Lista 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE MAP 1215
Lista zadań nr 4
16 kwietnia 2016
1. Oscylator harmoniczny. Odważnik o masie m zawieszono na sprężynie, której długość bez
obciążenia wynosi l. Wyprowadzić równanie różniczkowe opisujące ruch (drgania) odważnika
wokół położenia równowagi (pomijamy masę sprężyny i opór powietrza). Jak zmieni się równanie
jeśli uwzględnimy opór powietrza proporcjonalny do prędkości i siłę zewnętrzną?
Wsk.: Np. skrypt [GS]1 .
2. Znaleźć ogólną postać rozwiązań:
i) równania my 00 + by 0 + ky = 0, gdzie m, b, k, są stałymi dodatnimi (drgania swobodne,
z tłumieniem),
ii) równania my 00 + ky = F0 cos ωt,
p gdzie m, k, F0 i ω są stałymi dodatnimi (drgania wymuszone, bez tłumienia). Niech ω0 = k/m (częstość drgań własnych układu). Rozważyć osobno
przypadki ω = ω0 i ω 6= ω0 . Opisać zjawisko rezonansu i dudnienia (bicia).
3. Swobodny spadek ciał. Wyprowadzić równanie różniczkowe opisujące ruch spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powietrza wyrażającego się wzorem G = kv 2 ,
gdzie k jest stałą dodatnią, a v prędkością ruchu. Znaleźć rozwiązanie tego równania w przypadku, gdy ciało spada z wysokości h0 z zerową prędkością początkową.
4. Wzór Liouville’a dla n = 2. Niech L(y) ≡ y 00 + p(t)y 0 + q(t)y , gdzie p(t), q(t) - ciągłe na
(a, b), y1 , y2 - rozwiązania
równania L(y) = 0 na (a, b), W = W (y1 , y2 ) - wrońskian. Udowodnić,
R
że W (t) = W (t0 )e
−
t
t0
p(s) ds
dla t0 , t ∈ (a, b).
Wsk.: Wyprowadzić zależność W 0 (t) = −p(t)W (t) dla t ∈ (a, b).
5. Sprawdzić, że funkcje t i t2 są liniowo niezależne na przedziale J = (−1, 1) (faktycznie są liniowo
niezależne na dowolnym przedziale) a wrońskian W (t, t2 ) znika dla t = 0. Sprawdzić, że t i t2 są
rozwiązaniami równania t2 y 00 − 2ty 0 + 2y = 0 na J. Czy nie ma tu sprzeczności?
6. Metoda obniżania rzędu. Niech L(y) oznacza operator różniczkowy z zadania 4. Wykazać, że jeśli
Z ϕ(t) jest różnym od zera rozwiązaniem równania L(y) = 0, to przez podstawienie
y = ϕ(t) z dt równanie to sprowadza się do równania liniowego jednorodnego pierwszego rzędu
na funkcję Zz. Niech funkcja z(t) będzie rozwiązaniem otrzymanego w ten sposób równania. Czy
ϕ(t) i ϕ(t) z(t) dt tworzą fundamentalny układ rozwiązań równania L(y) = 0?
7. Wyznaczyć rozwiązania ogólne podanych równań, jeśli znane jest jedno z ich rozwiązań:
a) (2t − t2 )y 00 + (t2 − 2)y 0 + 2(1 − t)y = 0, ϕ(t) = et
1
b) y 00 + y 0 = 0, ϕ(t) ≡ 1.
t
Wsk. Zastosować metodę oniżania rzędu.
1
[GS] - M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania Różniczkowe Zwyczajne, Teoria, Przykłady, Zadania.
8. Równanie Eulera. Znaleźć ogólną postać rozwiązań równania t2 y 00 + αty 0 + βy = 0 dla t ∈
(0, ∞), gdzie α, β ∈ R.
Wsk. Zauważyć, że funkcja y(t) = tr jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy r
jest pierwiastkiem równania r(r − 1) + αr + β = 0. Rozważyć osobno przypadki pierwiastków
rzeczywistych i zespolonych.
9. Znaleźć dwa liniowo niezależne rozwiązania równania t2 y 00 − 2y = 0 i następnie znaleźć rozwiązanie ogólne równania t2 y 00 − 2y = t2 .
10. Scałkować następujące równania używając metody uzmienniania stałych (skrypt [GS]):
a) y 00 − 2y 0 + y = et /t
b) y 00 + 4y = tg t.
11. Znaleźć rozwiązania szczególne równań
a) y 00 − 2y 0 + 2y = et + t cos t
b) y 00 − y = sh t
nie korzystając z metody uzmienniania stałych (skrypt [GS]).
12. Jakie warunki powinna spełniać funkcja f (t) aby wszystkie rozwiązania równania y 00 + y = f (t)
były ograniczone gdy t → ∞?
13. Znaleźć rozwiązania równań różniczkowych z warunkami brzegowymi
a) y 00 − y = 2t, y(0) = 0, y(1) = −1,
b) y 00 + y 0 = 1, y 0 (0) = 0, y(1) = 1.
14. Dla jakich wartości parametru a zagadnienie y 00 + ay = 1, y(0) = 0, y(1) = 0, nie ma rozwiązań.
15. Znaleźć wartości parametru λ, dla których następujące zagadnienia mają nietrywialne rozwiąd2
zania, znaleźć te rozwiązania. (Są to wartości własne i funkcje własne operatora − dt
2 dla rozważanego zagadnienia brzegowego).
a) y 00 + λy = 0, y 0 (0) = 0, y 0 (l) = 0,
b) y 00 + λy = 0, y(0) = 0, y 0 (1) + y(1) = 0.
16. Niech p(t), q(t) będą funkcjami ciągłymi na [a, b], p(t) > 0 dla t ∈ [a, b]. Rozważmy zagadnienie
(p(t)y 0 )0 + q(t)y 0 + λy = 0,
y(a) = y(b) = 0.
Wykazać, że funkcje własne yn , ym odpowiadające
różnym wartościom własnym λn , λm tego
Rb
zagadnienia spełniają warunek ortogonalności a yn (t)ym (t) dt = 0.
Wsk. Równanie spełniane przez yn pomnożyć obustronnie przez ym , podobnie dla ym . Odjąć
stronami, scałkować po [a, b].
Jan Goncerzewicz