Teoria mocy

Teoria mocy
1
Zbiory przeliczalne
Denicja. Zbiór, którego elementy mo»na ustawi¢ w ci¡g (sko«czony lub niesko«czony), nazywamy przeliczalnym.
Przykªad.
Z
jest zbiorem przeliczalnym.
2
Twierdzenie. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem prze-
liczalnym.
Twierdzenie. Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem
przeliczalnym.
Ogólniej:
Twierdzenie. a) Suma przeliczalnej liczby zbiorów przeliczalnych
jest zbiorem przeliczalnym.
b) Iloczyn kartezja«ski sko«czonej liczby zbiorów przeliczalnych
jest zbiorem przeliczalnym.
3
Twierdzenie.
Q
jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie. Je±li X jest zbiorem przeliczalnym, to zbiór wszystkich ci¡gów sko«czonych o wyrazach z
liczalnym.
X
te» jest zbiorem prze-
Twierdzenie. Zbiór wielomianów jednej zmiennej o wspóªczynnikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie. Zbiór liczb algebraicznych jest zbiorem przeliczalnym.
4
Zbiory nieprzeliczalne
Twierdzenie. Zbiór zawieraj¡cy zbiór nieprzeliczalny jest zbiorem
nieprzeliczalnym.
Twierdzenie. Je±li zbiór X ma wi¦cej ni» jeden element, to zbiór
wszystkich ci¡gów niesko«czonych o wyrazach z
nieprzeliczalnym.
X
jest zbiorem
5
Przykªad.
R
jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie. Ró»nica
zbioru nieprzeliczalnego
przeliczalnego B , jest zbiorem nieprzeliczalnym.
A\B
A
i zbioru
Przykªad. Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
6
Równoliczno±¢ zbiorów
Denicja. Zbiory
bijekcja
f : A → B.
A
i
B
nazywamy równolicznymi, je±li istnieje
Przykªad. Dwa zbiory sko«czone s¡ równoliczne dokªadnie wte-
dy, gdy maj¡ t¦ sam¡ liczb¦ elementów.
Przykªad. Dowolne dwa niesko«czone zbiory przeliczalne s¡ równoliczne.
7
Przykªad. Dowolne dwa spo±ród nast¦puj¡cych zbiorów s¡ równoliczne:
R, R \ {0}, R+, R+ ∪ {0}, (0, 1), [0, 1), [0, 1].
Przykªad. Je±li
równoliczne.
a < b
i
c < d,
to przedziaªy
(a, b)
i
(c, d)
8
s¡
Twierdzenie. Je»eli zbiór A jest niesko«czony, to dla dowolnego
podzbioru sko«czonego
B ⊆ A,
zbiory
A
i
A\B
s¡ równoliczne.
Twierdzenie. Je»eli zbiór A jest nieprzeliczalny, to dla dowolnego
podzbioru przeliczalnego
Wniosek. Zbiór
R\Q
B ⊆ A,
zbiory
A
i
A\B
s¡ równoliczne.
jest równoliczny z R.
9
Liczby kardynalne
Ka»demu zbiorowi odpowiada liczba kardynalna nazywana moc¡
tego zbioru.
Moc zbioru
A
oznaczamy symbolami:
|A|, A, #A.
Zbiory A i B s¡ równoliczne dokªadnie wtedy, gdy ich moce s¡
równe: |A| = |B|.
10
Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy symbolem "alef zero":
|N| = ℵ0.
Moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem "continuum":
|R| = C.
Przykªady zbiorów mocy continuum:
[a, +∞), R \ Q.
R \ {0}, R+, (a, b), [a, b],
11
Nierówno±ci mi¦dzy liczbami kardynalnymi
Denicja. Mówimy, »e moc zbioru A nie przekracza mocy zbioru
B , je±li istnieje
|A| 6 |B|.
funkcja ró»nowarto±ciowa f : A → B . Oznaczenie:
Denicja. Mówimy, »e moc zbioru
zbioru
B
jest mniejsza od mocy
(co zapisujemy: |A| < |B|), je±li |A| 6 |B| i |A| 6= |B|.
A
12
Twierdzenie Cantora Bernsteina. Je±li
to
|A| = |B|.
|A| 6 |B|
i
|B| 6 |A|,
Wniosek. Je±li |A| 6 |B|, |B| 6 |C| i |A| = |C|, to |A| = |B| = |C|.
Twierdzenie Cantora. Dla dowolnego zbioru
równo±¢
|2A| > |A|.
A
zachodzi nie-
13
Niech
b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym. Niech
A ⊂ X b¦dzie dowolnym podzbiorem. Element b ∈ X nazywamy
ograniczeniem górnym zbioru A, je±li
(X, 4)
∀a∈A a 4 b.
Lemat Kuratowskiego Zorna. Je±li w zbiorze cz¦±ciowo upo-
rz¡dkowanym (X, 4) ka»dy podzbiór liniowo uporz¡dkowany posiada ograniczenie górne, to w zbiorze X istnieje element maksymalny.
14
Pewnik wyboru. Dla ka»dej rodziny zbiorów niepustych i parami
rozª¡cznych istnieje zbiór, który z ka»dym ze zbiorów tej rodziny
ma dokªadnie jeden element wspólny.
Hipoteza continuum. Dowolny niesko«czony podzbiór zbioru R
ma moc
ℵ0
lub C.
15