować metodą przedziałową średni czas potrzebny na całkowite zakończenie reakcji
w tym doświadczeniu.
Zadanie ###
W celu oszacowania odsetka inżynierów pewnej branży znających języki obce wylosowano
niezależnie 200 osób i zapytano je o znajomość języków obcych. Okazało się, że 32 osoby
znają dwa języki obce. Metodą przedziałową oszacować nieznany odsetek inżynierów
znających dwa języki obce przyjmując poziom ufności 0,95.
Zadanie ###
Wiadomo, że czas potrzebny na rozwiązanie zadania ma rozkład normalny. Chcąc ustalić
średni czas potrzebny na rozwiązanie zadania zmierzono czas rozwiązania zadania w losowo
wybranej grupie 10 studentów. Średni czas w tej grupie wynosił 50 [min], a odchylenie
standardowe 15 [min]. Ile wynosi średni czas rozwiązania zadania przy współczynniku
ufności 0,97. Jaka jest dokładność oszacowania?
Zadanie ###
Zakłada się, ze kwartalne wydatki na reklamę mają rozkład normalny. Na podstawie
zebranych danych ze 150 wydatków otrzymano: X =45 [tys. zł], Sx=8 [tys. zł]. Na poziomie
ufności 0,95 wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na
reklamę.
Zadanie ###
Na podstawi danych z poprzedniego zadania oszacować metodą przedziałową odchylenie
standardowe wydatków na reklamę.
Zadanie ###
W losowo wybranej próbie 200 studentów pewnej uczelni 70 osób wydaje miesięcznie na
gazety i czasopisma ponad 10 [zł].
a) Wyznacz przedział ufności dla odsetka studentów, którzy wydają miesięcznie na ten cel co
najwyżej 10 [zł] na poziomie istotności 0,01. Jaka jest dokładność tego oszacowania?
b) Jak zmieni się długość przedziału ufności, gdy poziom istotności wzrośnie do 0,1?
c) Jaka powinna być liczebność próby aby oszacować badany odsetek z maksymalnym
błędem nie wyższym niż 2%, przy poziomie ufności 0,98?
Zadanie ###
Przy wprowadzaniu na rynek nowej pastylki odchudzającej przeprowadzono testy kliniczne.
Grupa 500 ochotników w zbliżonych warunkach przez miesiąc zażywała preparat i stosowała
tą samą dietę. Okazało się, że odchylenie standardowe ilości zrzuconych kilogramów w
badanej grupie wynosiło 1,5 [kg]. Zakładając, że rozkład ilości zrzuconych kilogramów ma
rozkład normalny wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego ilości
zrzuconych kilogramów oraz wyznaczyć dokładność oszacowania. Przyjąć współczynnik
ufności 0,98.
Zadanie ###
Zakładamy, że waga detali ma rozkład normalny. Na podstawie 10 losowo wybranych detali
wyznaczono odchylenie standardowe wagi tych detali Sx=0,5 [kg]
a) na poziomie ufności 0,98 wyznaczyć przedział ufności dla wariancji detali
jaki to będzie przedział gdy (1-α)=0,9?
b) ile elementów należałoby dolosować do próby aby oszacować średnią wagę detalu z
dokładnością do 0,1 [kg] na poziomie ufności 0,95
Zadanie ###
Na podstawie 64 losowo wybranych wyrobów z bieżącej produkcji otrzymano średnią liczbę
usterek równą 3 oraz współczynnik zmienności 57%
a) Oszacować metodą przedziałową przeciętną liczbę usterek w produkowanych wyrobach na
poziomie ufności 0,98
b) Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek przyjmując poziom ufności 0,95 i
rozkład normalny
Zadanie ###
W celu oszacowania średniej miesięcznej kwoty wydatków na cele rozrywkowe studentów
Poznania wybrano losowo próbę złożoną z 200 osób. Uzyskano następujące informacje: X
=120 {zł], Sx=11 [zł]. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95 zbudować przedział
ufności dla średniej tych wydatków.
Zadanie ###
W celu ustalenia siły kiełkowania ziaren grochu pewnej odmiany w Instytucie Hodowli
Roślin wykonano doświadczenie polegające na zasadzeniu 800 ziaren grochu. Zakiełkowało
728 ziaren spośród nich. Przyjmując poziom istotności 0,01 ustalić siłę kiełkowania grochu
badanej odmiany (w %).
Zadanie ###
Ilu studentów należy wziąć do próby, aby przy współczynniku ufności 0,9 oszacować średni
wynik ogółu studentów tej uczelni w skoku wzwyż za pomocą przedziału ufności o
rozpiętości 2 [cm]? Rozkład skoków studentów jest rozkładem N(m,5)
Zadanie ###
Oszacuj z wiarygodnością 0,95 jaka część młodzieży licealnej pali papierosy, jeśli wśród
1000 losowo wybranych licealistów do palenia przyznało się 350 osób.
1
Czy z prawdopodobieństwem równym 0,99 możemy twierdzić, że ponad młodzieży w
3
wieku licealnym pali papierosy?
Zadanie ###
Zbadano w sposób losowy grupę 625 sportowców pod względem czasu poświęconego na
trening w ciągu określonego miesiąca, otrzymując: X =70 [h] i Sx=10 [h]
a) Oszacuj przedziałowo średni miesięczny czas treningu dla wszystkich sportowców na
poziomach ufności: 0,9; 0,95; 0,99. Porównaj otrzymane wyniki i uzasadnij różnice.
b) Wykonaj analogiczne obliczenia zakładając, że próba liczyła 17 osób. Porównaj nowe
wyniki z poprzednimi i uzasadnij różnice.
WERYFIKACJA HIPOTEZ
Zadanie ###
W fabryce produkującej cement każdy worek tego produktu ma określony na opakowaniu
ciężar 50 kg z tolerancją ± 0 ,5 . Postanowiono zbadać normy wagowe. Pobrano próbę złożoną
ze 100 opakowań, zważono je, po czym wyznaczono średnią masę worka 49,4 kg. Na
poziomie istotności α = 0 ,05 zbadać czy przestrzegane są normy wagowe.
Zadanie ###
Sklep otrzymał dostawę mąki w opakowaniach, z których każde powinno ważyć 0,5 kg.
Względnie częste reklamacje powodowały, że przeprowadzono kontrolę wagi. Podczas
kontroli wylosowano, a następnie zważono 18 opakowań uzyskując wyniki: 0,500; 0,495;
0,480; 0,505; 0,490; 0,450; 0,500; 0,465; 0,510; 0,475; 0,500; 0,465; 0,495; 0,490; 0,485;
0,505; 0,490; 495. Zakłada się normalność rozkładu wagi opakowania. Przy poziomie
istotności α = 0 ,05 zweryfikować hipotezę, że masa opakowania jest zgodna z masą
nominalną.
Zadanie ###
Na podstawie 12-elementowej próby prostej oszacowany średni czas toczenia pewnego detalu
na tokarce, który wynosił 26 min. Odchylenie standardowe wynosi 5 min. Zweryfikować
hipotezę, że przeciętny czas toczenia na tej tokarce wynosi 30 min. Przy założeniu, ze czas
toczenia detalu ma rozkład normalny. Przyjąć poziom istotności równy 0,05.
Zadanie ###
Dla próby liczącej 18 gospodarstw chłopskich zaciągających kredyt w pewnym oddziale GBP
zbadano poziom kwartalnych spłat otrzymując: X =2613 [zł] oraz Sx=415 [zł]. Dyrekcja
banku twierdzi, z\ze oszacowana średnia jest zbyt niska, gdyż w rzeczywistości wynosi 2783
[zł]. Na poziomie istotności 0,05 zbadać, czy różnica pomiędzy wynikiem badania a opinią
dyrekcji banku jest statystycznie istotna.
Zadanie ###
Zakłada się, że „długość życia” opon samochodowych ma rozkład normalny. Producent
twierdzi, ze wartość przeciętna tej charakterystyki jest równa 50 [tys. km]. Na podstawie 140
losowo wybranych opon otrzymano X =45 [tys. km], Sx=8 [tys. km]. Czy na poziomie
istotności 0,05 można uznać, że producent ma rację?
Zadanie ###
Czas oczekiwania na frytki ma rozkład N(m,2). Zbadano czas oczekiwania w przypadku 25
zamówień i otrzymano średni czas równy 12 [min.]. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj
hipotezę, że czas oczekiwania nie różni się istotnie od 10 [min.].
Zadanie ###
Jacek i Placek hodują pchły. Jacek twierdzi, że długość skoku (w cm) można opisać
rozkładem N(25,σ). Placek twierdzi, że jest ona istotnie wyższa. Zbadali 10 skoków
otrzymując wynik X =27 [cm], Sx=2 [cm]. Na poziomie istotności 0,02 rozstrzygnąć, kto ma
rację. Czy po zmniejszeniu poziomu istotności do 0,01 racja będzie ciągle po stronie tej samej
osoby?
Zadanie ###
Tygodniowe wydatki na żywność mają rozkład normalny. Uważa się, ze wartość przeciętna
tych wydatków jest wyższa niż 40 [zł]
a) Zweryfikować prawdziwość tego sądu na poziomie istotności 0,01, jeśli dla 10 losowo
wybranych rodzin otrzymano X =48 [zł], i Sx=10,8 [zł]
b) Czy na poziomie istotności 0,05 można uważać, ze odchylenie standardowe wydatków
wynosi 9 [zł]?
Zadanie ###
Badano zawartość nikotyny w dwóch gatunkach papierosów. W próbie liczącej 50
papierosów gatunku A zaobserwowano średnią arytmetyczną X 1 =23,8 [mg] przy odchyleniu
standardowym Sx1=1,2 [mg]. W próbie liczącej 40 papierosów gatunku B zaobserwowano
X 2 =24,1 [mg], Sx2=1,4 [mg].
a) Czy można uważać, na poziomie istotności 0,05, że przeciętna zawartość nikotyny w
papierosach gatunku A jest niższa niż w papierosach gatunku B?
b) Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, ze wariancje zawartości nikotyny w
obydwu papierosach są jednakowe.
Zadanie ###
Wysunięto przypuszczenie, że obecnie ca najmniej jedną książkę miesięcznie czyta 30%
społeczeństwa. Dla zweryfikowania tej hipotezy zbadano 100 losowo wybranych osób i
okazało się, że co najmniej jedną książkę miesięcznie czytało 40 osób. Zweryfikuj postawioną
hipotezę.
Zadanie ###
W pewnym roku na egzaminie wstępnym na wyższą uczelnię spośród 560 absolwentów
techników 240 nie rozwiązało pewnego zadania z matematyki, na 1040 zaś absolwentów
liceów ogólnokształcących nie rozwiązało tego zadania 380 kandydatów. Na poziomie
istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowym stopniu opanowania tej partii
matematyki, której dotyczyło zadanie w obu szkołach.
Zadanie ###
Tygodniowe wydatki na żywność rodzin polskich mają rozkład normalny. Jeden z
ekonomistów stawia hipotezę, że dla rodzin warszawskich wydatki te są przeciętnie niższe niż
w rodzinach wrocławskich. Zweryfikować tę hipotezę na poziomie istotności 0,05, jeśli w
próbie 12 rodzin warszawskich zaobserwowano: X 1 =48,2 [zł] i Sx1=10,3 [zł], natomiast w
próbie 15 rodzin wrocławskich otrzymano X 2 =45 [zł], Sx2=8,6 [zł]. Jakie założenie należy
przyjąć, aby można było zweryfikować tę hipotezę? Czy na zadanym poziomie istotności jest
to założenie prawdziwe?