zadanie 6

Zadanie 5
Platforma wiertnicza jest oparta na czterech słupach utwierdzonych w dnie oceanu jak na schemacie
statycznym. Platforma jest narażona na działanie fal morskich, które można modelować jako
sinusoidalnie zmienne.
Wyznaczyć:
1. współczynnik sztywności pojedynczego słupa, przy którym tłumienie ośrodka wodnego byłoby
krytyczne,
2. częstość drgań własnych platformy z uwzględnieniem tłumienia ośrodka wodnego jeżeli
sztywność giętna pojedynczego słupa wynosi EI,
3. amplitudę drgań wymuszonych w ruchu ustalonym.
Przy jakiej częstości fal morskich amplituda drgań ustalonych jest największa i ile wynosi?.
3
kN := 10 N
Sztywna platforma
o masie m nad powierzchnia wody
F(t)
6
MN := 10 N
9
Dane
6
L
dwa slupy, kazdy o sztywnosci EI i tlumieniu c
dwa slupy, kazdy o sztywnosci EI i tlumieniu c
GN := 10 N
M := 24⋅ 10 kg
- masa kondygnacji
L := 100m
- wysokość kondygnacji
2
EI := 500GN⋅ m
c := 12⋅ 10
6 kg
F0 := 24MN
rad
ω w := 1
s
- sztywność giętna jednego słupa
- współczynnik tłumienia ośrodka wodnego jednego słupa
s
- amplituda siły wymuszającej
- częstość siły wymuszającej
Uwaga:
1. Współczynnik sztywności jednego słupa wyznacza się z wzoru:
k :=
12EI
3
k=6
MN
L
2. Przyjąć, że siła tłumienia wiskotycznego ośrodka wodnego jest proporcjonalna do średniej
prędkości punktów osi słupów, czyli do połowy prędkości platformy.
Rozwiązanie
Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
tłumienia ośrodka wodnego ma postać:
M⋅
b :=
c
2
2
2
ω :=
M
2
2
⎛d ⎞
x + 2b ⋅ ⎜ x ⎟ + ω ⋅ x = f ( t)
⎝ dt ⎠
dt
d
Lub po przekształceniach
gdzie:
⎛d ⎞
x + 2c⋅ ⎜ x ⎟ + 4k ⋅ x = F( t)
⎝ dt ⎠
dt
d
4k
M
ω = 1 Hz
b = 0.5 Hz
Odpowiedź na pytanie 1
2
Współczynnik tłumienia krytycznego wyznacza się z zależności:
b kr := b
ω=
4k kr
M
stąd
= b kr
k kr :=
2
ω − b kr = 0
1
4
2
⋅ b kr ⋅ M
k kr = 1.5
MN
m
Odpowiedź na pytanie 2
Częstość drgań własnych z uwzględnieniem tłumienia ośrodka wodnego wynosi
ω t :=
2
ω −b
2
3
ω t = 0.866 Hz
2
= 0.866
Odpowiedź na pytanie 3
q 0 :=
F0
Bk :=
M
q0
ω
2
1
⋅
Bk = 1 m
2
2
⎡⎢ ⎛ ω ⎞ 2⎤⎥ ⎛
w
b ωw ⎞
⎢ 1 − ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ 2⋅ ⋅ ⎟
⎣ ⎝ ω ⎠ ⎦ ⎝ ω ω ⎠
Odpowiedź na pytanie 4
Największa amplituda drgań w ruchu ustalonym wystąpi przy częstości fal morskich równej ωt
i wyniesie:
Bmax :=
q0
ω
2
1
⋅
⎡⎢
⎢1 −
⎣
⎛ ωt ⎞
⎜ ⎟
⎝ω⎠
2⎤
2
⎥ ⎛ b ωt ⎞
⎥ + ⎜ 2⋅ ⋅ ⎟
⎦ ⎝ ω ω⎠
Bmax = 1.109 m
2
m