Zadania

WOJEWÓDZKI KONKURS
MATEMATYKA W ZARZĄDZANIU
dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych
województwa warmińsko-mazurskiego
XIX edycja
25 marca 2015r.
Zadanie 1 (4 punkty)
W klasie jest 30 uczniów. Podczas klasówki jeden uczeń był nieobecny. Średnia ocen z klasówki
wyniosła 3, a ich odchylenie standardowe 2. Po powrocie do szkoły nieobecny wcześniej uczeń
napisał tę klasówkę i otrzymał ocenę 6. Jaka jest średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe ocen
z tej klasówki dla całej klasy?
Zadanie 2 (5 punktów)
Dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia miała przed
piętnastoma laty. Gdy babcia będzie w wieku dziadka, to razem będą mieli 150 lat. Ile lat mają
obecnie?
Zadanie 3 (5 punktów)
Dwaj bracia odziedziczyli działkę w kształcie trapezu prostokątnego i zamierzają podzielić ją na dwie
części (w kształcie prostokąta i trapezu) o równych polach. Mogą to zrobić odcinkiem EF w sposób
przedstawiony na rysunku.
Jakie warunki muszą spełniać długości boków trapezu prostokątnego, aby
istniała możliwość podziału trapezu na takie dwie figury o równych polach? Wyznacz długość
odcinka EB.
Zadanie 4 (7 punktów)
W pewnym telewizyjnym turnieju finalista otrzymuje samochód wtedy, gdy wskaże, za którymi
z trzech drzwi jest on ukryty. Według zasad gry, po wskazaniu przez gracza drzwi, prowadzący turniej
otwiera jedne z dwu pozostałych, te, za którymi nie ma samochodu. W drugim etapie gracz może
zmienić swój wybór lub go nie zmienić. Oceń, która taktyka daje większą szansę wygrania auta.
Zadanie 5 (6 punktów)
Podpora mostu przez rzekę ma kształt bryły przedstawionej na rysunku. Oblicz, ile ton betonu
potrzeba do wykonania tej podpory przyjmując, że a = 1 m, b = 2,5 m, h = 2 m, d = 1,8 m oraz
gęstość betonu ρ = 2,2
g
.
cm 3
Zadanie 6 (9 punktów)
Na płaskim terenie rośnie drzewo odchylone od pionu o 10 o w kierunku północnym. W samo
południe, gdy promienie słoneczne padają pod kątem 40 o do powierzchni ziemi, drzewo rzuca cień 10
m. W pobliżu, na południowym stoku zbocza o nachyleniu 40% rośnie pionowe drzewo, którego cień
wynosi 5,6 m, a promienie słoneczne tworzą ze zboczem kąt prosty. Oblicz bezwzględną różnicę
wysokości tych drzew.
Zadanie 7 (7 punktów)
Dane są trzy punkty A, B, C, które nie leżą na jednej prostej, przy czym kąt ABC ma miarę 60 o oraz
odległość między punktami A i B wynosi 200 km. Z punktu A wyjeżdża samochód osobowy
i jednocześnie z punktu B – ciężarówka. Samochód osobowy porusza się do punktu B z prędkością 80
km/h, ciężarówka jedzie do punktu C z prędkością 50 km/h. Po ilu godzinach od chwili rozpoczęcia
podróży odległość między samochodem i ciężarówką będzie najmniejsza?
Zadanie 8 (7 punktów)
Na ramieniu kąta ostrego o mierze α , w odległości a od wierzchołka znajduje się punkt A1 , który
rzutujemy prostopadle na drugie ramię kąta. Otrzymany w ten sposób punkt B1 rzutujemy prostopadle
A2 . Z punktem A2 i następnymi otrzymanymi punktami
postępujemy tak jak z punktem A1 . Znajdź długość powstałej łamanej A1 B1 A2 B2 A3 ...
na pierwsze ramię kąta, otrzymując punkt
Zadanie 9 (10 punktów)
Wykaż, że jeśli suma wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego,
to trójkąt ten jest równoboczny.