article in PDF format - Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW
4(95)/2013
Michał Makowski1
NUMERYCZNE BADANIA DRGAŃ KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZE STEROWANYMI TŁUMIKAMI
1. Wstęp
Tematyka pracy jest związana z systemami wibroizolacji maszyn i konstrukcji
budowlanych narażonych na zewnętrzne oddziaływania drgań lub oddziaływania tych
obiektów na otoczenie. Redukcja drgań ma na celu zmniejszenie obciążeń
mechanicznych, dzięki czemu zwiększa się ich niezawodność, trwałość i bezpieczeństwo
konstrukcji. Skuteczny system wibroizolacji może zmniejszać niekorzystne
oddziaływanie konstrukcji na środowisko w zakresie hałasu i wibracji.
Konstrukcje budowlane są narażone na obciążenia spowodowane ruchem podłoża
np. wywołanego trzęsieniami ziemi, tąpnięciami lub wibracjami wzbudzanymi przez
transport drogowy i kolejowy lub inne czynniki środowiskowe. W rezultacie tych
obciążeń w konstrukcjach budowlanych są wzbudzane drgania, które niekiedy zagrażają
bezpieczeństwu. Z tego powodu w chronionych konstrukcjach wprowadza się
urządzenia służące do rozpraszania energii drgań. Urządzenia służące do rozpraszania
energii drgań mogą być różnie umiejscawiane np. na szczycie budynku, w fundamentach
lub pomiędzy kondygnacjami budynku. W niniejszej pracy przedstawiono rozwiązanie,
gdzie tłumiki drgań zamontowano pomiędzy kondygnacjami budynku.
Obecnie ważnym do rozwiązania problemem w dużych miastach jest tłumienie
drgań budynków wzbudzanych przez przejeżdżające samochody, tramwaje, pociągi
a nawet metro. Drgania takie nie tylko wpływają na zmniejszenie komfortu życia
w budynkach mieszkalnych, ale mogą również zagrażać samej konstrukcji budynku. np.
Katedra św. Piotra i Najświętszej Marii Panny w Kolonii.
Badania związane z tłumieniem drgań konstrukcji budowlanych prowadzone są
w wielu ośrodkach badawczych. Przykładem mogą być prace badawcze prowadzone nad
tłumieniem drgań budynków i mostów za pomocą układów aktywnego tłumienia [1].
Badania modelu budynku przy wymuszeniu sejsmicznym przedstawiono w pracy [2].
Kolejnym przykładem tłumienia drgań jest wykorzystanie starowanych tłumików do
redukcji drgań pojazdu [3, 4].
W przypadku, gdy możliwe jest sterowanie siłą tarcia w układzie mechanicznym
służącym do redukcji drgań, problem sprowadza się do opracowania algorytmu
sterowania doborem sił tak, aby minimalizować drgania z uwzględnieniem przyjętego
kryterium. Wówczas na podstawie dobranej wartości parametru sterowania, możliwe jest
w układzie elektronicznym wygenerowanie sygnału zapewniającego uzyskanie
odpowiedniej siły tarcia w układzie mechanicznym.
Wstępna koncepcja stanowiska badawczego będącego modelem budynku została
przedstawiona w pracy [5]. W prezentowanej pracy skupiono się na przedstawieniu
matematycznego modelu konstrukcji budynku oraz sformułowano algorytm doboru sił
w tłumikach tak aby uzyskać minimalizację przyrostu sił w podporach znajdujących się
1
dr Michał Makowski, adiunkt, Instytut Pojazdów, Politechnika Warszawska
115
pomiędzy kondygnacjami budynku. Do redukcji drgań zastosowano sterowane tłumiki
MR, których parametry zostały wyznaczone na podstawie badań eksperymentalnych.
Badania numeryczne przeprowadzono na podstawie opracowanego modelu
Matlab/Simulink [6]. W pracy zaprezentowano wyniki badań przedstawiających
skuteczność zastosowanej metody do redukcji sił w podporach poszczególnych
kondygnacji budynku.
2. Matematyczny model budynku
Konstrukcja budynku została zamodelowana w postaci układu mechanicznego
o trzech stopniach swobody. Ciała o masie m1, m2, m3 przedstawiają kolejne
kondygnacje budynku, które przemieszczają się względem siebie na płaszczyźnie
w kierunku poprzecznym, ponieważ w tym kierunku są największe przemieszczenia
w konstrukcjach budowlanych. Poszczególne kondygnacje są połączone między sobą
przez elementy sprężyste o sztywności sprężyn k1, k2, k3 oraz tłumiące przy stałym
współczynniku tłumienia c1, c2, c3. W przypadku sterowania sił tarcia w tłumikach
wartości te wyznaczane są na podstawie algorytmu wyznaczania sił z uwzględnieniem
założonego kryterium optymalizacji. Drgania układu mechanicznego są wymuszone
kinematycznie przez ruchy fundamentu . Opis matematyczny modelu budynku może
zostać przedstawiony, jako układ mechaniczny, gdzie ruch poprzeczny pomiędzy
piętrami został zamieniony na ruch wzdłużny. Jednak w tym przypadku konieczne jest
rozważenie siły grawitacji działającej na poszczególne kondygnacje budynku i ugięcie
statyczne sprężyn. Rozpatrywany model konstrukcji budynku z przedstawionymi
uproszczeniami został przedstawiony na rysunku 1.
Rys. 1. Model budynku
Model budynku został opisany współrzędnymi:
X  x1 , x2 , x3 T
116
(1)
gdzie wartości są mierzone od położenia równowagi układu.
Układ mechaniczny został wymuszony kinematycznie, celem opisu przemieszczeń
względnych wprowadzono oznaczenie:
X o  x1 , x2 , x3 ,T
(2)
Wówczas przemieszczenia względne kondygnacji wyznaczane są na podstawie
zależności:
U  H o X o  U st
(3)
 1 1 0 0
H o   0  1 1 0
 0 0  1 1
(4)
gdzie
Po podstawieniu do wzoru (3) zależności (2), (4) otrzymujemy ugięcie względne
w postaci:
  x1  x2 
U   x2  x3 
  x3  ζ 
(5)
Ugięcie statyczne konstrukcji przestawia zależność:
U st  U st1 ,U st2 ,U st3 T
(6)
gdzie
U st 1 
m  m2  m3
m1
m  m2
g , U st 2  1
g , U st 3  1
g
k1
k2
k3
Prędkość odkształceń elementów podatnych
kondygnacjami wyznaczane jest na podstawie wzoru:
znajdujących
V  H o X o
(7)
się
pomiędzy
(8)
Po podstawieniu zależności (2) i (4) do wzoru (5) otrzymujemy:
 x1  x 2 
V   x 2  x3 
  x3   
117
(9)
Elementy inercyjne w modelu opisane są następująco:
M  diag(m1 ,m2 ,m3 )
(10)
Siły ciężkości kondygnacji przyjmują postać:
Q  [ m1 g, m2 g, m3 g] T
(11)
Elementy sprężyste układu opisane są przez współczynnik sztywności sprężyn:
K  diag(k1 , k 2 , k3 )
(12)
Suma sił sprężystych w układzie mechanicznym pochodząca od sił statycznych Sst
i dynamicznych wynikających z odkształceń układu w ruchu drgającym S przedstawia
zależność:
S   S Sst
(13)
ΔS  KU  KH o X o
(13a)
S st  KU st
(13b)
gdzie
Po podstawieniu powyższych zależność (13) przyjmuje postać:
S  K(H o X o  U st )
(14)
Wektor sił sprężystych jest postaci:
S  S1 , S 2 , S3 T
(15)
ΔS  ΔS1 , ΔS 2 , ΔS 3 T
(15a)
S st  S st1 , S st2 , S st3 T
(15b)
gdzie
Wektor siła tarcia jest postaci:
T  T1 ,T2 ,T3 T
(16)
Wartość siły tarcia wyznaczany jest na podstawie zależności:
Ti  F (Vi , wi )
118
(17)
gdzie: F - operator wyznaczania sygnałów sterujących, wi – wartość parametru
sterowania, i = 1, 2, 3 (Rys. 2).
T  Ω(V) : T : Ti  F ( Vi , wi ), w  [wmin , wmax ]
(18)
Rys. 2. Pole sterowania (V)
W szczególnym przypadku, gdy przyjmiemy stałą wartość parametru sterowania wi
siła tarcia zostanie wyznaczana na podstawie zależności:
T  CV  C H o X o
(19)
gdzie wartość współczynnika tłumienia jest postaci:
C  diag(c1 , c2 , c3 )
(20)
Ostatecznie model konstrukcji budynku przyjmuje postać:
MX  H (T  S)  Q
(21)
Kryterium uwzględniające minimalizację przyrostu sił w elementach podpierających
poszczególne kondygnacje budynku przedstawia zależność:
N ( T) 
1
Q
3
(  S  T )
i
2
i
(22)
i 1
Dobór optymalnej wartości siły tarcia odbywa się na podstawie:
Tw  A( S,V)
(23)
Wartość parametru doboru siły tarcia wyznaczana jest z zależności:
w  F 1 (V,Tw )
Zadanie optymalizacyjne wyznaczenia sił tarcia w układzie jest postaci:
119
(24)
Tw  arg min N (T)
TΩ( V )
(25)
W przypadku sterowania siłą tarcia w tłumikach zadanie sprowadza się do
wyznaczenia optymalnych wartości przy uwzględnieniu kryterium optymalizacji, którym
może być minimalizacja sił w podporach poszczególnych kondygnacji, kolejnym
kryterium może być minimalizacja sumaryczna wartość modułu przyspieszeń
wszystkich kondygnacji lub minimalizacja przyspieszenia konkretnego piętra.
3. Sterowany tłumik drgań
Badania symulacyjne modelu budynku ze sterowanym tłumikiem poprzedzono
badaniami eksperymentalnymi sterowanego tłumika magneto-reologicznego. Cechą tego
tłumika jest zmiana sił tarcia poprzez zmianę lepkości cieczy magneto-reologicznej pod
wpływem pola magnetycznego. Sterowany tłumik jest wypełniony cieczą magnetoreologiczną a w tłoczysku umieszczona jest cewka służąca do wytwarzania pola
magnetycznego. Sterowanie siłą tłumienia odbywa się poprzez zmianę natężenia prądu
zasilającego cewkę w tłumiku MR. Badania właściwości sterowanego tłumika magnetoreologicznego przeprowadzono na stanowisku znajdującym się w Instytucie Pojazdów
Politechniki Warszawskiej, które dedykowane jest do badań właściwości sterowanych
tłumików. Obiektem badań był tłumik MR o symbolu RD-1005-3 (Rys. 3), który został
wyprodukowany przez firmę Lord [7]. Celem wyznaczenia charakterystyk
dyssypacyjnych rejestrowane były wartości siły i przemieszczenia. Układ mechaniczny
został wymuszony kinematycznie przez siłownik hydrauliczny.
Rys. 3. Sterowany tłumik MR
Badania właściwości tłumika MR przeprowadzone zostały przy różnych
wymuszeniach kinematycznych i prądach zasilania cewki. W wyniku przeprowadzonych
prac opracowane zostały charakterystyki tłumika w płaszczyźnie siła-przemieszczenie
i siła-prędkość. Przykładowe wyniki badań przedstawione zostały na rysunku 4, gdzie
przebiegi uzyskano przy wymuszeniu kinematycznym o częstości 1,6 Hz i amplitudzie
0,012 m bez zasilania oraz przy zasilaniu cewki tłumika MR prądem 0,5A i 2 A. Na
przedstawionych wykresach widoczny jest wzrost sił tłumienia w zakresie 0 – 2 A,
zakres ten jest polem sterowania sił tłumienia. Wówczas przez dobór wartości
parametrów sterowania w zakresie wmin - wmax, w przypadku badań z tłumikiem MR
generowane jest natężenie prądu w zakresie Imin i Imax. Wartości sił tarcia w tłumiku MR
120
dobierana jest na podstawie sygnału sterowania w układzie elektronicznym. Na tej
podstawie w generatorze zasilacza elektrycznego wytwarzana jest odpowiednia wartość
natężenia prądu przepływającego przez cewkę, która wytwarza pole magnetyczne.
b)
0A
0.5A
2A
2000
0
-0,02
-0,01
0A
0.5A
2A
1000
-1000
0
0,01
0,02
Siła [N]
Siła [N]
a)
-0,3
2000
1000
0
-0,15-1000 0
0,15
0,3
-2000
-2000
-3000
Prędkość [m/s]
Prędkość [m/s]
Rys. 4. Wyniki badań eksperymentalnych tłumika MR bez zasilania i z zasilaniem 0,5 A
i 2 A, wymuszenie kinematyczne z częstością 1,6 Hz i o amplitudzie 0,012 m, a) siłaprzemieszczenie, b) siła–prędkość
Zastosowanie sterowanych tłumików magneto-reologicznych umożliwia realizację
założonego celu, zmiany sił tłumienia w układzie mechanicznym a tym samym
organicznie drgań zgodnie z założonym kryterium oceny.
4. Badania numeryczne
Badania numeryczne przeprowadzono w oparciu o matematyczny model stanowiska
przedstawiony w punkcie 2. W środowisku Matlab/Simulink [6] opracowano
numeryczny model budynku. Częstości drgań układu mechanicznego dobrano
uwzględniając częstości własne konstrukcji budowlanych. Parametry układu
mechanicznego dobrano tak, aby uzyskać częstości drgań własnych: f1 = 0,4 Hz,
f2 = 1,12 Hz, f3 = 1,63 Hz. Przyjęto, że masy poszczególnych kondygnacji będą
jednakowe mi = 135 kg (i = 1, 2, 3), podobnie przyjęto sztywności sprężyn
ki = 4300 N/m. Do tłumienia drgań przyjęto sterowane tłumiki MR, których badania
eksperymentalne przedstawiono w poprzednim punkcie. Badania numeryczne
przeprowadzono w układzie ze sterowaniem przy parametrach cmin = 150 Ns/m ( = 0,1)
i cmax = 4500 Ns/m ( = 3). Przeprowadzone zostały również badania porównawcze
w układzie bez sterowania, przy stałym współczynniku tłumienia ci = 300 Ns/m
( = 0,2). W prezentowanym przypadku nie uwzględniono zwłoki czasowej wynikającej
ze sterowania wartością natężenia prądu w układzie elektronicznym, na czas reakcji siły
tarcia w układzie mechanicznym.
Wyznaczenie wartości sił tarcia w tłumikach odbywało się na podstawie algorytmu
minimalizującego siły działające w podporach budynku. Badania przeprowadzono przy
harmonicznym wymuszeniu kinematycznym o amplitudzie 0,01 m i częstości 0,4 Hz.
Częstość wymuszeń została tak dobrana, aby wzbudzić drgania układ mechanicznego
przy pierwszej częstości rezonansowej. Poniżej zostały przedstawione wyniki badań
przebiegu sumy sił w podporach (sił w sprężynach S i sił tarcia T). Na rysunku 5
przedstawiono przebieg sił w podporze 3 (podpora pierwszego poziomu) przy
harmonicznym wymuszeniu kinematycznym z częstością 0,4 Hz o amplitudzie 0,01 m.
Badania przeprowadzono dla dwu stanów układ ze stałym współczynnikiem tłumienia
(bez sterowania) oraz doborem sił tłumienia w układzie na podstawie algorytmu
121
sterowania (sterowanie). Na przedstawionym wykresie widoczne jest zmniejszenie
wartości sił w podporze pierwszego poziomu w układzie ze sterowaniem w stosunku do
układu bez sterowania siłą tarcia.
Rys. 5. Wynik badań symulacyjnych przebiegu sił w podporze nr 3 w czasie przy
wymuszeniu kinematycznym z zastosowaniem sterowanego tłumika MR ze stałym
współczynnikiem tłumienia (bez sterowania) i ze sterowaniem
Rys. 6. Wynik badań symulacyjnych przebieg zmian sił w podporach budynku przy
wymuszeniu kinematycznym z zastosowaniem sterowanego tłumika MR, przy stałej
wartości współczynnika tłumienia (bez sterowania) i ze sterowaniem
Podczas badań numerycznych wyznaczany był również przebieg zmian nacisków
we wszystkich podporach budynku, który został przedstawiony zależnością (22). Na
rysunku 6 przedstawiono przebieg zmian przyrostu sił w podporach N(T) w układzie bez
sterowania oraz ze sterowaniem tłumikiem MR.
Na podstawie przeprowadzonych badań numerycznych uzyskano obniżenie
maksymalnych wartości przyrostu sił w podporach budynku w układzie ze sterowaniem
w stosunku do układu bez sterowania. Uzyskano w układzie bez sterowania wartości
max. ok. 0,09, natomiast w układzie ze sterowaniem uzyskano wartości max. ok. 0,035.
Badania numeryczne zostały przeprowadzone również przy wyższych częstościach
wymuszeń, gdzie uzyskano podobne rezultaty.
122
5. Zakończenie
Badania numeryczne zostały przeprowadzone w oparciu o przedstawiony
matematyczny model budynku. W opisie przemieszczeń poszczególnych kondygnacji
wprowadzono uproszenie polegające na zmianie przemieszczenia poziomego
kondygnacji na przemieszczenie pionowe. Do redukcji drgań przyjęto sterowany tłumik
magneto-reologiczny. Zastosowanie tergo rodzaju tłumika pozwala na przeprowadzenie
badań układu mechanicznego ze sterowaniem siłą tłumienia oraz bez sterowania, gdzie
w układzie zasilania ustawiona jest stała wartości natężenia prądu zasilającego tłumik
MR.
W pracy przedstawione zostały badania numeryczne modelu budynku przy
wymuszeniu kinematycznym z częstością odpowiadającą pierwszej częstości
rezonansowej układu. Uzyskane wyniki badań potwierdzają, że możliwe jest
zmniejszenie sił w podporach budynku przy sterowaniu siłą tłumienia, przy kryterium
minimalizacji sił w poszczególnych podporach, w stosunku do badań prowadzonych bez
sterowania.
Realizacja przedstawionych prac była możliwa dzięki otrzymaniu finansowania
w ramach projektu N N 502 1492 39 „Redukcja drgań maszyn i konstrukcji
budowlanych za pomocą sterowanych dyssypatorów”.
Literatura:
[1]
Chen Z. Q., Wang X. Y.,Koj M., Ni Y. Q.; Spencer B. F., Yang G.: MR damping
system on Dongting Lake cable-stayed bridge. Smart systems and nondestructive
evaluation for civil infrastructures. Conference, San Diego CA, ETATS-UNIS
(03/03/2003) 2003, vol. 5057, pp. 229-235.
[2]
Korentz J., Marcinowski J.: Analiza numeryczna drgań parasejsmicznych
budynku mieszkalnego z uwzględnieniem właściwości sprężystych podłoża.
Czasopismo Techniczne, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, z.-2B/2007,
ISSN 1897-628X.
[3]
Knap L., Makowski M., Grzesikiewicz W.: Vibration control of vehicle equipped
with piezoelectric dampers. Journal of KONES POWERTRAIN AND
TRANSPORT Vol. 18 No 4, Warszawa 2011, s. 251-258, ISSN 1231 4005.
[4]
Knap L., Mydłowski T., Dybała J., Makowski M.: Badanie właściwości
sterowanego tłumika piezoelektrycznego. Pomiary Automatyka Kontrola, nr
10/2012, s. 879-882.
[5]
Makowski M., Grzesikiewicz W., Knap L.: Koncepcja stanowiska do badań
wpływu sterowania tłumikami na drgania układu mechanicznego. Technika
Transportu Szynowego 9/2012, s. 3335-3342. ISSN 1232-3829.
[6]
Matlab/tutorial – (Dostępny – 20.06.2013: www.mathworks.com).
[7]
RD-1005-3 Product Bulletin - – (Dostępny – 20.06.2013: www.lord.com).
Streszczenie
Praca została poświęcona prezentacji badań wpływu sterowania tłumikami na
redukcję drgań układu mechanicznego. Założono, że w budowanym stanowisku będą
montowane zamiennie sterowane tłumiki magneto-reologiczne (MR) lub
elektroreologiczne (ER).
W pracy została przedstawiona koncepcja budowy stanowiska w postaci układu
mechanicznego, która jest konstrukcją budynku. Zaprezentowano wyniki badań
123
symulacyjnych modelu układu mechanicznego oraz badań eksperymentalnych
właściwości sterowanych tłumików magneto-reologicznych. Opracowane stanowisko
posłuży do weryfikacji wyników badań numerycznych oraz weryfikacji opracowanego
algorytmu sterowania przy założonym kryterium minimalizacji przyspieszeń układu
mechanicznego.
Słowa kluczowe: badania numeryczne, model matematyczny, konstrukcja budynku,
tłumik magneto-reologiczny
NUMERICAL INVESTIGATION OF STRUCTURE OF THE BUILDING
WITH CONTROLLED DAMPER
Abstract
In this article, the problem of vibroisolation in mechanical structures which are
subjected to external vibrations is considered. To this end, an experimental stand was
designed in the form of a model of the building equipped with controlled magnetorheological (MR) or electro-rheological (ER) dampers. These controllable dampers can
be used to reduce vibration in mechanical structures.
In addition, a mathematical model of the structure is presented. The model is used in
numerical investigations. In order to identify model parameters, some experimental
investigations of dampers have been carried out and their results are presented. The
experimental stand can be used to verify control algorithms responsible for minimizing
the acceleration of the chosen part of the analyzed structure of the building.
Keywords: numerical investigation, building structure, mathematical model, magnetorheological damper
124